线性代数未竞之美.docx

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1、序一些初衷我为这本讲义起了一个大胆的标题，它来源于浙江大学竺可桢学院线性代数 II（H）课程选用的教材线性代数应该这样学（英文原版名：Linear Algebra Done Right）。我们带着半娱乐性质地将最后两个单词像矩阵求逆一样（见封面设计）进行了颠倒，得到了本书的英文名：Linear Algebra Left Undone。接下来我们遇到了一个问题：中文名应该是什么呢？郑俊达同学提供了一个可行解：线性代数：未竟之美。转念一想，这一标题不能更契合我们的编写初衷。事实上，我们认为现行的大部分线性代数或高等代数教材具有如下问题，它们也困扰了笔者和许多读者的学习，我们也给出了解决的方案：1.

2、 从线性代数的角度来看，它们的讲解顺序不够自然，大部分教材都从行列式起步，缺乏引入地给出各种概念，使得读者无法理解线性代数的本质。可以说这些教材应当更名 “行列式与矩阵计算”，因为线性代数着重研究的线性空间和线性映射反而成为了边缘内容。因此我们采取了更好的讲解思路，更能体现线性代数的美感而非延续高中填鸭式的数学教育事实上那根本称不上数学，那样的讲授思路根本不够 “数学”，失去了数学本身的自然之美，而且使得读者误解数学、厌恶数学；2. 浙江大学竺可桢学院两学期线性代数课程选择的大学数学：代数与几何和线性代数应该这样学教材采用了从抽象空间引入的方式，更贴近本质。但实践过程中许多同学会对 “为什么要

3、一开始就学习这些抽象内容” 缺乏概念，特别是线性代数应该这样学对于工科同学而言 “数学味道太浓”，因此最后可能学习效果还不如填鸭式地灌输解题方法。因此我们在讲义中相当于为教材做了很多的注脚，并且优化了整体设计，提供了大量例题习题，都是为了能更自然地引入抽象内容，让读者知道我们为何要学习这些内容，这些内容当年在数学家眼中最自然的状态是什么，这样才能使III得抽象的概念易于被初学者接受；3. 我们的例题和习题编排也是精心设计过的，不会出现大部分教材使用过程中 “上课讲的、作业做的和考试考的脱节” 的情况，这一问题不只是很多数学基础课教学的问题，也是国内各个专业都存在的教学问题，笔者也深受其害，所以

4、编写例题习题特别注重对概念和定理的理解、对方法的掌握，不会出现教材中说什么知识很重要但没有例子体会很重要的这种抽象情况，并且大量的习题贴近所学知识也贴近考试，让读者通过习题更好地掌握知识而非反而迷惑不知道自己学了什么，才能更好地体会线性代数的美感而非感受到题海的压迫；4. 除了自然的美感外，更重要的是还有 “未竟” 的美感。线性代数是一个古老而年轻的学科。它发轫于早先对线性方程组的研究，经历了漫长的几何和代数的交错作用，最后又在近世代数的发展过程中被严格化。直到现在，一些相关的内容，例如线性代数群的研究尚且方兴未艾，在现代数学的种种支线当中也有着重要的应用。另外，它的方法论，尤其是其对代数结构

5、的研究在现代数学中也具备着代表性。因此，我们希望呈现一个更广阔的线性代数观，从线性代数出发，对它的现代发展和它在现代数学的各个分支的应用进行一些导论性的介绍，这一方面是为了使得平淡的叙述更加有趣，另一方面也是为了回答一个疑问：线性代数到底有什么用？我们相信，这是许多初学者都有的一个问题，回答这个问题既需要对线性代数的深入学习，也需要有一个现代数学的全局观，这也就带来了本书的另一个部分，未竟专题，也是我们这本书的标题来源。古人有三不朽：立德、立功、立言，著书立说即为立言。虽说我完全不可能因为编写了一本基础课的讲义而有如此崇高的地位。但在我心里，我已经通过这本讲义将我的热情、我的想法传达给了不少的

6、读者，这样也无愧于我在浙江大学的本科四年。未来或许这本讲义会淹没在历史的风尘中，但我想只要它的某行文字曾经给予读者一丝丝的启发，或更实际地帮助了读者得到了心仪的分数，我想它就是有价值的，我本人的价值也得到了一定的实现。本书的面世自 2021 年秋参与浙江大学竺可桢学院学研部（现竺可桢学院学业指导中心）组织的朋辈辅学活动以来，我即将第三次参与线性代数荣誉课的辅学活动。犹记讲义最初的简陋版本，那时为了辅学的期中、期末准备的简单复习提要，里面因为本人时间有限甚至缺少了特征值与特征向量的内容。那时的讲义基本都是知识点的罗列，缺少了许多重要的例题和证明，犹记第一次拿起这个讲义站上讲台的时候，我深刻体会到

7、了这一讲义的不足，因此那次的授课整体而言较为玄学，比较干瘪。因此在 2022 年再次参加辅学授课时，我借着疫情放开考试延迟的机会分了六个大专题写出了一本相对完整的适合于大学数学：代数III与几何的复习讲义。里面的讲解比较全面，习题也十分丰富，可以说在复习资料中已经能算过得去的一版了。但我并不满足于此，我希望这本讲义能成为一本真正的完整的讲义，能兼具配套学习、考试复习的功能，并且在保证体系严谨完整的前提下有更优化的讲解逻辑。因此在 2023 年的暑假，我基于原先的复习版本进行扩展重排。在这一版本中，我将原先复习资料中的粗略描述都换为了严谨的完整叙述，并且反复打磨讲解顺序，从而更自然地将另一本教材

8、线性代数应该这样学的内容自然融合，并且添加了大量的 remark 更适合于初学者学习。更重要的是，我们中间添加了许多文字叙述，一方面自然引入我们要讲解的内容，这对于初学者而言是很重要的 insight，另一方面反复强调我们的行文逻辑，对推进逻辑做适当总结，使得读者能更快地形成体系，同时也补充了很多拓展内容，一些是为了方便读者更自然地理解抽象内容，有一些是契合 “未竟之美” 的标题，让读者能体会到数学的美感，体会到学习线性代数后我们知识的边界可以推广到多远。致谢我或许首先需要感谢 2022 年疫情放开之下的寒冬，没有这学期线性代数考试的延期，我也不会有如此充裕的时间整理出本讲义较为完整的底稿，也

9、就没有这一完整讲义的面世。在编写的过程中，我需要特别感谢下面记为同学对我的讲义提供了直接的支持：梅敏炫同学主编了讲义内积部分，郑俊达同学主编了解析几何部分，周健均同学编写了行列式计算进阶部分，朱熙哲和谢集同学负责了讲义习题答案部分。特别感谢李英琦同学全权负责了本讲义的格式设计以及插图，感谢王鹤翔同学设计了本讲义的封面。我还需要感谢同级的王和钧同学，感谢他当年 push 我写出了最初版本的复习提要。我要感谢比我低一级的郭苗苗同学，感谢她当年反复邀请我走上讲台实现梦想，虽然可能第一次授课效果一般，但这对于后来我不断打磨授课方式，打磨讲义有非常重要的意义。我也应当感谢竺可桢学院学研部（现竺可桢学院学

10、业指导中心）给我提供了一个辅学的平台，让我通过讲义将我的热情能传达给更多的读者。我还需要感谢支持我前面版本，对前面版本无论赞扬或是提出意见的读者们，正是有了大家的支持才有了接下来越来越好的版本的面世。我想我也应该特别感谢数学科学学院的吴志祥、谈之奕和刘康生老师，他们在我线性代数入门过程中做了重要的引路人的工作，讲义中许多讲解思路也来源于他们精彩的授课。我也应该特别感谢数学科学学院的王晓光老师，他在复变函数课程以及讲义上的热情以及倾注的心血启发我也应该将我的学习思路和经验通过讲义传达给更多人，并且启发我思考如何从更高的观点、更自然的角度引导读者学习新知识，享受追求真理的过程。IV参考文献本讲义作

11、为浙江大学竺可桢学院线性代数荣誉课的辅学讲义，因此核心思路来源于我们选择的教材大学数学：代数与几何（第二版）（居余马，李海中）、大学数学：代数与几何学习辅导（林翠琴，居余马）、线性代数应该这样学（第三版）（美Sheldon Axler）。在编写与修订的过程中，我也参考了其他非常多优质的教材或辅导资料，如高等代数（第二版）（丘维声）、高等代数：学习指导书（丘维声）、高等代数学（第四版）（谢启鸿，姚慕生，吴泉水）、高等代数学（第四版）配套学习用书（谢启鸿，姚慕生）、线性代数辅导讲义（汤家凤）、高等代数强化讲义（李扬）以及高等代数考研：高频真题分类精解 300 例等，在复数域的引入部分我也简单参考了

12、王晓光老师的复变函数讲义（2023 版），在矩阵计算等专题则部分参考了数值分析（Timothy Sauer）、矩阵分析（Roger A。Horn，Charles R。Johnson）等计算数学著作。最后如果读者学完本讲义后对代数学有浓厚的兴趣，非常推荐读者学习后续的抽象代数课程。这里推荐与我同级的图灵班同学编写的写给计算机系学生的代数作进一步的了解，我们许多高级专题都对这一讲义有引用。吴一航浙江大学计算机科学与技术学院 yhwu_iszju。edu。cn2023 年 8 月致读者本书特色自有底稿成书的念头以来，笔者就十分希望本书能够摆脱市面上大部分线性代数或高等代数教材固有的一些不够友好的编写

13、风格，力图呈现一本能让读者眼前一亮的讲义. 因此本讲义在编写过程中笔者不断创新讲授思路，大胆摒弃传统的编排风格，总体而言本讲义有如下几大特色：1. 本讲义兼具教材、笔记、复习提纲等多种功能：(1) 说它像是教材，因为我们保留了完整的讲授体系，所有的思路都是反复打磨确认过的，保证了整体逻辑的完整和自然；(2) 说它像是笔记，因为这其中我们特别注重一些细节性的内容，这些内容在教材或授课中可能会因为太过平凡被忽略，但在初学中是很重要的，例如我们对求解线性空间像与核、求解线性映射矩阵表示的很多讨论都是基于笔者在初学时出现的困惑增添了很多的细节，力求读者在初学阶段就能减少因为这些细节带来的困惑；(3)

14、说它像是复习提纲，因为在编写过程中我们的很多内容都会分条列出，并且笔者特别注意了编写的逻辑连贯性，阅读起来思路比一般教材主线更清晰. 除此之外每讲最后还有内容总结，并且经常会提供思维导图或是文字描述逻辑等便于读者快速掌握完整的思想体系.2. 本讲义提供了丰富的例题和习题，几乎能覆盖到所有重要的概念、定理和方法，同时我们也为这些题目提供了详细的解答，考虑了读者的阅读体验. 我们的例题编排特别考虑了初学者在学习过程中可能遇到的困难，特别设置了很多适合于加深对概念、定理以及基本方法理解的例题. 习题我们也是精心挑选，选择难度适中、有助于理解的V经典题目，一些技巧性过强而脱离线性代数本质的题目我们也会

15、删去或给读者一定的提示. 因此我们的讲义特别重视教学和习题和考试的一致性，这对于初次学习而言也是非常重要的，也是很多教材没有精心编排而忽略的，事实上这会特别影响读者阅读体验；3. 在本讲义的编排过程中，我们摒弃了传统的讲授思路. 首先我们选择大学数学：代数与几何以及线性代数应该这样学作为参考教材，它们都是从抽象空间出发研究的，相比于一般的线性代数或高等代数教材更能深入本质. 但我们也考虑到过于抽象的引入对初学者十分不友好，所以我们不断地强调我们的讲授逻辑，重视自然地引入概念，自然地推进对概念的研究，最后引申至这些概念对于我们之后的研究的重要性. 因此编排中我们不断优化内容编排顺序，也添加了足量

16、的补充内容，目的就是使得读者能够更自然地接受而非填鸭式地囫囵吞枣，能够真正体会到数学的自然之美而非在抽象的描述或是繁杂的技巧中迷失了方向，我想这对于每一个数学学习者而言都是非常关键的.阅读建议我们为以下四类读者提供如下阅读建议：1. 初学线性代数过程中的读者：那么请坐稳扶好，备好配套的大学数学：代数与几何以及线性代数应该这样学. 这本讲义是很好的学习笔记，其中我们有大量的 remark 帮助读者理解教材中可能觉得很平凡的内容，也有大量编排合理的例题和习题帮助读者巩固知识. 初学过程中很推荐读者阅读我们反复强调的一些逻辑和一些补充的内容从而尽快形成学习体系，这对于数学学习是非常关键的把握了主线，

17、剩下的就只有一些细节留待补充. 当然一些较难的习题不一定在第一次就要掌握，因此可以根据自己的接受程度合理选择；2. 希望重新学习加深理解的读者：我想这本讲义是非常适合第二次更为深入学习理解的，当然第二次学习可以适当略过一些基础和细节内容，但本讲义中很多深入的讨论、独特的思路和有意义的联系一定对你第二次学习有所裨益；3. 在学习其他方面知识时回顾线性代数基础的读者：无论是基础已经遗忘很多或是还有一定印象的读者，本讲义都可以为您提供帮助，因为本书逻辑完整，并且从基础讲起，非常有助于简要回顾一些概念帮助后续研究学习其他内容，相比于一些教材填鸭式的讲解更适合于在简短的内容中迅速把握住重点；4. 复习考

18、试的读者：如前述本书特色所说，本讲义有大量的通过分点列举总结的内容，每节最后也有比较完整的内容总结和逻辑梳理，我们也准备了足量的例题和习题供读者参考. 但因为本书是从最基础的讲起，并且非常重视一些细节，因此复习时读者可VII以略过一些过于基础和细节的内容，也可以选择性参考讲义中给出的证明等，习题也可以优先选择难度适中的，因为考试中不会出现很难的题目.例题与习题笔者坚信，没有适量习题练习是很难在初学时较为清晰地掌握线性代数这些抽象的思路以及运算技巧的，因此本讲义提供了足量的例题与习题便于读者及时巩固学习的概念，并掌握一些常用的技巧，拓展一些实用的结论，同时一些例题和习题也是讲义完整逻辑中不可或缺

19、的一环.讲义中的例题有部分是直接概念性的，因为考虑到有一些概念初学时太过抽象，或者一些公式较为复杂，需要及时联系以熟悉使用. 还有一些例题是非常经典的问题，其中的思想在很多其它习题中都会使用到. 基本上在每个重要概念/定理/方法介绍后笔者都会准备合适的例子，并且都会直接在题目后给出答案.讲义的习题均设置了 A、B、C 三组，从低至高区分了难度，读者可以根据自己的实际需求选择合适难度的习题进行巩固提升. 所有的习题都在习题答案分册中提供了解答或思路（教材习题可能直接引用），因此读者在思考中遇到困难时可以参考其中的思路，但我们并不推荐直接参考答案将所有习题粗略过一遍，这样的学习效果十分有限.授课建

20、议非常欢迎在本讲义的基础上节选或改编出适合辅学授课的讲义，但请注意以下几点：1. 请遵循知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议；2. 本讲义由于笔者本人风格以及目的所在，因此内容较为细致，在授课时您应当有选择性地节选内容在课堂上讲授，一些细节性的内容可以在课后让学生自行阅读，否则在有限时间内很难讲授较为完整的体系；3. 同理，在授课过程中您可以选取对您的授课思路有帮助的经典例题或习题进行讲授.授课中题在精不在多，您应当根据自己的授课风格和时间安排合理地选择题目，以有助于学生理解以及掌握基本方法为宗旨.最后的话我们十分清楚，现在阅读这段话的你可能从小到大都对数学缺乏兴趣，

21、也可能在未来与数学之间不会再有很多的交集. 我想很多同学都是经过填鸭式的应试教育而来，如果并非生来热爱，那种传统的教学方式只能是不断地毁灭式打击学生的数学学习兴趣.在序言中笔者也提到，这本讲义希望还原数学本原的自然之美，因此从引入到推进到引申，特别是 “未竟之美” 部分，我们都尽可能地从自然的角度出发，然后不断深入，让读者能够看到人类目前研究的模糊边界，能够看到数学的无限魅力. 或许从小我们便接受过教育，说数学或许不能帮你买菜，但其中的 “思维方式” 才是最重要的. 我想，通过本讲义由浅及深的自然推进，读者大概可以体会当年无数数学家在探索数学本原时的或许 “灵光一现” 又或许 “站在巨人肩膀”

22、 背后的思维方式. 更重要的是，这就是追求真理的过程，是一代代数学家用自己有限的生命逼近宇宙无穷，通向崇高理念世界的过程. 我想读者无论是在学习哪个专业，这都是非常重要的精神品质.尽管我们在编写过程中尽可能地考虑到了读者的阅读体验，但我们也不可能做到面面俱到，如果内容上有什么疏漏错误，编排上有什么不合理之处，或者有什么地方不够清晰，欢迎您将您的阅读体验通过邮件或直接在本讲义所在的 GitHub 仓库提交 Issue. 如果您希望加入我们的编写团队，将这一讲义传承下去，也欢迎您通过 GitHub 仓库提交 Pull Request.愿诸君热爱数学，热爱对真理的追求.吴一航浙江大学计算机科学与技术

23、学院yhwu_is2023 年 8 月目录第 1 讲 预备知识11.1 基本代数结构11.2 复数域的引入61.3 等价关系81.4 高斯消元法13未竟专题一 预备思想171.1 数学证明初探171.2 代数结构的引入241.2.1 群来源于对称241.2.2 五次方程没有求根公式？261.3 公理化思想与布尔巴基学派271.3.1 公理化思想271.3.2 布尔巴基学派37第 2 讲 线性空间412.1 线性空间的定义422.2 线性子空间512.3 线性表示 线性扩张54第 3 讲 有限维线性空间593.1 线性相关性593.1.1 线性相关性的定义593.1.2 线性相关性的定理61IX

24、3.2 基与维数643.2.1 引入：向量组的秩与极大线性无关组643.2.2 向量组的性质663.2.3 基与维数693.2.4 极大线性无关组的求法723.3 向量的坐标74第 4 讲 线性空间的运算814.1 线性空间的交、并、和814.2 覆盖定理834.3 维数公式844.4 线性空间的直和86第 5 讲 线性映射935.1 线性映射的定义935.1.1 线性映射的定义935.1.2 线性映射举例955.1.3 线性映射的基本运算985.2 线性映射的像与核995.3 线性映射的确定1015.4 线性映射基本定理1045.5 像与核的进一步讨论1075.6 可逆与同构1125.6.1

25、 线性空间同构的概念1125.6.2 同构的等价条件1145.7 线性空间的积1165.7.1 线性空间的积的定义与性质1165.7.2 线性空间的积与直和1175.7.3 自然同构119第 6 讲 线性映射矩阵表示1256.1 线性映射矩阵表示1256.2 L(V1, V2) 与矩阵线性空间的同构1296.2.1 矩阵的加法和数乘1296.2.2 同构的说明131第 7 讲 矩阵运算基础1357.1 矩阵乘法1357.1.1 矩阵乘法的定义与基本性质1357.1.2 矩阵多项式1407.2 一组例题1427.3 矩阵的逆1447.3.1 可逆的基本概念1447.3.2 基本性质1457.3.

26、3 逆矩阵的求解（基本方法 I）1467.3.4 广义逆矩阵1477.4 矩阵的转置1477.4.1 基本性质1487.4.2 对阵矩阵与反对称矩阵1507.5 矩阵的共轭1517.6 分块矩阵152第 8 讲 相抵标准形1598.1 相抵标准形1598.2 矩阵的秩1598.3 三个重要的定理1638.4 相抵标准形1698.5 初等矩阵1768.5.1 基本概念与性质1768.5.2 逆矩阵的求解（基本方法 II）1788.5.3 线性映射与初等变换1798.6 相抵标准形的应用180第 9 讲 矩阵运算进阶1839.1 特殊矩阵1839.1.1 对角矩阵1839.1.2 上（下）三角矩阵

27、1849.1.3 基本矩阵1859.1.4 其他矩阵1869.2 矩阵可交换问题1869.3 矩阵的逆进阶求法1899.3.1 给定多项式求逆矩阵1899.3.2 利用分块矩阵初等变换1909.3.3 求逆的分式思想1919.3.4 提逆思想1929.4 矩阵的幂1929.5 分块矩阵初等变换（打洞法）1989.5.1 基本概念1989.5.2 分块矩阵求逆2009.5.3 分块矩阵与数学归纳法2029.6 矩阵方程2059.7 秩等式与不等式207未竟专题二 有限域上的矩阵219第 10 讲 商与对偶22110.1 商空间 . . . . . . . . . . . . . . . . .

28、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22110.1.1 从等价关系出发 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22110.1.2 仿射子集与商空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22310.1.3 商映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22610.2 对偶空间与对偶映射 . . .

29、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22710.2.1 对偶空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22710.2.2 对偶映射的矩阵表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23510.2.3 零化子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23610.3

30、再论商空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239未竟专题三 多重线性映射与张量的计算247第 11 讲 行列式24911.1 行列式的定义24911.1.1 公理化定义25011.1.2 递归式定义25211.1.3 行列式的常用性质25511.2 行列式的基本运算25811.3 伴随矩阵26011.4 Cramer 法则26211.5 行列式的秩26411.5.1 行列式的秩26411.5.2 关于秩的总结26711.6 化三角形法27211.7 连加法27311.8 滚动消去法2

31、7411.9 降阶法27511.10 升阶法277XVII11.11 数归/递推法27911.12 硬拆法28211.13 箭形行列式28311.14 Vandermonde 行列式28411.15 利用 |Em AB| = |En BA|28511.16 Laplace 定理286未竟专题四 矩阵空间291第 12 讲 朝花夕拾29312.1 线性方程组解的一般理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29312.1.1 线性方程组解的一般理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32、 . . . . .29312.1.2 齐次线性方程组解的一般理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29412.1.3 非齐次线性方程组解的一般理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29512.2 理论应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29812.3 线性方程组拓展题型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33、 . . . .30112.3.1 含参数的线性方程组问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30112.3.2 线性方程组同解问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30212.3.3 线性方程组公共解问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30512.3.4 线性方程组反问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311未

34、竟专题五 线性同余方程与纽结321第 13 讲 史海拾遗32313.1 起点：初等代数32313.1.1 初等代数简介32313.1.2 西方初等代数发展史简述32513.1.3 中国初等代数发展史简述32613.2 演化：线性代数的产生与发展32713.2.1 行列式与 Cramer 法则的引入32713.2.2 线性方程组与行列式的进一步研究32913.2.3 矩阵理论的发展33613.2.4 线性代数的应用：解析几何的发展33813.2.5 线性空间与线性映射的角度33913.3 推广：线性代数之后的线性和代数33913.3.1 泛函分析33913.3.2 抽象代数33913.4 进阶：

35、本世纪的线性代数33913.4.1 正定性：从数到矩阵，以及本世纪的矩阵论33913.4.2 线性方程组的解：快一点，再快一点！34413.4.3 随机矩阵：吸引了陶哲轩的未解之谜34513.4.4 机器学习！34713.5 未来：从线性代数出发能望到多远34713.5.1 模作为线性空间的推广34813.5.2 张量积：一个过渡性章节34913.5.3 从代数到单子：往程序设计范式前进35013.5.4 线性化：群表示的艺术35013.5.5 拓扑向量空间：从布尔巴基学派的遗产走出35113.5.6 仿射簇，以及代数几何的问题351第 14 讲 多项式35314.1 多项式的定义35314.

36、2 整除与互素35714.3 多项式的因式分解36714.4 复数域上的多项式函数37214.5 实数域与有理数域上的多项式函数376未竟专题六 纽结的多项式不变量385第 15 讲 相似标准形：动机与基础38715.1 相似的定义与性质38715.2 不变子空间39015.3 特征值与特征向量39715.3.1 特征值与特征向量的定义与求解39715.3.2 相似与特征值、特征向量的关联40215.3.3 特征值的基本性质40515.3.4 特征向量的基本性质40915.4 实数域与复数域的讨论41315.5 特征值的估计416未竟专题七 控制法及其在矩阵理论中的应用421第 16 讲 相似

37、标准形：复数域上的尝试与理论42316.1 对角矩阵42316.1.1 可对角化的条件42316.1.2 对角化问题的一般解法42716.1.3 可对角化的经典例子43116.2分块对角矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43616.2.1 核空间的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43616.2.2 广义特征子空间与分块对角矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . .

38、. . . . .43716.3上三角矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44116.3.1 上三角标准形的存在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44216.3.2 矩阵可交换的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44516.4复数域上相似标准形理论的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39、 . . . . .44716.4.1 幂等矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44716.4.2 幂零矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44916.4.3 平方根问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .451第 17 讲 若当标准形45717.1 若当标准形的存在性45717.2 若当标准形的唯一性46

40、417.3 若当标准形的应用47017.3.1 求解不变子空间47017.3.2 矩阵求幂与马尔可夫链47317.3.3 若当标准形与矩阵分解47517.3.4 求解微分方程47817.4 实数域上的若当标准形479第 18 讲 多项式的进一步讨论48118.1 特征多项式Hamilton-Cayley 定理48118.2 特征多项式与标准形48518.2.1 特征多项式唯一分解与广义特征子空间48518.2.2 初等因子分解与若当标准形48718.3 极小多项式及其性质48918.3.1 极小多项式的定义48918.3.2 极小多项式的性质49118.3.3 极小多项式与标准形493第 19

41、 讲 有理标准形49919.1 推广的广义特征子空间与第二有理标准形49919.2 不变因子与第一有理标准形50319.3 关于相似的最后讨论506未竟专题八 对称多项式和 Young 图509第 20 讲 内积空间51120.1 内积和范数51120.1.1 内积和范数的定义及性质51120.1.2 正交的定义 基于正交的性质51220.2 标准正交基51520.3 内积的表示方式51720.4 正交补52020.4.1 正交补 正交投影52020.4.2 极小化问题522第 21 讲 内积空间上的算子52721.1 内积空间的同构52721.1.1 内积空间的同构52721.1.2 伴随5

42、2821.1.3 内积空间的保积自同构53021.2 自伴算子53321.3 正规算子53721.3.1 复正规算子53921.3.2 实正规算子54021.4 算子与数的类比 正算子54221.4.1 算子与数的类比54221.4.2 正算子544未竟专题九 希尔伯特空间引论549第 22 讲 奇异值分解55122.1 奇异值分解55122.2 奇异值分解的应用55422.2.1 奇异值的几何解释55422.2.2 极分解定理554第 23 讲 线性代数与几何55723.1 欧几里得空间55723.2 欧氏空间上的运算55723.3 点、直线、平面的表示55923.3.1 平面的方程5592

43、3.3.2 直线的方程56023.4 平面与直线间的位置关系56123.4.1线与线的位置关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56123.4.2线与面的位置关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56123.4.3面与面的位置关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562第 24 讲 二次型56324.1 二次型的定义56324.2 矩阵相合的定义与性质56424.3 二

44、次型标准形的定义与求解56524.4 相合规范形 惯性定理56624.5 标准形的应用568未竟专题十 射影几何的代数方法569未竟专题十一 有限域上的二次型571未竟专题十二 二次型的几何573未竟专题十三 实数域的诸扩域575未竟专题十四 线性动力系统577第 25 讲 线性代数与微积分579未竟专题十五 范畴论视角下的线性代数58125.1 范畴、函子、自然变换58125.2 范畴论的构造58625.2.1 单态射、满态射和同构58625.2.2 泛性质：始对象和终对象58725.2.3 Hom 函子和 Yoneda 引理58825.2.4 伴随函子58925.2.5 逗号范畴58925

45、.2.6 和与积、极限和余极限58925.2.7 纤维化和余纤维化58925.3 幺半范畴及其性质58925.3.1 函子范畴和单子58925.3.2 Beck 单子化定理 *58925.3.3 张量积58925.4 2-范畴一瞥58925.4.1 伴随和伴随58925.4.2 作为 2-极限的逗号范畴58925.4.3 走向无穷范畴：为什么我们需要套娃？5891预备知识线性代数作为大学的第一门数学课，预修要求并不高. 我们默认读者具有基本的高中数学知识，因此关于集合、映射以及向量的基本知识我们不在此赘述. 这一讲我们将从基本代数结构开始，以便后续线性空间的引入，然后我们将介绍本书中常见的概念等价类和最常用的算法之一高斯消元法.1.1 基本代数结构我们选择从基本代数结构谈起，因为在以往的实践中我们深切地体会到直接引入线性空间的跳跃. 因此我们希望从更具象的例子开始，首先引入