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1、 高三数学试卷 第1页（共 6 页）学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度学年度苏锡常镇苏锡常镇高三高三教学情况调研（二）教学情况调研（二）数数 学学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在
2、每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ax=|1|2xx经过点(2,0)，则 C 的渐近线方程为 A.2yx=B.12yx=C.14yx=D.22yx=3.已知1z，2z是两个虚数，则“1z，2z均为纯虚数”是“12zz为实数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知随机变量2(1,)N，且(0)()PPa=，则14(0)xaxax+；（2）若()f x在区间(1,)+上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.18（17 分）已知 F 为抛物线22Cxpy=：(0p)的
3、焦点，点 A 在 C 上，FA=1(3,)4.点 P(02)，M，N 是抛物线上不同两点，直线 PM 和直线 PN 的斜率分别为1k，2k.（1）求 C 的方程；（2）存在点 Q，当直线 MN 经过点 Q 时，12123()24kkk k+=恒成立，请求出满足条件的所有点 Q 的坐标；（3）对于（2）中的一个点 Q，当直线 MN 经过点 Q 时，MN存在最小值，试求出这个最小值.高三数学试卷 第6页（共 6 页）学科网（北京）股份有限公司 19.（17 分）如图所示数阵，第m（1m）行共有1m+个数，第m行的第 1 个数为01Cm，第 2个数为1Cm，第n（3n）个数为1322nnm nm n
4、CC+.规定：00C1=.0101012001200141233312344553142345566773125345667788993142536456771200889001201291011110CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC（1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；（2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；（3）从第 1 行起，每一行最后一个数依次构成数列 na，设数列 na的前n项和为nS.是否存在正整数 k，使得对任意正整数 n，41nnkS恒成立？如存在，请求出 k 的最大值，如不存在，请说明理由.
5、高三数学答案 第1页（共 8 页）学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研研（二）（二）数学（参考答案）2024.5 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B C D A D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分 题号 9 10 11 答案 BCD ABD AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 1
6、5 分分 121y=或3450 xy+=1319 144，1 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分 15（13 分）【法一法一】（1）证明：在直棱柱111CBAABC 中，1B B 面ABC，则面11BBCC 面ABC，2 分分 面11BBCC 面ABCBC=，AB 面 ABC，BCAB，所以AB面11BBCC.4 分分 因为11/BAAB，所以11BA面11BBCC.则1AC在面11BBCC的射影为1BC，在正方形11BBCC中，有.11CBBC 所以由三垂线定理得：.11CABC 6 分分（2）解：直三棱柱111ABCABC的体积为11112 1122VA
7、B BC AAAA=，则11AA=.7 分分 高三数学答案 第2页（共 8 页）学科网（北京）股份有限公司 由（1）11BA平面11BBCC，1BC 平面11BBCC，则11BA1BC，在正方形11BBCC中，1BC 1BC，且111ABBC，平面CBA11，1111ABBCB=，所以1BC平面CBA11.8 分分 设11BCBCO=，在11ABC中，过O作CAOH1于H，连接BH.因为 OH 为 BH 在面11ABC的射影，由三垂线定理得：CA1.BH 所以BHO为二面角11BABC的平面角.10 分分 因为 RtCOHRt11CAB，111BACAOHCO=，得33=OH，又在 RtBOH
8、中，22=BO，得630=BH，12 分分.51063033cos=BHOHBHO 所以二面角BCAB11的余弦值为.510 13 分分 【法二法二】直三棱柱111ABCABC的体积为：11112 1122VAB BC AAAA=，则11AA=.1 分分（1）证明：直棱柱111ABCABC，1BB 平面ABC，又ABBC，以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系.2 分分(0,0,0)B，1(0,0,1)B=，(1,0,0)C，1(0,2,1)A，1(1,0,1)C.1(1,0,1)BC=，1(1,2,1)AC=，4 分分 高三数学答案 第3页（共
9、8 页）学科网（北京）股份有限公司 111 10(2)1(1)0BCAC=+=，所以.11CABC 6 分分（2）(0,0,0)B，1(0,0,1)B=，(1,0,0)C，1(0,2,1)A，1(1,0,1)C.(1,0,0)BC=，1(0,2,1)BA=，设平面1BCA的法向量1 111(,)x y z=，则111111020BCxBAyz=+=，取11y=，得1(0,1,2)=.8 分分 1(1,0,1)BC=，11(0,2,0)B A=，设面11BCA的法向量2 222(,)xyz=，则21222112020BCxzB Ay=，取21x=，得2(1,0,1)=.10 分分 设二面角11B
10、ABC的大小为，则：121212|2|10|cos|cos,|552=.12 分分 因为为锐角，所以二面角11BABC余弦值为510.13 分分 16.（15 分）（1）解：提出假设0H：是否喜爱阅读与性别没有关系 3 分分 根据列联表的数据，可以求得：2250(10 1213 15)0.7252.70625252327=，只需证：当0 x 时，e1xx+.1 分分 令()e1xp xx=，则()e10 xp x=，则()p x在(0,)x+单调递增，3 分分 所以()(0)0p xp=，即e1xx+.5 分分（2）2(1)e1()xxafxxx+=+1(1)e1xxaxx+=+，6 分分 令
11、(1)e1()(1)xxg xa xx+=+，则()2222e(1)1(1)110 xxxxxxgxxxx+=.所以()g x在(1,)+单调递增，()(1)1g xga=+，8 分分 当1a时，()(1)10g xga=+，()0fx.则()f x在(1,)+为增函数，()f x在(1,)+上无极值点，矛盾.11 分分 当1a 时，(1)10ga=+，(1)e1(1)e(1)()1xxxxxxg xaaaxaxxx+=+=+，则(1)0ga，高三数学答案 第5页（共 8 页）学科网（北京）股份有限公司 则0(1,1)xa使0()0g x=.14 分分 当0(1,)xx时，()0g x，()0
12、fx，()0fx，则()f x在0(,)x+上单调递增.因此，()f x在区间(1,)+上恰有一个极值点，所以a的取值范围为(,1).15 分分 18.（17 分）（1）解：F(0，2p)，设 A(211,2xxp)，则FA=211(,)22xpxp1(3,)4=，1 分分 所以12131224xxpp=，得：2260pp=，解得2p=或32p=（舍），所以抛物线 C 的方程为24xy=.4 分分（2）设直线 MN：ykxm=+，M(11,x y)，N(22,xy)，联立，得2440 xkxm=.所以216()0km=+，121244xxkxxm+=，.111111222ykxmmkkxxx+
13、=+，222222222ykxmmkkxxx+=+，则1212121211(2)2(2)()2(2)xxk mkkkmkmxxx xm+=+=+=，5 分分 121212(2)(2)kxmkxmk kx x+=2222121212(2)()(2)8(2)4k x xk mxxmkmx xm+=.6 分分 因为12123()24kkk k+=，即：22(2)8(2)32404k mkmmm+=，即：(22)(42)0kmkm+=，则22mk=或24mk=，能满足式.8 分分 高三数学答案 第6页（共 8 页）学科网（北京）股份有限公司 则 MN：22(2)2ykxkk x=+=+，或 MN：24
14、(4)2ykxkk x=+=+，所以定点 Q 的坐标为(2,2)或(4,2)，10分分（3）如 MN 过(4,2)点，当122kk=时，12123()24kkk k+=，但此时 M，N 重合，则|MN无最小值，所以 MN 只能过(2,2)点，此时|MN有最小值.11 分分 由（2），在中，令22mk=得：1212488xxkxxk+=，MN=222221212121212()()11()4xxyykxxkxxx x+=+=+224321(4)4(88)42322kkkkkkk=+=+.13 分分 令432()2322f kkkkk=+，则32246622(21)(1)0()kfkkkkkk=+
15、=+=，12k=.15 分分 当12k 时,()0fk时,()0fk，()f k在1(,)2+上为增函数，16 分分 所以当12k=时，()f k有最小值，MN有最小值.min114 112544MN=+=.17 分分 19.（17 分）（1）解：第 1 行最后两数0101CC1=，第 2 行的最后两数120233CCC2=.1 分分 第m（3m）行的第m个数为132222CCmmmm，第1m+个数为22121CCmmmm，猜测：13222222121CCCCmmmmmmmm=.2 分分【法一法一】即证：12321222122CCCCmmmmmmmm=，3 分分 因为1123322222222
16、2222CCCCCCmmmmmmmmmmmm+=+，5 分分 高三数学答案 第7页（共 8 页）学科网（北京）股份有限公司 只要证明22222CCmmmm=，该式显然成立，所以12321222122CCCCmmmmmmmm=，所以每行最后两个数相等.6 分分【法二法二】因为22121(21)!(21)!CC!(1)!(2)!(1)!mmmmmmm mmm=+(21)!(1)(1)!(1)!mm mm mm m=+2(21)!(2)!(1)!(1)!mmmm mm m=+；4 分分 又因为132222(22)!(22)!CC(1)!(1)!(3)!(1)!mmmmmmmmmm=+(22)!(1)
17、(1)(2)(1)!(1)!mmmmmmm=+(42)(22)!(1)!(1)!mmmm=+2(21)!(2)!(1)!(1)!(1)!mmmmm m=+.即：13222222121CCCCmmmmmmmm=.所以每一行的最后两个数相等.6 分分（2）第 1 行所有数之和为0101CC2+=，第 2 行的最后一个数为03233 12CC=，此时结论成立.7 分分 因为11CCCkkknnn+=，第m（2m）行的1m+个数之和为：0120312111222121CC(CC)(CC)(CC)mmmmmmmmmm+01201211211221(CCCC)(CCC)mmmmmmmmm+=+012012
18、1212221(CCCC)(CCC)mmmmmmmmm+=+1212211213321(CCC)(CCC)mmmmmmmm+=+222CCmmmm=.10分分 高三数学答案 第8页（共 8 页）学科网（北京）股份有限公司 而第1m+行倒数第二个数为222CCmmmm，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证.11 分分（3）当1n=，3k=时，1111C1Sa=，11341S=，当4k时，此时显然不成立.猜测：存在正整数 k，使得41nnkS恒成立，k 的最大值为 3.12 分分 下证：当2n时，341nnS 恒成立.由（1）知，(2)!(1)!nnnan+=，则1(22)!(1)!(2)!nannn+=+，因为1(22)!(22)(1)!(!)!(1)!(212)!(2)()(12nnannnnn nnannn+=+=2(21)4(2)6644222nnnnn+=，当2n时，2111214444nnnnnaaaa=.15 分分 当2n时，211241.144.43nnnnSaaa=+=，所以341nnS.综上：存在正整数 k，k 的最大值为 3，使得41nnkS恒成立.17 分分