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1、2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题07 一元二次方程的应用阅读与思考一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质等而获解. 现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面：1. 求代数式的值；2. 列二次方程解应用题.从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系. 特别需要注意的是，列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际问题的根，必须舍去.例题与求解【例1】 甲、乙两地分别在
2、河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度千米/时数值的平方，则的值为_.（安徽省竞赛试题）解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】 自然数满足，这样的的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 （江苏省竞赛试题）解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，分别交轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点
3、.（1） 求点A，B，C的坐标；（2） 当CBD为等腰三角形时，求点D的坐标.（太原市中考试题）解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论. 【例4】 如图，已知在RtABC中，C90，AC3，BC4，点E在直角边AC上（点E与A，C两点均不重合）.（1）若点F在斜边AB上，且EF平分RtABC的周长，设AE，试用的代数式表示S；（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将RtABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由. （常州市中考试题） 解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将
4、线段的计算转化为解方程. 【例5】 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益租金各种费用）为275万元？ （绍兴市中考试题） 解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.【例6】 已知：如图1，在RtACB中，C90，AC4cm，BC3cm，点P由点B出
5、发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2 cm/s .连结PQ.若设运动的时间为（s）（02），解答下列问题：（1）当为何值时，PQBC？（2）设AQP的面积为（），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图2，连结PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （青岛市中考试题） 解题思路：对于（3），先求出PQ平分RtACB周长时的值，再看
6、求出的值是否满足由面积关系建立的方程 能力训练 A级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为，那么所列方程为_. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm、宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_. （广东省中考试题）3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津
7、. 按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的飞机票价格应是_.4. 已知实数、满足，则的值为（ ） A.7 B. C. D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是，则运动员起跳到入水所用的时间是（ ） A. 5秒 B. 1秒 C . 1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19
8、元，设此人从甲地到乙地经过的路程是千米，那么的最大值是（ ） A. 11 B. 8 C . 7 D.5 7. 如图，菱形ABCD的边长为，O是对角线AC上的一点，且OA，OBOCOD1，则（ ） A. B. C. 1 D.2 第2题图 第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A型汽车若干辆刚好装完；用B型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B型汽车比A型汽车每辆车可多装15台，则A，B两种型号的汽车各能装计算机多少台？（2）已知A型汽车的运费是每辆350元，B型汽车的运费是每辆400元。若运送这批计算机
9、用这两种型号的汽车，其中B型汽车比A型汽车多用1辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按这种方案需A，B两种型号的汽车各多少辆？运费多少元？ （四川省中考试题）9. 某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费；如果超过A度，则这个月除了仍需交10元用电费外，超过部分还需按每度元交费.下表是一户居民3月、4月的用电情况和交费情况：月份用电量（度）交电费（元）3月80254月4510根据上表的数据，电厂规定的A（度）为多少？ （苏州市中考试题）10. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. 请你
10、用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ （广东省中考试题）11. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格，第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元. 设第二个月单价降低元.（1）填表（不需化简）： 时间 第一个月 第二个月 清仓时单价（元）8040 销售量（件）200（2）如果批发商希望
11、通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？（南京市中考试题） B级 1. 如图，梯子AB斜靠在墙上，ACB90，AB5m，BC4m，当点B下滑到点B时点A向左平移到点A，设BB，当_时，点B下滑的距离与点A向左平移的距离相等. （徐州市中考试题） 2. 如图，在RtABC中，C90，BC6cm，CA8cm，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA，AB移到点B，则C点出发_秒时，可使.3. 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P点回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑；用时少者胜.结果，甲同学由于心急，掉了球
12、，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完。事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍。”根据图文信息，请问哪位同学获胜？（江西省中考试题） 4. 一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款.现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级每人买1支，则只能按零售价付款，需用（）元（为正整数，且100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用（）元.（1）设这个学校初三年级共有名学生，则的取值范围是_；铅笔的零售价每支应为_元，批发价每支应为_元.（用含，
13、的代数式表示）（2）若按批发价每购买15支，比按零售价每购15支少付款1元，试求这个学校初三年级共有多少名学生，并确定的值.5. 在一次汽车比赛中，有三辆汽车在起点同时同向出发，其中第二辆车每小时辆车比第一辆车少走5公里，而比第三辆车多走7.5公里；第二辆车到达终点比第一辆车迟3分钟，而比第三辆车早到5分钟.假设它们在路上都没停过.（1）比赛的路程是多少公里？（2）第二辆车的速度是每小时多少公里？ （荆州市竞赛试题）6.象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘.记分办法是胜一盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分. 已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，参加此次比
14、赛的选手共有多少人？ （天津市竞赛试题） 7. 如图，有矩形地ABCD一块，要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面积为这块地面积地一半，且花圃四周的道路宽相等.今无测量工具，只有无刻度的尺和够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？ 8. 小明有5张人民币，面值合计20元. （1） 小明的5张人民币的面值分别是_元、_元、_元、_元、_元.（2）小明来到水果店，称了公斤苹果（是整数），按标价应付元，正好等于小明那5张人民币中的2张面值之和；这时果筐里还剩6公斤苹果，店主便对小明说：“如果你把这剩下的也都买去，那么连同刚才已经称的，一共就付10元钱吧。”小明一算，这样相当于每公斤比原标价减少了0.5元
15、，本着互利原则，便答允了，试求和. （江苏省竞赛试题）9. 如图，等腰RtABC的直角边AB2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动.已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.（1）当AP的长为何值时，？（2）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论. （荆门市中考试题） 10. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多
16、少元？11. 求满足下列条件的所有四位数：:(),其中数码可以为0. （“新知杯”上海市竞赛试题）专题07一元二次方程的应用例1 6 例2 C 例3 （1）B（1，0），C（4，0），由得，A（，）（2）设点D的坐标为（x，y），BC5.， 当BD1D1C时，过点D1作D1M1x轴于M1，则BM1，OM1，x，y3，D1（，）.当BCBD2时，过点D2作D2M2x轴于M2，则,.M2Bx1，D2M2x3，D2B5. 当CD3BC或CD4BC时，同理，可得D3（0，3），D4（8，3），故点的坐标为D1（，），D2（，），D3（0，3），D4（8，3）.例4（1）SAEFx（6x）（2）假设存在
17、直线E F将ABC的周长和面积同时平分，AEx.若点F在斜边AB上，则由（1）知x（6x）6，解得x13，x23（舍去）此时AF6（3）35.，若点F和B重合，不满足题设要求的直线EF；若点F在BC上，由AEx，得CE3x，CF3x，SCEF（3x）（3x）6，解得x1，x2（舍去），由于3x34，故不存在直线EF满足题设要求.例5 （1）24间（2）设每间商铺的年租金增加x万元，则（30）（10x）（30）10.5275，解得x10.5，x25，故设每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元.例6 (1) AP5t, AQ2t,若PQBC,则APQABC,即, t.(2)过点P作PHAC,由
18、APHABC,得,即, PH3t,3.yAQPH2 t（3t）t23t.（3） 若PQ把ABC周长平分,则APAQBPBCCQ,（5t）2tt3（42t）, t1.若PQ把ABC面积平分,则SAPQSABC,即t23t3,但t1代入此方程不成立.故不存在这一时刻,使线段PQ把ABC的周长和面积同时平分.(4)过点P作PMAC于M, PNBC于N.若四边形PQPC是菱形,则PQPC.由PBNABC,得, 即,PN,QMCM,由2t4,得t.此时PM3t,CM,PC.菱形PQPC边长为.A级1. 500（1x）（x8%）112 2. 2cm 3. 800元 4. A 5. D 6. B 7. A
19、8.（1）A型汽车能装45台，B型汽车能装60台.（2）A型汽车2辆，B型汽车3辆，运费为1900元. 9. 50度 10.设每轮感染中平均每台电脑会感染x台电脑，则1x（1x）x81，解得x18，x210（舍去），（1x）3（18）3729700，故三轮感染后，被感染的电脑会超过700台. 11.（1）80x 20010x 800200（20010x）（2）根据题意，得80200（80x）（20010x）40800200（2010x） 508009000，整理得x220x1000，斛方程得x1x210.当x10时，80x7050.故第二个月的单价应是70元.B级1 12 1或7753 甲、乙
20、两同学所用的时间分别为26秒、24秒，乙同学获胜4 (1)240x 300 (2)由题意得1515=1， 整理得x260x900（m21）=0，解得x=30(m1)，x=30（m+1）(舍去)， 解得m=11， x=300 5 （1）150公里 （2）120公里/小时 提示：设比赛路程是x公里，第二辆车的速度是y公里/小时，由题意得 即，解得6 9人 提示：设共有选手（n2）人，除2人得8分外，n个人平均得k分（k为整数），由题意得(n1)(n2)=8nk，整理得n(32k)n14=0， 人数只能是奇数，n=77 设道路宽为x， AB=a，AD=b， 则有(a2x)(b2x)= ab，即8 x
21、24(ab)ab=0，解得x=(ab)量法是：用绳量出（ab）之长，从中减去BD（BD=），得l=ABADBD，再将l对折两次即得到道路宽度x8 (1)1，2，2，5，10 (2)由(1)知，从小明的5张人民币中取2张，和小于10的情况只有4种，12=3， 22=4， 15=6， 25=7，即y值只可能是3，4，6，7 再分别讨论，只有当y=6时，方程=05有整数解，解得x=49 (1)设AP=x，当点P在线段AB上时，则AP=CQ=x，BP=2x，由(2xx)=2，方程无解；当点P在AB延长线上时，AP=CQ=x，PB=x2，由(x2x)=2，得x=1 (2)过P作PFBC交AC或AC延长线
22、于F，可以证明当P，Q运动时，线段DE的长度保持不变，始终等于10 设每千克水果应涨价x元，则(50020x)(10x)=6000，解得x=5，x=10，要使顾客得到实惠，应取x=511 设=x，=y，则x，y为正整数，且10x99，0y99由题设可知(xy)2 =100xy，即x22(50y)xy2y=0，而x，y为正整数，=4(250099y)为完全平方数，从而250099y为完全平方数设250099y=k2 (kZ， 0k50)，则(50k) (50k) =99y，故11|(50k)与11|(50k)至少有一个成立5050k100，050k5050k=55，66，77，88，99或50k
23、=0，11，22，33，44 故99y=5545，6634， 7723， 8812， 991，或99y=1000， 8911， 7822， 6733， 5644 因此，使y为非负整数的只有y=25，y=1，y=0 回到方程，解得x=30或20，x=98或0，x=0或100 显然x=0或100不符合条件，故符合条件的四位数共有三个：3025， 2025， 9801 专题08 二次函数阅读与思考 二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与有关
24、，与（，）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式：一般式：；顶点式：；交点式：，其中，为方程的两个实根.用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数的图象如图所示，现有以下结论：；.其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定，的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理. 【例2】 若二次函数(0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0），则的值的变化范围是（ ） A.0S1 B. 0S2 C. 1S
25、2 D. 1S1 （陕西省竞赛试题）解题思路：设法将S表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的
26、水平距离为米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题）解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为米时，该运动员与跳台的垂直距离. 【例4】 如图，在直角坐标xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，），且在轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在轴上求作一点P（不写作法），使PAPC最小，并求P点坐标；（3）在轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B三点为顶点的三角形与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题）解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A，B，P点坐标
27、；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论. 【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF2，BF1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积. （辽宁省中考试题）解题思路：设DNPM，矩形PNDM的面积为，建立与的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围. 【例6】 将抛物线沿轴翻折，得抛物线，如图所示.（1）请直接写出抛物线的表达式.（2）现将抛物线向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线向右也平移移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与轴的交点从左到右
28、依次为D，E.当B，D是线段AE的三等分点时，求的值；在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题）解题思路：把相应点的坐标用的代数式表示，由图形性质建立的方程. 因值不确定，故解题的关键是分类讨论. 能力训练A级1.已知抛物线的顶点在坐标轴上，则的值为_. 2.已知抛物线与轴交于点A，与轴正半轴交于B，C两点，且BC2，3，则_. （四川省中考试题）3.已知二次函数的图象如图所示.（1）这个二次函数的解析式是_；（2）当_时，；（3）根据图象回答，当_时，. （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过
29、原点及点（，），且图象与轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_. （安徽省中考试题）5.二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点（1，0）求证：这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ） A.过点（3，0） B.顶点是（2，2） C.在轴上截得的线段长度是2 D.与轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题）7.如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）
30、A. B. C. D. 第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ） A.9.2米 B.9.1米 C.9米 D.5.1米 （吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为和，OA1千米，tan, tan,位于O点正上方千米D点处的直升机向目标C发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E点）.（1
31、）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由. （河北省中考试题） 10.如图，已知ABC为正三角形，D，E分别是边AC、BC上的点（不在顶点），BDE60.（1）求证：DECBDA；（2）若正三角形ABC的边长为6，并设DC，BE，试求出与的函数关系式，并求BE最短时，BDE的面积. 11.如图，在平面直角坐标系中，OBOA且OB2OA，点A的坐标是（1，2）.（1）求点B的坐标；（2）求过点A，O，B的抛物线的解析式；（3）连结AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使.(陕西省中考试题) 12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（3，0
32、），B（0，3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作轴的垂线交抛物线于点M.设点P的横坐标为t；（1）分别求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限，连结BM，AM，当线段PM最长时，求ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题） B级1.已知二次函数的图象顶点与坐标原点的距离为5，则_.2.如图，四边形ABCD是矩形，A，B两点在的正半轴上，C，D两点在抛物线上.设OA的长为(03).矩形ABCD的周长为，则与的函数解析式为_. （昆明市中考试题） 第2题图
33、第3题图 第4题图3.如图，在O的内接ABC中，ABAC12，ADBC，垂足为D（点D在边BC上），且AD3，当AB的长等于_时, O 的面积最大，最大面积为_.4.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点A（2，4），B（8，2），则能使成立的的取值范围时_. (杭州市中考试题)5.已知函数的图象如下图所示，则函数的图象只可能是（ ） （重庆市中考试题） A B C D6.已知二次函数的图象如图所示，则下列6个代数式：，中，其值为正的式子个数为 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.4个以上 （全国初中数学联赛试题） 7.已知抛物线（0）的对称轴是，且经过点P(3,0)则的值为（ ） A.1 B.0 C.1 D.2 8.已知二次函数（）的对称轴是，且当时，二次函数的值分别时，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9.已知抛物线与轴交于两点A，B，与轴交于C点，若ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题）10.如图，已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，1），点P是抛物线上的一个动点.（1）判断以点P