《《线性代数：末竞之美》习题参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《线性代数：末竞之美》习题参考答案.docx（160页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、目录线性代数：未竟之美习题参考答案11 预备知识12 线性空间33 有限维线性空间64 线性空间的运算135 线性映射196 线性映射基本定理247 线性映射矩阵表示（I）308 线性映射矩阵表示（II）359 线性映射矩阵表示（III）3710 矩阵运算进阶（I）3911 矩阵的秩4212 矩阵运算进阶（II）4913 行列式5314 行列式计算进阶6715 朝花夕拾7616 史海拾遗8917 多项式9018 不变子空间9119 相似标准形（I）9520 相似标准形（II）10321 多项式的进一步讨论10422 若当标准形105iii23 内积空间10624 内积空间上的算子（I）1072
2、5 内积空间上的算子（II）10826 二次型10927 极分解与奇异值分解11028 实空间上的算子11130 线性代数与解析几何基础112线性代数 I（H）期中/小测历年卷试题集1132020-2021 学年线性代数 I（H）小测 1（谈之奕老师）1132020-2021 学年线性代数 I（H）小测 2（谈之奕老师）1152020-2021 学年线性代数 I（H）期中（吴志祥老师）1172020-2021 学年线性代数 I（H）小测（刘康生老师）1192021-2022 学年线性代数 I（H）期中（吴志祥老师）1202022-2023 学年线性代数 I（H）期中（刘康生老师）1222022
3、-2023 学年线性代数 I（H）期中（谈之奕老师）1232022-2023 学年线性代数 I（H）期中（吴志祥老师）124线性代数 I（H）期末历年卷试题集1272009-2010 学年线性代数 I（H）期末1272010-2011 学年线性代数 I（H）期末1292011-2012 学年线性代数 I（H）期末1312012-2013 学年线性代数 I（H）期末1332013-2014 学年线性代数 I（H）期末1352014-2015 学年线性代数 I（H）期末1372018-2019 学年线性代数 I（H）期末1392019-2020 学年线性代数 I（H）期末1412021-2022
4、学年线性代数 I（H）期末1432022-2023 学年线性代数 I（H）期末145线性代数 II（H）期中/小测历年卷试题集1472020-2021 学年线性代数 II（H）期中（刘康生老师）1472020-2021 学年线性代数 II（H）小测（刘康生老师）1482020-2021 学年线性代数 II（H）期中（谈之奕老师）1492022-2023 学年线性代数 II（H）期中（刘康生老师）1502022-2023 学年线性代数 II（H）期中（吴志祥老师）151iii线性代数 II（H）期末历年卷试题集1532022-2023 学年线性代数 II（H）期末考前练习1532022-2023
5、 学年线性代数 II（H）期末155iv线性代数：未竟之美习题参考答案1 预备知识A 组1.2.3.A = 21355 0 1 1 31 11143111431 1 3 2 1315671 114 30 2 2 620 2 2 621 021 20 00000 00000 00000 00000 1 1 3 1 0 1 1 3 1 .令 x3 = k1, x4 = k2, x5 = k3，有 x1 = 2k1 k2 + 2k3, x2 = k1 + 3k2 + k3，则211321 123451 2 3 X = (x , x , x , x , x )T = k1+ k0+ k0k1, k2,
6、 k3 R 0 01 1 001334.1223115981271111011133122311152311523011021120A = 30101 122 31 1 0 0 4 54 0011020000000 0 1 1 0 20 0 00000115 2 3 0 1 0 4 21 .令 x4 = k1, x5 = k2, x6 = k3，有 x1 = 4k1 5k2 4k3, x2 = 4k1 2k2 + k3, x3 = k1 + 2k3，则X = (x1, x2, x3, x4, x5, x6)T = k441 1 + k1 005202 0 + k 1 0413 0 2 0 1k
7、1, k2, k3 R5. 见教材 P33 例 3. 无解.B 组1.C 组1.2 线性空间A 组1. (1) 有理数集 Q 关于实数乘法不封闭，不构成实数域上的线性空间.(2) R2 关于通常向量加法构成交换群，封闭性也显然成立. 再看数乘.i. = 1 使得 (x, y) = (x, y) = (x, y).ii. ( (x, y) = (x, y) = ()x, y) = () (x, y).iii. ( + ) (x, y) = ( + )x, y) = (x, y) + (x, y). 因此 ( + ) (x, y) = (x, y) + (x, y) 成立.iv. (x1, y1)
8、+(x2, y2) = (x1 +x2, y1 +y2) = (x1 +x2, y1 +y2) = (x1, y1)+ (x2, y2)，因此 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) + (x2, y2).v.（封闭性） R, (x, y) = (x, y) R2，封闭性满足.综上，R2 关于通常向量加法与该数乘构成实数域上的向量空间.(3) i. 对于加法，显然，封闭性，结合律，交换律成立. 存在加法单位元 (1, 1, . . . , 1)有(1, 1, . . . , 1) + (a1, a2, . . . , an) = (a1, a2, . . . , an)
9、+ (1, 1, . . . , 1)= (a1, a2, . . . , an)由于为正实数向量，则对于 (a , . . . , a )，存在唯一的逆元 ( 1 , . . . , 1 )，使 1naa11, . . . ,1()1n得 (a , . . . , a n ) += (1, . . . , 1).1naaii. 对于数乘，显然有封闭性成立，乘法单位元为 0 = 1. 又有A. ( (a1, . . . , an)1n= (a, . . . , a)= (a), . . . , (a)1n= (a, . . . , a)1n因此 ( (a1, . . . , an) = ()
10、(a1, . . . , an) 成立.B.( + ) (a1, . . . , an)= (a+, . . . , a+)1n= (aa, . . . , aa)1 1n n= (a, . . . , a) + (a, . . . , a),1n1n因此 ( + ) (a1, . . . , an) = (a1, . . . , an) + (a1, . . . , an)，第一个加号为数的加法，第二个加号为定义的向量加法.11nnC. (a1, . . . , an) +(b1, . . . , bn) = (a1b1, . . . , anbn) = (ab, . . . , ab) =
11、1n1n(a, . . . , a) + (b, . . . , b)，因此 (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn).+综上有 Rn 对如下加法和数乘构成实数域线性空间.(4)（教材第二章，习题第一题 911 小题，仅验证部分性质，其余请读者自行完成，或对照大学数学代数与几何课后习题解答进行求解）(9) 当 m). 对于齐次线性方程组：x11 + x22 + + xnn = 0.(1) 若向量组线性相关，则对应该方程组有无穷多解. 去掉 m 个分量，相当于删去该方程组中的任意 m 行方程
12、，依然有无穷多解. 这是因为对于原方程组的任意一个解，将其带入被削减后的方程组也依然成立. 故线性相关得证.(2) 若向量组线性无关，对应原方程组仅有唯一解，也就是全零解. 增加 m 个分量相当于增加 m 个方程，依然只有唯一解，因为若出现非零解，代入原方程组对应的方程中不会成立，矛盾. 故线性无关得证.3. 方程组：x11 + x22 + x33 = 0 系数矩阵121 121 121 311 054 0 54 ,62a2 1 20 10 a 606400a + 2000仅全零解的条件是 a = 2，此时向量组线性无关.4. (1) 必要性：1, . . . , n 线性无关，对于 F n
13、中的任一向量 , 1, . . . , n, 的向量个数大于维数 n，则线性相关. 由定理 3.2， 可被 1, . . . , n 唯一表示.(2) 充分性：由于 F n 中任意向量均可被 1, . . . , n 线性表示，并且向量个数等于维数. 则 1, . . . , n 是 F n 的一组基. 则 1, . . . , n 线性无关. 更详细的证明：对于 F n 的一组基 e1, . . . , en，其可被 1, . . . , n 表示. 若 1, . . . , n 线性相关，不妨设 n 可被 1, . . . , n1 表示，则有 e1, . . . , en 可被 1, .
14、 . . , n1 表示. 由于 e1, . . . , en 线性无关. 根据定理 3.3，n n 1，矛盾.因此得证.5. (1) 必要性：对于 v span(S1)span(S2) 有 v = a11+ +ass = b11+ +btt.由于 1, . . . , s, 1, . . . , t 线性无关 = a1 = = as = b1 = = bt = 0，则 v = 0，即 span(S1) span(S2) = 0.(2) 充分性：考虑反证法. 如果 1, . . . , s, 1, . . . , t 线性相关，则存在不全为零的系数使得 a11 + + ass + b11 +
15、btt = 0. 因此存在一个向量 v = a11 + + ass = (b11 + btt) = 0 且 v span(S1), v span(S2). 即存在非零向量 v 属于 span(S1), v span(S2)，矛盾！则充分性得证.6. (1) 也就是求 1, 2, 3, 4 的极大线性无关组. 利用讲义中所述求法：方程组a11 + + a44 = 0对应系数矩阵 2 1 11 . 化简为行阶梯型：0 331，因1121 1121 4 622369700030000此 1, 2, 3, 4 有非零解，这四个向量线性相关. （其实此处已知矩阵秩为 3，即维数是 3）.再选取 1, 2
16、, 4 来求解方程 a11 + a22 + a44 = 0：111 111 4 6 2002 2 11 0 3 2 ,367000因此该方程组只有全零解，即 1, 2, 4 是 1, 2, 3, 4 的极大线性无关组. 则span(1, 2, 4) 的维数是 3. 一组基是 1, 2, 4 .(2) 也就是 a11+ + a44112143697a4 6224= 有解：增广矩阵 2 1 112 化为0010，若方程有解，则 a = 9. 求坐标，取 x33= 0 代入得121433160088000a 9 = 41 + 32 34.7. 只需证明 B 线性无关即可. 1 + 2(xa) + 3
17、(x a)2 求导，增加方程数得到2 + 23x = 0 23 = 0则 1 = 2 = 3，线性无关得证. 又 B 中向量个数等于 Rx3 维数. 则 B 是一组基. 1 = 11 + 0(x a) + 0 (x a)2 ，即 (1, 0, 0)；x = a1 + 1(x a) + 0 (x a)2 ，即 (a, 1, 0)；x2 = a21 + 2a(x a) + 1 (x a)2 ，即 (a2, 2a, 1).8. 等价于证明 1, 2, 3, 5 4 线性无关. 即求解11 + 22 + 33 + 4(5 4) = 0(*)由于 r(A) = r(B) = 3 可得 A 线性无关. B
18、 线性相关. 由定理 3.2 得 4 可由1, 2, 3 唯一表示：4 = 11 + 22 + 33. 则代入 (*) 式. 有(1 14)1 + (2 24)2 + (3 34)3 + 45 = 0,因为 r(C) = 4，1, 2, 3, 5 线性无关. 有 4 = 0, 1 = 14 = 0, 2 = 24 = 0, 3 = 34 = 0. 故 1, 2, 3, 5 4 线性无关. 原题得证.9. 相当于从 1, . . . , s 向量中选取 s m 个向量丢弃，剩余向量的秩：r(i1, . . . , im) r (s m) = r + m s.10. 方程：11 + + nn +
19、n+1 + n+2 = 0，显然 n+1, n+2 不全为零. 否则与1, . . . , n 线性无关矛盾.(1) 若 n+1 = 0, n+2 = 0，则 可被 1, . . . , n 表示. 若 n+1 = 0, n+2 = 0，则 可被 1, . . . , n 表示.(2) 若 n+1n+2 = 0 ，则有 = = 1n+11(11 + + nn + n+2) (11 + + nn + n+1)n+2两组向量可以相互表示. 两者等价. 综上原题得证.B 组1. 充分性显然成立，下证必要性：由于 1, . . . , n 线性相关，则存在 m，其能使得 1, . . . , m 线性
20、无关的最大下标，有 1 m j. 相减得 1 = + 1 j100+ + j1 0j1i1 1 = ( 1 1 ) 000+ + ( i + 1 ) 00+ i1 ,0ji1则 i 可被其他向量线性表示，因此向量组线性相关，与条件矛盾. 综上，至多有一个向量 i 可被前面的相邻线性表示.4. 考虑使用求导构造更多方程.k0 + k1 e1 x + k2 e2 x = 0k11 e1 x + k22 e2 x = 0,12k12 e1 x + k22 e2 x = 0由后两式可知 k1k2(1 0) = 0. 又 1 = 2，故 k1 = k2 = 0，代回第一式得 k0 = 0，则 1, e1
21、 x, e2 x 线性无关，得证.5. 只需证明 r 可以被 1, . . . , r1, 表示即可. 由于 是 1, . . . , r1 的线性组合，若1rr = 0，则 是 1, . . . , r1 的线性组合. 这与条件矛盾. 因此 r = (11+ +r1r1 )，则这两组向量等价. span(1, . . . , r1, r) = span(1, . . . , r1, )得证.6. 分析该实线性空间，可以看出加法单位元为 1，数乘单位元为 1. 我们给出一组基：e，其中 e 为自然对数的底数. 当然, 2，3 或者 10 都可以作为一组基. 接下来我们验证 e是 R+ 的基：a
22、 R+, k = ln a R，满足 k e = ek = a，则 span(e) = R+ 成立.由于该向量组只有一个元素，且并非设该空间的零元 1，则 e 是线性无关的. 得证.C 组1. (1) 若不全为 0. 不妨设设至少有 ki = 0，则有 k11 + + ki1i1 + ki+1i+1 + + kmm = 0，并且系数不全为 0. 因此 1, . . . , i1, i+1, . . . , m 这 m 1个向量相关，与题设矛盾. 则原题得证.(2) l1 = 0，则 l2, . . . , lm 均不为 0.i. 若 k1 = = km = 0. 原式显然成立.ii. 若 k1
23、, , km 不全为 0. 则l1(k11 + + kmm) = 0k1(l11 + + lmm) = 0两式相减，得(k2l1 k1l2)2 + + (kml1 k1lm)m = 0,因为 , . . . , 线性无关. 则以上系数均为 0. 故 k2 = k1 , . . . , km= k1 .2m得证.l2l1lml12. 利用递推法：当 r = 1 时，由于 1 线性无关，可得 1 = 0. 设 1 = 11 + +nn，则至少存在一个 i= 0，不妨设 1= 0，因此有 1 1 1= (1+ 22+ + nn)，故 1, . . . , n 与 1, 2, . . . , n 等价
24、.当 r = 2 时，由于 1, 2 无关. 有 12 = 0. 根据 r = 1 的情况，不妨设 1, . . . , n与 1, 2, . . . , n 等价. 因此 2 可由 1, 2, . . . , n 表出：2 = 11 + 22 + + nn.由于 1, 2 无关，故 2, . . . , n 至少有一个非零的数. 不妨设 2 = 0，同上可得 1, 2, 3, . . . , n 就与 1, 2, . . . , n 等价，也与 1, 2, . . . , n 等价. 综上，通过递推可知，对正整数 r，上述结论依然成立.3. (1) = (1, 1, . . . , 1)T,
25、 W = span(), 显然 W 是满足条件的一维子空间.(2) 考虑反证法：若 dim W 1，则 W 中存在线性无关的两向量. 由条件，a1, . . . , an, b1, . . . , bn = 0,可设 a1 = kb1, k F ，因此 k = (0, a2 kb 2, . . . , an kbn)T W . 且由于 , 无关， k = 0 但存在分量为 0，这与条件矛盾. 故 dim W = 1.(3) 考虑反证法：若 dim W r + 1，则存在 r + 2 个线性无关的向量，设为1 = (a11, a12, . . . , a1(r+1), . . . , a1n)T.r+2 = (a(r+2)1, a(r+2)2, . . . , a(r+2)(r+1), . . . , a(r+2)n)T取这些向量的前 r + 1 个分量组成新的向量组：1 = (a11, a12, . . . , a1(r+1)T.r+2 = (a(r+2)1, a(r+2)2, . . . , a(r+2)(r+1)T由于 1, . . . , r+2 是 r + 2 个 r + 1