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1、2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题01二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子.2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有
2、限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.想一想：若（其中x, y, n都是正整数），则都是同类二次根式，为什么？例题与求解【例1】当时，代数式的值是（） A、0B、1C、1D、（绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1）（黄冈市中考试题）（2）（五城市联赛试题）（3）（北京市竞赛试题）（4）（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中
3、，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设想一想：设求的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）形如：的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】设实数x，y满足，求xy的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】（1）代数式的最小值. （2）求代数式的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，
4、从构造几何图形入手，对于（2），设，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求ABAC的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】设，求的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：（“希望杯”邀请赛试题）2.若，则_(北京市竞赛试题)3. 计算： （“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0xy及的不同整数对（x，y）是_（上海市竞赛试题）5.如果式子化简结果为2x3，则x的取值范围是（） A. x1 B. x2 C. 1x2 D. x06
5、、计算的值为（）A1 B. C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7a，b，c为有理数，且等式成立，则2a999b1001c的值是（）A1999B. 2000C. 2001D.不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若，是不相等的无理数，则是无理数；乙：若，是不相等的无理数，则是无理数；丙：若，是不相等的无理数，则是无理数；其中正确命题的个数是（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1） （2）（3）（4）（天津市竞赛试题）（5）（“希望杯”邀请赛试题）10、设，求代数式的值.（“希望杯”邀请赛试题）11、已知，求x的值.12、 设（n为自然
6、数），当n为何值，代数式的 值为1985？B级1.已知. (四川省竞赛试题)2.已知实数x，y满足，则（全国初中数学联赛试题）3.已知. （重庆市竞赛试题）4.那么. （全国初中数学联赛试题）5.a，b为有理数，且满足等式则ab（）A.2 B.4 C.6 D.8(全国初中数学联赛试题)6已知，那么a，b，c的大小关系是（）B. bacC. cbc D. cab(全国初中数学联赛试题)7.已知，则的值是（）A.B.C.D.不能确定8.若a表示实数a的整数部分，则等于（）A.1 B.2 C.3 D.4（陕西省竞赛试题）9把中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（）A.B.C. D.（武汉市调考题）
7、10、化简：（1） （“希望杯”邀请赛试题）（2） （新加坡中学生竞赛试题）（3） （山东省竞赛试题）（4） （太原市竞赛试题）11、设求证.（“五羊杯”竞赛试题）12、求的最大值.13、已知a, b, c为正整数，且为有理数，证明：为整数.专题01 二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x24x2 0010 例2 (1)原式2(2)原式25(3)原式；（4） 原式例3 xy2，xy1，于是x2y2(xy)22xy22，x3y3(xy)(x2xyy2)42，x6y6(x3y3)22x3y310582 01，从而01，故10 58110 582例4 xy；同理，yx由得2x2y，xy0
8、例5 (1)构造如图所示图形，PA，PB作A关于l的对称点A，连AB交l于P，则AB13为所求代数式的最小值 (2)设y，设A(x，0)，B(4，5)，C(2，3)作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点A即为所求，过B作BDCC1于D点，ACABC1B2 例6 m1a2，01，110，m2设Sm10m9m8m472102928247 ，2S211210292294 ，由，得S211294471 999A级 11 2 30 提示：令a，b，c 4 (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5B 6C 7B 8A 9(1) (2)原式(3) (4) (5) 1048提示：由
9、已知得x2 5x2，原式(x2 5x4)(x25x6) 11由题设知x0，()()14x2，27x2，21x28x480其正根为x 12n2 提示：xy1，xy4n2B级 1 64 21提示：仿例4，由条件得xy，(x)22 008，x22008x0，(x)0，解得x22 008原式x22 0071 3 41提示：(1)a21，即1 5B提示：由条件得ab3，a3，b1，ab4 6B提示：ab110同理ca0 7B 8B 9D提示：注意隐含条件a10 10(1)1 998 999.5 提示：设k2 000，原式 (2) 提示：考虑一般情形 (3)原式(4)2 11构造如图所示边长为1的正方形A
10、NMD，BCMN设MPx，则CP，AP，AC，AM，ACPCPAAMMC，则1 12设y，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为yx1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y0，x1，C(1，0)，y 13为有理数，则b2 ac0又a2b2c2(abc)22(abbcac)(abc)22(abbcb2)2b（abc）（abc）（abc），原式abc为整数专题02从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是：1、熟练求解解一般形式的
11、一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是： 若，则方程必有一根为. 若，则方程必有一根为.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为这个公式形式优美，内涵丰富： 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算； 公式本身回答了解一元二次方
12、程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解 例1 阅读下列的例题解方程：解：当x0时，原方程化为，解得(舍) 当时，原方程化为，解得(舍)，请参照例题解方程：，则方程的根是（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2方程的解的个数为（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3已知m，n是二次方程的两个根，求的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出m，n值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m，n
13、的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：把变形为把变形为把变形为其中体现了“降次”代换的思想；则是构造倒数关系作等值代换.例4解关于x的方程：解题思路：因未指明关于x的方程的类型，故首先分及0两种情况，当0时，还考虑就的值的三种情况加以讨论.例5已知三个不同的实数，满足,方程和，有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根，求a，b，c的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是：若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解.设出公共根，设而不求，消去二次项.例6已知a是正整数
14、，如果关于x的方程的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.能力训练A级1、已知方程可以配成的形式，那么可以配成_的形式.（杭州市中考试题）2、若分式的值为0，则的值等于.（天津市中考试题）3、设方程和的较小的根分别为，则.4、方程的解应是（上海市竞赛试题）5、方程的整数解的个数是. A、2个 B、3个 C、4个 D、5个（山东省选拔赛试题）6、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（）A、1B、2C、1或2D、0（德州市中考试题
15、）7、已知a, b都是负实数，且，那么的值是（）A、B、C、D、（江苏省竞赛试题）8、方程的解是（）A、B、C、或D、9、已知a是方程的一个根，求的值.10、已知且，求m的值.（荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x的方程的解都是整数，求整数k的值.B级1、已知、是方程的两根，则的值为2、若关于x的方程与只有一个公共根，则3、设a, b是整数，方程有一个根为，则=_(全国通讯赛试题)4、用表示不大于x的最大整数，则方程解的个数为（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个5、
16、已知，那么代数式（） A、 B、 C、 D、6、方程的实根的个数为（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个7、已知，则代数式的值为（） A、1996 B、1997 C、1998 D、19998、已知三个关于x的一元二次方程恰有一个公共实根，则的值为（） A、0 B、1 C、2 D、3（全国初中数学联赛试题）9、已知，求的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程，求满足该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程 及（其中a， b为正整数）有一个公共根，求的值.（全国初中数学联赛试题）12、小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，
17、并把你的解答过程填写在下面的表格中方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解令则专题02 从求根公式谈起例1 3或2 例2 C 提示：当10时，即x1或x1时，原方程化为（4）x790，解得4，均符合；当10时，即1x1时，原方程可化为（4）x70，解得2，满足题意例3 1991例4 当m1时，解得x2 当m1时，4ac12m11当m时，；当m时，x5；当m时，原方程无实根例5 为叙述方便，该题设中的四个方程依次为、，设方程和方程的公共根为，则两式相减，得同理可得，方程和方程的公共根为1注意到方程的两根之积为1，则也是方程的根，从而0又0，两式相减，得（a1）a1若a1，则方程无实根，这与方程
18、有根有矛盾，a11，1于是a2，bc1又abc3，b3，c2例6 解法一：1（a17）（38a）560，x1为原方程的一个根，从而原方程可化为（x1）0x为正整数，方程（a18）x560的判别式224必为完全平方数设224（m为非负整数），则224224，即（am18）（am18）2241122564288又am18与am18具有相同的奇偶性，且am18am18，am1818，或或解得或或又a为正整数，或当a39时，方程的根为1和56；当a12时，方程的根为2和28综上所述，当a39时，原方程的三个根为1，1和56；当a12时，原方程的三个根为1，2和28解法二：原方程可化为（x）a5638x
19、17，显然x0当x1时，式恒成立当x1时，方程可化为ax18a为正整数，x180，x180显然x0，18x560，解得x9或9x0又x为整数，且x|56，x可取56，28，2，1由韦达定理知（56）（1）（28）（2），若56和1为方程的两个根，则（a18）561，即a39；若28和2为方程的两个根，则（a18）282，即a12综上所述，当a39时，原方程的三个根为1，1和56；当a12时，原方程的三个根为1，2和28A级1. q7 22 3 41，3 5C 6B 7C 8D 91998 10. m 提示：由已知得a411. 假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实根为a，则得（m2）
20、（a1）0，m2或a1当m2时，已知两个方程为同一个方程，且没有实数根，故m2舍去；当a1时，代入得m3，可求得公共根为x112. 当k4或k8，分别求得x1或x2当k4且k8时，原方程可化为0，k为整数，且，均为整数，4k1，2，4，8且8k1，2，4，k6，12故k4，6，8，12时，原方程的根为整数B级14 21 3. 3 提示：代入根得（72ab）（4a）04. C 提示：由题给方程32又x，则32x，2x30，则1x3，只可能取值为1，0，1，2，3分别代入原方程解得x1，3，故原方程共有三个解5D 6C 7D 8D 95 提示：由x4，得8x13010. 当2x10即x时，原方程化
21、为2x30，解得3，1（舍去）；当2x10即x时，440，舍去；当2x10即x时，原方程化为2x50，解得1，1（舍去），故所有根之和为3（1）211. 由条件知a1，b1，ab，解得的两个根为a，的两个根为b，ab，a或b，由均得abab20，即（a1）（b1）3因为a，b均为正整数，则有或解得或代入所求值得表达式化简得25612x30令t，则2t301，310，30（舍）1，x1x40令t，则t201，210，20（舍）1x21，x3专题3 根的检测器 阅读与思考 一元二次方程的根的判别式是揭示根的性质与系数间联系的一个重要定理，是解直接或间接与一元二次方程相关问题的有力工具，其主要应用于
22、以下几个方面： 1、判断方程实根的情况； 2求方程中字母系数的值与字母间的关系、字母的取值范围； 3证明等式或不等式； 4利用一元二次方程必定有解的代数模型，证明几何存在性问题许多表面与一元二次方程无关的数学问题，可以通过构造一元二次方程，把原问题转化为讨论方程的根的性质，然后用判别式来解，这是运用判别式解题的技巧策略例题与求解【例1】 如果方程有且仅有一个实数根（相等的两个实数根算作一个），则的值为 【例2】 已知三个关于的方程：，和，若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围是（） A B C D【例3】已知是反比例函数图象上的点（1）求过点P且与双曲线只有一个公共点的直线解析式；（2）
23、Q是双曲线在第三象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与轴，轴分别交于C，D两点，设（1）中求得的一直线与轴，轴分别交与A，B两点，试判断AD，BC的位置关系【例4】已知满足，求证【例5】 已知关于的方程.（1）求证：无论取何实数值，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长.【例6】已知是直角边长为1的等腰直角三角形（Z90），它的三个顶点分别在等腰直角三角形ABC（C90）的三边上求直角边长的最大可能值能力训练A级1若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 2关于的方程只有一解（相同的解算一解）
24、，则的值为 3设是三边，且关于的方程有两个相等的实数根，则是 三角形4方程的实数解为 5关于的一元二次方程的根的情况是 （ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C有两个实数根 D没有实数根6如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实数根的个数为 （ ）A2个 B1个 C0个 D不确定7关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ）A6 B7 C8 D98已知一直角三角形的三边为，B90，那么关于的方程的根为（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定9在等腰三角形ABC中，A，B，C的对边分别是已知，和是关于的方程的两个实数根，求的周长10已知为整数，关于
25、的三个方程：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根求的值11若，证明：在方程；中，至少有两个方程有两个不相等的实数根12若实数满足，求的最大值B级1当 ， 时，方程有实数根2已知二次方程有两个相等的实数根，那么= 3如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数的值为 4已知实数满足，那么的最小值是 5已知实数是不全为零的三个数，那么关于的方程的根的情况是（） A有两个负根 B有两个正根 C有两个异号的实根 D无实根6关于的两个方程，中至少有一个方程有实根，则的取值范围是（）A BC D7方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A B C D8关于的方程仅有两个不
26、同的实根，则实数的取值范围是（ ） A B C D9当在什么范围内取值时，方程有且只有相异二实根10求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使矩形B与矩形A的周长比和面积比等于11关于的方程有有理根，求整数的值12已知为实数且，若的最大值为，最小值为，求的值专题 03 根的检测器例1. 提示: 原方程化为,因为两方程中一个有两个相等实根, 而另一个无实根.例2. 提示: 从反面考虑, 即考虑三个方程都无实数根时的取值范围.例3.(1) 直线或或 (2) 例4. 提示: 是关于两实根,例5.(1) 提示: (2) 若,则,不合题意, 故这种情况不存在 若中有一条边与相等, 不妨设,代入得,解
27、得.当时, 此时, 当时, ,此时, 例6. 如图1, 若顶点在斜边上, 取的中点,连结并作边上的高,则, 故 如图2, 若顶点在直角边(或)上, 由对称性, 不妨设在边上, 过点作于,记,易证,得又显然为等腰直角三角形, 得,设则,即在中, 由勾股定理有,由,得,当时,综合, 直角边长的最大可能值为 A级1. 2. 0或23. 直角4. 5. B6. B7. C 提示: 分和两种情况8. A9. 或10. 或 提示: 参见例211. 提示: 故中至少有两个大于012. 设则原方程可化为 方程有实数根, . 当 时, 即方程的解为,即, 当时, 有最大值且最大值为B 级1. 2. 13. 4
28、提示: 由题目知是方程的根, 则,由条件知是的根或有两个相等的根, 解得或(舍去)4. 45. D6. B7. A8. D 提示: 当时, 无解.; 当时, 无意义; 当时, 原方程化为,即 故9. 或 提示: 当时, 方程有相异两实根; 当时, 或 10. 提示: 设矩形的长和宽分别为,矩形的长和宽分别为,则可看作关于的方程的两根11. 当时, 方程有有理根; 当时, 因为方程有有理根, 所以若是整数, 则判别式必为完全平方数. 即存在非负整数,使,即配方得,即由于与奇偶性相同, 故或,解得或(舍去)综合, 方程有有理根, 整数的值为或12. 设，得， 则实数可看作一元二次方程的两个根， 即 故的最大值最小值