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1、课时规范练6二次函数及其性质一、基础巩固练1.(2024辽宁沈阳模拟)已知二次函数y=ax2+bx+1图象的对称轴是直线x=1,并且通过点P(-1,7),则a,b的值分别是()A.2,4B.-2,4C.2,-4D.-2,-42.(2024山东潍坊模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和3,则f(x)的单调递减区间为()A.(-,-1B.-1,+)C.(-,2D.2,+)3.(2024山东泰安模拟)“c(-23,23)”是“xR,x2-cx+30”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2024浙江金华联
2、考)设函数f(x)=(12)x2-2mx在(1,2)内单调递增,则m的取值范围为()A.(-,-2B.-2,-1C.1,2D.2,+)5.(2024安徽合肥模拟)已知函数f(x)=1ax2+bx+c的部分图象如图所示,则a+b+c=()A.-6B.6C.-3D.36.(多选题)(2024福建福州模拟)已知函数f(x+1)=2x+x-1,则()A.f(3)=9B.f(x)=2x2-3x(x0)C.f(x)的最小值为-1D.f(x)的图象与x轴有1个交点7.(2024辽宁大连模拟)已知-1和2是二次函数f(x)的两个零点,且f(x)的最大值为94,则f(x)的解析式为f(x)=.8.(2024安徽
3、六安模拟)函数f(x)=4x-22x-3,x0,2的最小值是.9.(2024甘肃张掖模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+a在0,3上的最小值为-2,则a的值为.10.(2024山西大同模拟)已知关于x的方程4-|x|-2-|x|+2-a=0有实根,则实数a的取值范围是.二、综合提升练11.(2024湖南长沙模拟)已知函数f(x)=log2x2log2x8,若f(x1)=f(x2)(其中x1x2),则1x1+9x2的最小值为()A.34B.32C.2D.412.(2024河北邢台模拟)已知E(2,0),F(0,-2),点P在直线3x-y+1=0上移动,则|PE|2+|PF|2的最小值为.13.
4、(2024江苏镇江模拟)已知g(x)=x2-2ax+1在1,3上的值域为0,4.(1)求实数a的值;(2)若不等式g(2x)-k4x0在x1,+)内恒成立,求实数k的取值范围.课时规范练6二次函数及其性质1.C解析 y=ax2+bx+1(a0)图象的对称轴是直线x=1,-b2a=1,又图象过点P(-1,7),a-b+1=7,即a-b=6,联立解得a=2,b=-4,故选C.2.A解析 因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和3,所以其图象的对称轴为直线x=-5+32=-1,又因为a0,所以二次函数的单调递减区间为(-,-1,故选A.3.A解析 由xR,x2-
5、cx+30可得=c2-430,解得-23c23,所以“xR,x2-cx+30”等价于“c-23,23”,所以“c(-23,23)”可推出“xR,x2-cx+30”,“xR,x2-cx+30”不能推出“c(-23,23)”,所以“c(-23,23)”是“xR,x2-cx+30”的充分不必要条件,故选A.4.D解析 令u=x2-2mx,则二次函数u=x2-2mx的图象开口向上,对称轴为直线x=m,因为y=(12)u在R上单调递减,函数f(x)=(12)x2-2mx在(1,2)内单调递增,所以u=x2-2mx在(1,2)内单调递减,故m2,故选D.5.C解析 由图象可知ax2+bx+c=a(x-2)
6、(x-4),又由二次函数y=ax2+bx+c的对称性和图象知顶点为(3,1),所以a(3-2)(3-4)=1,解得a=-1,所以b=6,c=-8,则a+b+c=-3,故选C.6.ACD解析 令t=x+11,得x=t-1,则x=(t-1)2,得f(x+1)=f(t)=2t2-3t,故f(x)=2x2-3x,x1,+),f(3)=9,A正确,B错误.因为f(x)=2x2-3x=2(x-34)2-98,所以f(x)在1,+)内单调递增,f(x)min=f(1)=-1,令f(x)=0,解得x=0(舍去)或x=32,所以f(x)的图象与x轴只有1个交点,C正确,D正确,故选ACD.7.-x2+x+2解析
7、 因为-1和2是二次函数f(x)的两个零点,则直线x=12是f(x)图象的对称轴,又因为f(x)的最大值为94,所以设f(x)=a(x-12)2+94(a0),由f(2)=0,得94a+94=0,解得a=-1,故f(x)=-(x-12)2+94=-x2+x+2.8.-4解析 令t=2x,因为x0,2,所以t1,4,函数化为f(t)=t2-2t-3,因此当t=1时f(t)有最小值f(1)=-4.9.2解析 函数f(x)=x2-2ax+a图象的对称轴为直线x=a,当a0时,函数f(x)在0,3上单调递增,f(x)min=f(0)=a=-2,成立;当0a3时,函数f(x)=x2-2ax+a在0,a上
8、单调递减,在(a,3上单调递增,f(x)min=f(a)=-a2+a=-2,解得a=-1(舍去)或a=2,所以a=2;当a3时,f(x)在0,3上单调递减,f(x)min=f(3)=9-6a+a=-2,解得a=115,不成立,综上可知a=2.10.-3,0)解析 由4-|x|-2-|x|+2-a=0可得(2-|x|)2-42-|x|=a,令t=2-|x|(0t1),则a=t2-4t=(t-2)2-4,由于0t1,所以-3(t-2)2-40,因此-3a0,即x1x2=16,1x1+9x229x1x2=234=32,当且仅当1x1=9x2,即x1=43,x2=12时,等号成立,故选B.12.9解析
9、 因为点P在直线3x-y+1=0上,所以可设点P的坐标为(a,3a+1),其中aR,所以|PE|2+|PF|2=(a-2)2+(3a+1)2+a2+(3a+3)2=20(a+12)2+9,故当a=-12时,|PE|2+|PF|2取得最小值9.13.解 (1)g(x)的图象的对称轴为直线x=a.当a1时,g(x)在1,3上的最小值g(1)=2-2a=0,a=1,不符合a3时,g(x)在1,3上的最小值g(x)min=g(3)=10-6a=0,解得a=53,不满足题意.综上,a=1.(2)由(1)知,g(x)=x2-2x+1,不等式g(2x)-k4x=4x-22x+1-k4x0,即k1-22-x+4-x,令t=12x,则t(0,12,kt2-2t+1在(0,12上恒成立,令f(t)=t2-2t+1,当t(0,12时,f(t)单调递减,f(t)min=f(12)=14,k14,即k的取值范围是(-,14.4