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1、第三章光学成像系统的频率特征1 .参看图3.5,在推导相干成像系统点扩散函数（3. 35）式时，对于积分号前的相位因子呻,金3 +端x exp/ 22、一M27试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子exp /上2do（%o + yl）相对于它在原点之值正好改变n弧度?（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少?（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a,入和山之间存在什么关系时可以弃去相位因子exp解：（1 ）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为的条件是（2）根据（3. 1.5）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，
2、其中心位于理想像点（丸, %）8力(%，%；2)= J J P(x,y)exp-oo1A2dQdiB circ-I 1aJQ 兀 ap)=后产+(讶)2在点扩散函数的第一个零点处，（23夕）= 0,此时应有2年=3.83,即(2)0.61Po=a将（2）式代入（1）式，并注意观察点在原点（七=% =0）,于是得0.6 IM（3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点 扩散函数对于原点的贡献依%,为；。,。）。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以 外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点 附近r（）Q.6Ud（）/a范围内的小
3、区域。当这个小区域内各点的相位因子 expN/2do变化不大，就可认为（3.1.3）式的近似成立，而将它弃去，假设小区 域内相位变化不大于几分之一弧度（例如1/16 ）就满足以上要求，则kr? 12d。 ，a 2.44,2d（）例如2 = 600d（） = 600nm ,则光瞳半径a 21.46皿n,显然这一条件是极易满足2.一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为z（x，x） = L + J_cos2次/。放在图3. 5 （a）所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传 播方向在xz平面内，与z轴夹角为6。透镜焦距为f,孔径为D。（1） 求物体透射光场的频谱；（2） 使像平面出现条纹
4、的最大0角等于多少？求此时像面强度分布；（3）若e采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与 8=0时的截止频率比较，结论如何？解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为AexpC/版 sin。），为确定起见设90,则物平面上的透射光场为J2Go（/）+ -exp _/2叫（/）。0（/，）=-exp（川飞 sin。），（毛,%）其频谱为sin。、sin。A（477）=尸。（%,先）sin。、 1 c 匕，/ sin。、 1 e f . sin。+ y J- f.+ | + -，由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿J轴整体平移了 sin。/%距离。（2）欲使像面有强度变化
5、，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率Pc = DI4讨，于是要求sin。TV，42/42/-fo +sin 8 D42f由此得(1)4侬=arcsin。角的最大值为(2)此时像面上的复振幅分布和强度分布为AU,(七，X)= 5exp j2兀Xj1 + Jexp(J2 )七 4)454(，丫)= 7 -+cos2/0x（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得22f或7() max22/(3)9 = 0时，系统的截止频率为4 =。/4%/因此光栅的最大频率yOrnax = Pc = . .(彳)比较(3)和(4)式可知，当采用z ydxdy80 J JJ i由题设知，+
6、- = 0。0 4 f并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为2X- + v.exMjkyA2dQdi2x + y. exp(jZ:-A 2 d &2一00x vfx,fy)exp(-j/2jv(Xj- + y-)dxdy注意:多回?%于是得 d ci q卜 d qo22X + V.exp(jk - X )0,(X , y ):匕I 、 I，I /1 t 1ai / aQooJ J F(f.x，fy)exp(-j2jr(xfx + yfyWfxdfyoo22d(、 x + v一一-exp(jk / (项),)exp(jkai2d122%o
7、 +X)2do2222do z .7 玉 + %、 z .z %0 + y()，“、=-expQZ:-)exp(次一)?(xoo) aiZai2do再考虑到x()和匕之间的关系得到即得到像平面上倒立的，放大4倍的像。 o7.试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊，这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数L(x) = rect()其传递函数为 H(fJ =优 a ait af x2JJ W/)exp(-)dxdyCv :ooI对于大气扰动系统，设目标物为一细线，若没有大气扰动，则理想成像为一条细线。由于大 气扰动，
8、使在爆光期间内细线的像作随机晃动，按照概率理论，可以把晃动的线像用高斯函数描述。设晃动摆幅的均方根值为a,细线的线扩散函数为L(x) = -exp(aX22q2对上式作傅立叶变换，就得到大气扰动系统的传递函数H(fD = exp(-27r 2/于：)8.有一光楔(即薄楔形棱镜)，其折射率为n,顶角a很小，当一束傍轴平行光入 射其上时，出射光仍为平行光，只是光束方向向底边偏转了一角度(n-1) a, 试根据这一事实，导出光束的位相变换函数t。解：如图所示，设入射平行光与Z轴成。角入射，按傍轴条件，。角很小，入射到光楔上的光场为U、= Aexp( jkxsvnO) x Aexp( jkx3)通过光楔后的出射光场为U2 = Aexpjxsin|l9 - (n - l)x A exp欣布-(n -1)% 其中-(n-l) a表示偏转是顺时针方向，即向底边偏转，又根据出射光场，入射光场和光楔 变换函数三者的关系U? =tU、有Aexp欣$ -(-lb = %exp(J%xe)于是有 t = exp- jk(n - lz o9考虑一个想要的强场(振幅为A)和一个不想要的弱场(振幅为a的相加。你可以 假设Aa o当两个场相干时,计算由于不想要的场的出现而引起的对想要的场的强度的干扰Al/ A1o当两个场相互不相干时,重复这一计算。答:略