湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期调研考试数学试题.pdf-淘文阁

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1、第 1页共 4页第 2页共 4页湖南省长沙市第一中学湖南省长沙市第一中学 20242024 届高三下学期届高三下学期三月份调研三月份调研数学数学一、单选题一、单选题1样本数据 15、13、12、31、29、23、43、19、17、38 的中位数为（）A19B23C21D182已知集合22e1xxAx，1,0,1B ，则集合AB的非空子集个数为（）A4B3C8D73已知实部为 3 的复数 z 满足1 2iz为纯虚数，则z（）A2B32C3 52D54已知数列 na满足*3(,)nanb nbNR，则“3b”是“|na是递增数列”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不

2、必要条件5已知tan2，则22sin22cos4sin（）A13B2C1D296 过抛物线2:20E ypx p的焦点 F 的直线交 E 于点 A，B，交 E 的准线 l 于点 C，ADl，点 D 为垂足若F 是 AC 的中点，且3AF，则AB（）A4B2 3C3 2D37已知双曲线22:1C kxy的左焦点为F，3,40Pmmm为 C 上一点，且 P 与 F 关于 C 的一条渐近线对称，则 C 的离心率为（）A52B3C2D58已知函数 fx的定义域为R，且满足 34fxfx，fx的导函数为 g x，函数1yg x的图象关于点2,1中心对称，则320242fg（）A3B3C1D1二、多选题

3、二、多选题9已知函数 11cos2sin222f xxx，则（）A函数8fx关于原点对称B曲线 yf x的对称轴为122kx，ZkC fx在区间 5,88单调递减D曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为2210 xy 10已知二面角ACDB的大小为23，ACCD，BDCD，且1CD，2ACBD，则（）AABD是钝角三角形B异面直线 AD 与 BC 可能垂直C线段 AB 长度的取值范围是2,5D四面体ABCD体积的最大值为3411甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答若回答正确，得 1 分，答题继续；若回答错误，得 0 分，同时换成对方进行下一轮答题据经验统计

4、，甲、乙每次答题正确的概率分别是12和23，且第 1 题的顺序由抛掷硬币决定设第 i 次答题者是甲的概率为iP，第 i 次回答问题结束后中甲的得分是iK，则（）A214P B25124P K C11163iiPPD1122iiiE KPKi三、填空题三、填空题1283xyxy的展开式中36x y的系数为13已知动点P在圆22:11Mxmym上，动点 Q 在曲线lnyx上若对任意的mR，PQn恒成立，则n的最大值是14已知正六棱锥的高是底面边长的2 3倍，侧棱长为13，正六棱柱内接于正六棱锥，即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上，则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为四、解答题四、解答题

5、15盒中有形状、大小均相同的卡片 6 张，卡片依次标记数字 1，2，2，3，3，3(1)若随机一次取出两张卡片，求这两张卡片标记数字之差为 1 的概率；(2)若每次随机取出两张卡片后不放回，直到将所有标记数字为 2 的卡片全部取出，记此时盒中剩余的卡片数量X，求X的分布列和E X第 3页共 4页第 4页共 4页16如图三棱锥PABC中，PABC，ABPC，ACPB(1)证明：ABBC；(2)若平面PAC 平面ABC，2ACAB，求二面角APBC的余弦值17已知定义在0,上的函数 2cossinf xxx(1)求 fx的极大值点；(2)证明：对任意0,1x，42114f xxx18 已知椭圆

6、2222:10 xyCabab的上、下顶点分别为0,1A，0,1B，其右焦点为 F，且FA BAFA FB (1)求椭圆 C 的方程；(2)若点2,1P，在直线 BP 上存在两个不同的点1P，2P满足212PP PPPB 若直线1AP与直线2AP分别交C 于点 M，N（异于点 A），证明：P，M，N 三点共线19定义ABC三边长分别为 a，b，c，则称三元无序数组,a b c为三角形数记 D 为三角形数的全集，即,a b cD(1)证明：“,a b cD”是“,abcD”的充分不必要条件；(2)若锐角ABC内接于圆 O，且0 xOAyOBzOC ，设,0Ix y zx y z若3,4,5I，求

7、:AOBAOCSS；证明：ID答案第 1页，共 14页参考答案：参考答案：1C【分析】根据中位数的定义即可求解.【详解】将这 10 个数据从小到大排列为：12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，所以这组数据的中位数是1923212故选：C2B【分析】由题意化简集合A，得0,1AB，由此即可进一步求解.【详解】因为22002Ax xxxx，1,0,1B ，因此0,1AB 故该集合的非空子集个数为2213 个.故选：B3C【分析】根据纯虚数的性质，列出方程组求解即可.【详解】由题意可设3izb，则 12i3i12i326 izbbb，所以32060bb，解得32b ，故2233

9、F的方程，进而联立两个方程，得到关于x的一元二次方程，结合12ABxxp可得出答案.【详解】如图，设准线 l 与 x 轴交于点 M由抛物线的定义知3ADAF因为 F 是线段 AC 的中点，所以22ADMFp，所以23p，得32p，故抛物线 E 的方程为23yx.由1coscos22ADAFAFxFADACAF，得60AFx，所以直线 AF 的斜率3k，又3,04F，所以直线 AF 的方程为334yx.联立23334yxyx，消去 y 并整理，得2164090 xx，设11,A x y，22,B xy，则12405162xx，所以1253422ABxxp.故选：A7D【分析】根据对称性求得PF的

10、斜率，从而求得ba，再求离心率即可.【详解】双曲线 C 的方程可设为22221xyab，222abc，0a，0b，0c，左焦点为答案第 3页，共 14页F，O 为坐标原点，连接 OP因为双曲线221kxy上的一点3,40Pmmm与 C 的左焦点 F 关于 C 的一条渐近线对称，所以5OPOFcm，则5,0Fm又直线 PF 的斜率为41352mmm ，直线 PF 与渐近线垂直，所以该条渐近线的斜率为2ba，所以2224caa，则225ca，所以 C 的离心率225cceaa故选：D8A【分析】由 34fxfx得322f，对 34fxfx两边求导得 30fxfx，而 fxg x，即有 12gg，由

11、题意可得 g x的图象关于点1,1中心对称，11g，从而 g x的周期为2T，从而即可进一步求解.【详解】因为 34fxfx，则函数 fx的图象关于点3,22中心对称，且322f由 30fxfx，fxg x，得 3g xgx，所以函数 g x的图象关于32x 对称，12gg根据图象变换的规律，由1yg x的图象关于点2,1中心对称，得 g x的图象关于点1,1中心对称，11g，则 g x的周期为34122T，2024211ggg，答案第 4页，共 14页故320242 132fg 故选：A【点睛】关键点点睛：关键是得出 g x的周期为2T，由此即可顺利得解.9ACD【分析】利用辅助角公式及三角

12、函数的性质，结合导数的几何意义即可求解.【详解】由题意可得 112cos2sin2sin 22224f xxxx对于选项 A：22sin 2sin282442fxxx为奇函数，关于原点对称，故 A 正确；对于选项 B：令242xk，Zk，得82kx，Zk，故 B 错误；对于选项 C：对于 2sin 224f xx，令24tx，则2sin2yt，因为 5,88x，所以 32,422tx，而2sin2yt在 3,22上单调递减，所以函数 fx在区间 5,88上单调递减，故 C 正确；对于选项 D：易得 102f，2cos 24fxx，01f，故曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为2210 x

13、y，故 D 正确.故选：ACD10AC【分析】根据空间向量的线性运算与数量积公式，可得出0DA DB ，0AD BC ，从而可知选项 A 正确，B 错误；计算可得22ABACCDDB 21ACDBAC DB ，设ACx，得2BDx，结合二次函数知识可求出线段 AB 长度的取值范围，可知选项 C 正确；先求出四面体ABCD的体积表达式，再结合基本不等式可求出最大值，从而可知选项 D错误【详解】对于选项 A：由题意可知，0BD CD ，二面角ACDB的大小为23，ACCD，BDCD，所以2,3CA DB ，答案第 5页，共 14页所以2cos03DA DBDCCADBCA DBCA DB ，所以A

14、DB是钝角，即ABD是钝角三角形，故 A 正确；对于选项 B：由题意知，0BD CD ，0AC CD ，2,3CA DB ，1CD ，所以 22cos103AD BCACCDBDCDAC BDCDAC BD ，所以异面直线 AD 与 BC 不可能垂直，故 B 错误；对于选项 C：由题意可知，0BD CD ，0AC CD ，1CD ，所以222222ABACCDDBACCDDBAC DB 221ACDBAC DB 21ACDBAC DB 设ACx，由2ACBD，得2BDx，其中02x，所以2222514ABxxx，所以245AB，则线段AB长度的取值范围是2,5，故 C 正确；对于选项 D：如图

15、，过点 A 作平面BCD的垂线，垂足为 E，则sin3AEAC，由题意，可知四面体ABCD的体积为11sin323CDBDAC23331212212ACBDAC BD，当且仅当1ACBD时，等号成立，故 D 错误故选：AC.11BCD【分析】由全概率公式和均值的概念逐项判断.答案第 6页，共 14页【详解】设“第 i 次答题者是甲”为事件iA，“第 i 次答题者是乙”为事件iB，由第 1 题的顺序由抛掷硬币决定可得1112P AP B,又1111|,|23iiiiP AAP AB，由全概率公式，得21212121121111522312P AP A AP B AP A P A AP B P A

16、 B，故 A 错误；第2次回答问题结束后甲的得分是21K，即两次回答中只有一次答对，所以2211551221224P KP A，故 B 正确；由题意知iiP AP，1iiP BP，11111|iiiiiiiiiiiP AP A AP B AP A P AAP B P AB所以1111112363iiiiPPPP，故 C 正确；第 i 次答题结束后，甲得分可分为两种情况：第 i 次答题后甲的得分加上 1 分，则第 i 次必由甲答题且得 1 分；第 i 次答题后甲的得分加上 0 分，则第 i 次由甲答题且不得分或第 i 次由乙答题，所以11111111222iiiiiiiiE KP KPP KPK

17、，其中2i，故 D 正确故选：BCD【点睛】思路点睛：全概率公式的使用要点：（1）如果所考虑问题的试验分两步，第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分，求与第二步试验结果有关的事件的概率，此时可用全概率公式解决；（2）用全概率公式解题的关键是确定样本空间的一个划分，这可以从第一步试验的结果确定.12140【分析】根据题意，结合二项展开式的通项，即可求解.【详解】由二项式8xy的展开式的通项为818CrrrrTxy，所以原式的展开式中含36x y的项为65625388C3Cxxyyxy，所以36x y的系数为56588C3C1140 答案第 7页，共 14页故答案为：140.1321【分析】求得

18、圆心M的轨迹，结合导数的几何意义，求得QM的最小值，再求PQ的最小值即可.【详解】由题意可知M的圆心1,M mm在直线1yx上，曲线lnyx，y1x，曲线在1,0点处的切线为1yx，与1yx平行；故曲线lnyx上的动点 Q 到直线1yx的最小距离为1,0到1yx的距离为2，因此min21PQ，故 n 的最大值是21故答案为：21.143【分析】先根据侧棱长AP，高2PO和底面边长的关系求出2AO，2PO，设22A Ox，用x表示出2OO，在22Rt A O O中求出正六棱柱外接球半径的平方，利用二次函数的值域求得半径的最小值即得.【详解】如图，设正六棱锥为 PABCDEF，底面中心为2O，正六

19、棱柱为111111222222ABC D E FA B C D E F，其中与底面重合的面为222222A B C D E F，面111111ABC D E F的中心为1O，外接球球心为 O，由题意得，面222222A B C D E F的中心为2O，面111111ABC D E F的所有顶点均在正六棱锥的侧棱上作截面 PAD 的平面图，由题意得，222221313APAOPOAO，所以21AO，答案第 8页，共 14页22 3PO 设22A Ox，21AAx，由题意得tan2 3A，故1222 32 3 1A AAAx，21213 12OOA Ax，故外接球半径的平方222222222233

20、463444RA OA OOOxxx，当且仅当34x 时取得最小值34，此时外接球表面积243SR，故正六棱柱的外接球表面积的最小值为3【点睛】思路点睛：本题主要考查正棱锥的内接正棱柱以及正棱柱的外接球的表面积的最值问题，属于难题.解题思路在于先利用棱锥的相关量的关系求出底面边长和高，借助于内接棱柱与之关系设出自变量，并用其表示相关量12A A和2OO，最后借助于直角三角形表示出棱柱外接球半径并求出半径最小值.15(1)815(2)分布列见解析，1415【分析】（1）分别求出“取出的两张卡片标记数字分别为 1 和 2”的概率以及“取出的两张卡片标记数字分别为 2 和 3”的概率，求和即可得到答

21、案；（2）由题意可得X所有可能取值为 0，2，4，分别求出概率，写出分布列，求出期望即可.【详解】（1）若取出的两张卡片标记数字分别为 1 和 2，此时1261 22C15P，若取出的两张卡片标记数字分别为 2 和 3，此时2262 32C5P，故这两张卡片标记数字之差为 1 的概率12815PPP；（2）由题意可得X所有可能取值为 0，2，4，其中26114C15P X，2422226464C12 41 312CCCC3P X，301425P XP XP X，故X的分布列为答案第 9页，共 14页X024P351311531114024531515E X 16(1)证明见解析(2)13【分析

22、】（1）作POAC，O 为垂足，首先证得AC 平面PBO，即有ACBO，进一步由全等得POBO，注意到2222AOPAPOBCBOCO，由此说明OB垂直平分AC即可得证；（2）首先得出,OB OC OP两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，求出两平面APB，平面PBC的法向量，由向量夹角的余弦的坐标公式结合图判断二面角是钝角即可运算求解.【详解】（1）作POAC，O 为垂足，由ACPB，ACPO，PBPOP，且PB 平面PBO，PO平面PBO得，AC 平面PBO，又BO平面PBO，ACBO，又PABC，PCBA，ACAC，PACBCA，POBO，且2222AOPAPOBCBOCO，O 为AC

23、中点，PAPC，BABC；（2）由（1）BOAC，又平面PAC 平面ABCAC，BO平面ABC，BO平面APC，因为PO平面APC，BOPO，,PO BO AC两两垂直答案第 10页，共 14页由2ACAB，ABBC，得222cos02ABBCACABCAB BC，2ABC，以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AC，则0,1,0A，1,0,0B，0,1,0C，0,0,1P，1,0,1PB ，0,1,1PA ，0,1,1PC ，令,mx y z，,nd l s分别为平面APB，平面PBC的法向量，则00m PBm PA ，即00 xzyz，令1x 得1,1,1m 为平面APB的一

24、个法向量00n PBn PC ，即00dsls，令1d 得1,1,1n 为平面PBC的一个法向量设为二面角APBC的平面角，则1coscos,3m nm nmn ，由图观察可得二面角所成角为钝角，故二面角APBC的余弦值为1317(1)fx有两个极大值点，为6x 和56x(2)证明见解析【分析】（1）求导，利用导数分析函数在给定区间上的单调性，确定函数的极大值点.（2）构造函数 42114h xfxxx，0,1x，利用导数分析这个函数的单调性，求函数在0,1上的最小值大于 0 即可.【详解】（1）2sin coscoscos1 2sinfxxxxxx，由cos1 2sin0 xxcos0 x

25、或1sin2x，0,x，所以2x 或6或56.所以x变化时，fx与 f x的变化情况如下表：答案第 11页，共 14页x0,66,6 22 5,26565,6 fx000 f x极大值极小值极大值故 fx有两个极大值点，为6x 和56x.（2）令 2421cossin14h xxxxx，2cos12sin2hxxxxx，当10,2x时，因为1026x，所以1sin2x，0h x成立，令 32r xxx，则 232rxx，令 0rx6633x，故 r x在16,23上单调递增，6,13上单调递减，又1171288r ，11 21r ，所以当16,23x时 78r x，当6,13x时，1r x.所

26、以：当16,23x时，7cos12sin8hxxx，令 sinF xxx，则 1 cos0Fxx恒成立，故 00F xF，进一步 715cos122088hxxxx；当6,13x时，因为 1r x.所以 1 cos1 2sin220h xxxx，综上所述，0h x在0,1x上恒成立，则 00h xh，也即 42114fxxx成立18(1)2214xy答案第 12页，共 14页(2)证明见解析【分析】（1）根据题目条件求出b和a即可解答.（2）根据题意设出直线 MN 的方程，11,1P x，22,1Px，33,M x y，44,N xy.先根据212PP PPPB 得出12122x xxx，联立

27、直线 MN 方程和椭圆方程，结合韦达定理得出34xx和34x x，；再根据直线1AP与直线2AP分别过点 M，N 得出13,x x，24,xx的关系，进而可得210km，直线 MN 恒过点P，即可证明三点共线【详解】（1）由题意知1b，,0F c，222abc.由FA BAFA FB ，得0FABAFB ，即 220BAFBBAFBBAFB ，所以ABBF又22BFcba，所以2a，故椭圆 C 的方程为2214xy（2）证明：因为点2,1P，0,1B，所以2124PP PPPB 根据题意设11,1P x，22,1Px，则112,0PPx，222,0PPx，所以12224xx，即 12122*x

28、 xxx答案第 13页，共 14页根据题意可知：直线 MN 的斜率一定存在.设直线 MN 的方程为ykxm，33,M x y，44,N xy.联立221,4xyykxm得222148440kxkmxm则 22222342234284144416 4108144414kmkmkmkmxxkmx xk .因为直线 AM 过点11,1P x，所以1APAMkk，即31312yxx，解得331332211xxxykxm，同理可得42421xxkxm代入（*）式，得3434121k x xmxx，所以2124481kmkmm 因为 M，N 异于点 A，直线 MN 的方程为ykxm，所以1m，则1212k

29、mkm，即210km，则直线 MN 的方程为21ykxk，恒过点2,1P，因此 P，M，N 三点共线【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆位置关系和三点共线问题.解题关键在于联立直线 MN 方程ykxm和椭圆方程，结合韦达定理得出k与m的关系，进而判断直线直线 MN 恒过点P.19(1)证明见解析(2):5:4AOBAOCSS，证明见解析【分析】（1）根据不等式的性质可证明充分性，根据反例可得不必要性.（2）将向量等式平方后可得角的三角函数，根据面积公式可得面积之比.（3）类似（2）的方法可得夹角的余弦，根据余弦的范围可得三边的不等式，从而可得相应答案第 14页，共

30、14页证明.【详解】（1）,a b cD，则abc，即222ababc，22abc，即abc，则,abcD成立，取1,2abc，则,abc为等腰直角三角形的三边，但1,2abc，abc，,a b c不能为三角形的三边，故,abcD推不出,a b cD，“,a b cD”是“,abcD”的充分不必要条件（2）3,4,5I，则3450OAOBOC ，2222222591624cos,1692530cos,OCOAOBOA OBAOBOBOAOCOA OCAOC 又因为OAOBOC，cos0,3cos5AOBAOC，而,AOBAOC均为三角形内角，sin1,4sin5AOBAOC记ROA，2211:sin:sin5:422AOBAOCSSRAOBRAOC ；由zOCxOAyOB ，222222coszRxyxyAOBR，222cos2zxyAOBxy，0,AOB，即222112zxyxy，222xyzxy，xyzxy，同理得yzxyz，xzyxz，x，y，z 可组成三角形，ID

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