《2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题5.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题5.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx（116页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题5.9 二次函数中的最值问题【八大题型】【苏科版】【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】2【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】4【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】6【题型4 二次函数中求线段最值】10【题型5 二次函数中求线段和差最值】18【题型6 二次函数中求周长最值】32【题型7 二次函数中求面积最值】42【题型8 二次函数在新定义中求最值】52【知识点1 二次函数的最值】1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自变量x为全体实数
2、，如图，函数在时，取到最小值，无最大值（2）若，如图，当，；当，（3）若，如图，当，；当，（4）若，如图，当，；当，2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】【例1】（2022秋开福区校级期中）二次函数yx22x+m当3x3时，则y的最大值为 （用含m的式子表示）【变式1-1】（2022秋河西区期末）当x2时，二次函数yx22x3有（）A最大值3B最小值3C最大值4D最小值4【变式1-2】（2022秋上城区期末）已知二次函数yx2，当1x2时，求函数y的最小值和最大值小王的解答过程如下：解：当x1时，y
3、1；当x2时，y4；所以函数y的最小值为1，最大值为4小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程【变式1-3】（2022安徽模拟）已知二次函数yx2+bxc的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x1（1）求b+c的值（2）当4x3时，求y的最大值（3）平移抛物线yx2+bxc，使其顶点始终在二次函数y2x2x1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】（2022鹿城区校级二模）已知二次函数ymx24mx（m为不等于0的常数），当2x3时，函数y的最小值为2，则m的值为（）A16B-16或12C-16或23D16或2【变式2-1
4、】（2022秋龙口市期末）已知关于x的二次函数yx2+2x+2a+3，当0x1时，y的最大值为10，则a的值为 【变式2-2】（2022灌南县二模）已知二次函数yax22ax+c，当1x2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（）A3B9C293D253【变式2-3】（2022青山区二模）已知二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为3，当x0时，函数的最小值为2，则b的值为（）A6B2C2D3【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例3】（2022宁阳县一模）当0xm时，函数yx2+4x3的最小值为3，最大值为1，则m的取值范围是（）A0m2B0m4C2m4Dm2
5、【变式3-1】（2022龙港市模拟）已知二次函数yx24x+5，当mxm+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）【变式3-2】（2022庐阳区一模）设抛物线yax2+bx3a，其中a、b为实数，a0，且经过（3，0）（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a2，当t2xt时，函数的最大值是6，求t的值；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围【变式3-3】（2022文成县一模）已知抛物线yx2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），且经过点（2，c）（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标（2）当tx2t时，函
6、数的最大值为M，最小值为N，若MN3，求t的值【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2022黔东南州二模）如图，抛物线yax2+bx2与x轴交于点A（2，0）、B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQAC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由【变式4-1】（2022太原一模）综合与实践如图，抛物线yx2+2x8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E
7、（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标【变式4-2】（2022平果市模拟）如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，连接AM，BM当线段PM最长时，求ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【变式4-3】（2022春九龙坡区校级期末）抛物线y
8、ax2+bx+4与x轴交于A（4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点求抛物线的解析式；（1）过点P作PEAC于点E，求22PE的最大值及此时点P的坐标；（2）将抛物线yax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y，点M是抛物线y的对称轴上一点在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标【题型5 二次函数中求线段和差最值】【例5】（2022春良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=-34x2-94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线
9、的对称轴；（2）连接AC、BC，将ABC绕点B顺时针旋转90，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NPBP|最大时点的坐标，并请直接写出|NPBP|的最大值【变式5-1】（2022濠江区一模）已知二次函数yx2+（m+1）x+4m+9（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；（2）当m3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N若点P是x轴上的动点，求PNPM的最大值及对应的点P的坐标；设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH？若存在，
10、求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【变式5-2】（2022建华区二模）综合与实践如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线xt（t0）交x轴于点F（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为： ；（3）在直线xt（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与OBC全等，请你直接写出点P的坐标；（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱
11、形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【变式5-3】（2022南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA6，其顶点与x轴的距离是6（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线yx+m与抛物线的对称轴交于点Q当POQ与PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值【题型6 二次函数中求周长最值】【例6】（2022南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2ax+4与x轴交于点A（4，0），B（x2，0），与y轴交于点C经过点B的直线ykx+b与y轴交
12、于点D（0，2），与抛物线交于点E（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当AEP的周长最小时，求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MNy轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【变式6-1】（2022乐业县二模）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐
13、标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【变式6-2】（2022覃塘区三模）如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（0，1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PCy轴与AB交于点C，PDAB于点D，连接PA（1）求抛物线的表达式；（2）当PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和PCD周长的最大值；（3）当PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标【变式6-3】（2022黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），直线l：y=-12x-4
14、与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PEx轴，垂足为E，交直线l于点F（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S求S关于m的函数解析式及S的最大值；点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求QOC周长的最小值及FQ的长【题型7 二次函数中求面积最值】【例7】（2022三水区校级三模）已知抛物线yax22ax3a（a0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C（1）求点A的坐标；（2）若经过点A的直线ykx+k交抛物线于点D当k0且a1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求SEBDSCE
15、F的最大值；当k0且ka时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由【变式7-1】（2022宜兴市二模）如图，抛物线yax2+bx+c（a为常数，且a0）与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E（1）求证OC=12OE；（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=-12时，求CMN的周长的最小值；（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值请判断小林猜想是否正确，并说理由【变式7-
16、2】（2022秋九龙坡区校级月考）如图，直线y=-34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-38x2+34x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，当四边形PACB面积最大时，SBPQSOAQ=【变式7-3】（2022大庆三模）如图，已知抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x2，直线ykx（k0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线ymx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OCCD（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；
17、（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当GDF面积最大时，点G的坐标及GDF面积的最大值；【题型8 二次函数在新定义中求最值】【例8】（2022安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点例如：点（1，1），（12，12），（-2，-2），都是和谐点（1）判断函数y2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数yax2+6x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）求a，c的值；若1xm时，函数yax2+6x+c+14（a0）的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围【变式8-1】（2022姑苏区校级
18、模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”如图2，已知M（4，1），N（2，3），点P（m，n）（1）若m2，n4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ；若m2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P
19、在直线y2x+5上求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线yax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，2m1或1m3，直接写出抛物线的解析式【变式8-2】（2022碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形问题发现：（1）如图1，筝形ABCD中，ADCD，ABCB，若AC+BD12，求筝形ABCD的面积的最大值；问题解决：（2）如图2是一块矩形铁片ABCD，其中AB60厘米，BC90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH，要求点E是AB
20、边的中点，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明理由【变式8-3】（2022春崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1x2|+|y1y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）（1）若A为（3，2），O为坐标原点，则d（O，A）；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）若M（1，1），点N为抛物线yx21
21、上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”专题5.9 二次函数中的最值问题【八大题型】【苏科版】【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】2【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】4【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】6【题型4 二次函数中求线段最值】10【题型5 二次函数中求线段和差最值】18【题型6 二次函数中求周长最值】32【题型7 二次函数中求面积最值】42【题型8 二次函数在新定义中求最值】52【知识点1 二次函数的最值】1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自变量x为全体实数，如图
22、，函数在时，取到最小值，无最大值（2）若，如图，当，；当，（3）若，如图，当，；当，（4）若，如图，当，；当，2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】【例1】（2022秋开福区校级期中）二次函数yx22x+m当3x3时，则y的最大值为15+m（用含m的式子表示）【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当3x3时，y的最大值【解答】解：二次函数yx22x+m（x1）21+m，该函数的对称轴是直线x1，该函数图象开口向上，当x1时，有最小值，当3x3时，y取
23、得最大值时对应的x的值是3，当x3时，y（31）21+m15+m，当3x3时，y的最大值为15+m，故答案为：15+m【变式1-1】（2022秋河西区期末）当x2时，二次函数yx22x3有（）A最大值3B最小值3C最大值4D最小值4【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得【解答】解：yx22x3（x1）24，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而增大，当x2时，函数有最小值y222233，故选：B【变式1-2】（2022秋上城区期末）已知二次函数yx2，当1x2时，求函数y的最小值和最大值小王的解答过程如下：解：当x1时，y1；当x2时，y
24、4；所以函数y的最小值为1，最大值为4小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题【解答】解：小王的做法是错误的，正确的做法如下：二次函数yx2，该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，1x2，当x0时取得最小值，最小值是0，当x2时取得最大值，此时y4，由上可得，当1x1时，函数y的最小值是0，最大值是4【变式1-3】（2022安徽模拟）已知二次函数yx2+bxc的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x1（1）求b+c的值（2）当4x3时，求y的最大值（3）平移抛物线yx2+bxc
25、，使其顶点始终在二次函数y2x2x1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值【分析】（1）由对称轴-b2=1，求出b的值，再将点（3，0）代入yx+bxc，即可求解析式；（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x1，结合函数图像可知当x4时，y有最大值21；（3）设顶点坐标为（h，2h2h1），可求平移后的解析式为y（xh）2+2h2h1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w3h2h13（h-16）2-1312，即可求解【解答】解：（1）二次函数yx+bxc的对称轴为直线x1，-b2=1，b2，二次函数yx+bxc的图象经过点（3，0），96c0，c3，b+c1；（2）由（1）可得
26、yx2x3（x1）24，抛物线的对称轴为直线x1，4x3，当x4时，y有最大值21；（3）平移抛物线yx22x3，其顶点始终在二次函数y2x2x1上，设顶点坐标为（h，2h2h1），故平移后的解析式为y（xh）2+2h2h1，yx22hx+h2+2h2h1x22hx+3h2h1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w3h2h13（h-16）2-1312，当h=16时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为-1312【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】（2022鹿城区校级二模）已知二次函数ymx24mx（m为不等于0的常数），当2x3时，函数y的最小值为2，则m的值
27、为（）A16B-16或12C-16或23D16或2【分析】由二次函数ymx24mx可得对称轴为x2，分为m0和m0两种情况，当m0时，二次函数开口向上，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得m=12，当m0时，二次函数开口向下，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得m=-16，即可求解【解答】解：二次函数为ymx24mx，对称轴为x=-b2a=4m2m=2，当m0时，二次函数开口向上，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得：m=12，当m0时，二次函数开口向下，当2x3时，函数在x2取得
28、最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得：m=-16，综上，m的值为12或-16，故选：B【变式2-1】（2022秋龙口市期末）已知关于x的二次函数yx2+2x+2a+3，当0x1时，y的最大值为10，则a的值为 2【分析】根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x1，所以可得0x1在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答【解答】解：yx2+2x+2a+3x2+2x+1+2a+2（x+1）2+2a+2，抛物线的对称轴为：直线x1，a10，抛物线的开口方向向上，当x1时，y随x的增大而增大，当0x1时，y的最大值为10，当x1时，y10，把x1时，y10代入yx2+2x+2
29、a+3中可得：1+2+2a+310，a2，故答案为：2【变式2-2】（2022灌南县二模）已知二次函数yax22ax+c，当1x2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（）A3B9C293D253【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当1x2时，函数的最值为ya+c和y3a+c，即可得出a+c+（3a+c）7+11，即2a+2c18，从而求得a+c9【解答】解：二次函数yax22ax+c，该二次函数的图象的对称轴为直线x=-2a2a=1，当x1时，ya2a+ca+c；当x1时，ya+2a+c3a+c；当1x2时，函数的最值为ya+c和y3a+c，当1x2时，y有最
30、小值7，最大值11，a+c+（3a+c）7+11，即2a+2c18，a+c9，故选：B【变式2-3】（2022青山区二模）已知二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为3，当x0时，函数的最小值为2，则b的值为（）A6B2C2D3【分析】根据二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，41c-b241=-3，-b20，再根据当x0时，函数的最小值为2，即可得到c的值，然后将c的值代入入41c-b241=-3，即可得到b的值【解答】解：二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为3，该函数的对称轴在y轴右侧，41c-b241=-3，-b20，
31、b0，当x0时，函数的最小值为2，当x0时，yc2，将c2代入41c-b241=-3，可得b12（舍去），b22，故选：C【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例3】（2022宁阳县一模）当0xm时，函数yx2+4x3的最小值为3，最大值为1，则m的取值范围是（）A0m2B0m4C2m4Dm2【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决【解答】解：yx2+4x3（x2）2+1，该函数的对称轴是直线x2，当x2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，当0xm时，此函数的最小值为3，最大值为1，当x0时，y3，2m4，故选：C【变式3-1】（2022龙港
32、市模拟）已知二次函数yx24x+5，当mxm+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）【分析】分四种情况讨论：当m+32时，即m5，y的最小值为m24m+5；当m+32-2m+3时，即4m3，y的最小值为m24m+5；当m2m+32时，即3m2，y的最小值为m28m7；当m2时，y的最小值为m28m7，【解答】解：yx24x+5（x+2）2+9，对称轴为直线x2，当m2时，则当xm+3时，y有最小值为（m+3）24（m+3）+5m210m16，当m2m+3时，即5m2，当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小，若m+3+22m，即-72m2时，当xm+3时，y有最小值为（m+3）24（m+3
33、）+5m210m16，当m+3+22m，即5m-72时，当xm时，y有最小值为m24m+5，当m+3+22时，即m5，y的最小值为m24m+5；综上所述：m-72时y的最小值为m210m16；当m-72时，y的最小值为m24m+5【变式3-2】（2022庐阳区一模）设抛物线yax2+bx3a，其中a、b为实数，a0，且经过（3，0）（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a2，当t2xt时，函数的最大值是6，求t的值；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a
34、、b的数量关系，把抛物线解析式中的b换成a的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；（2）分xt和xt2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；（3）抛物线经过（1，0）和（3，0），与线段AB有两个公共点时，结合图象即可判断出a的取值范围【解答】解：（1）把（3，0）代入yax2+bx3a得，9a+3b3a0，b2a，抛物线的解析式为yax22ax3aa（x1）24a，抛物线的顶点坐标为（1，4a）；（2）a2，抛物线的解析式为y2（x1）2+8，对称轴为直线：x1，当x1时，y随x的增大而减小，当x1时，y随x的增大而增大，当t2xt时，函数的最大值是6，当xt和x
35、t2在对称轴右侧时，有-2(t-2-1)2+8=6t-21，解得t4，当xt和xt2在对称轴左侧时，有-2(t-1)2+8=6t1，解得t0，当xt和xt2在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解，综上，t的值为0或4；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B，B（3，4），yax22ax3aa（x3）（x+1），抛物线经过点（3，0）和（1，0），若此二次函数的图象与线段AB有两个交点，则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间，当抛物线经过点A时，为一种临界情况，将A（0，4）代入，4003a，解得a43，当抛物线的顶点在线段AB上时
36、，为一种临界情况，此时顶点的纵坐标为4，4a4，解得a1，-43a1【变式3-3】（2022文成县一模）已知抛物线yx2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），且经过点（2，c）（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标（2）当tx2t时，函数的最大值为M，最小值为N，若MN3，求t的值【分析】（1）由抛物线经过（2，c）和（0，c），可得到抛物线的对称轴为直线x1，即可根据点（1，0），确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；（2）根据t2t，确定t1，2t1，求出当1时取得最大值4，解得N1，令y1求出值【解答】解：（1）抛物线经过（2，c）和（0，c），抛物线的对称轴为直线x1，（1，0
37、）的对称点为（3，0）即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3.0）；（2）与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x1，0=-1-b+c-b2(-1)=1，解得：b=2c=3，yx2+2x+3tx2t，t1，2t1当tx2t时，当x1时取得最大值4，即M4，当xt或x2t时取得最小值N，MN3，N1令yl得，1t2+2t+3，解得t1=3+1（舍），t2=-3+1，t=-3+1令yl得，1（2t）2+2（2t）+3，解得t1=3+1（舍），t2=-3+1t=-3+1综上：t=-3+1【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2022黔东南州二模）如图，抛物线yax2+bx2与x轴交于点A（2，
38、0）、B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQAC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，求出AC的长即为所求；（3）过点P作PEy轴交AC于E，当PD最大时，APC的面积最大，也就是PE最大，先求直线AC的解析式，设P（t，t2+t2），则E（t，t2），则PE（t+1）2+1，当t1时，PE有最大值，此时P（1，2）【解答
39、】解：（1）将点A（2，0）、B（1，0）代入yax2+bx2，a+b-2=04a-2b-2=0，解得a=1b=1，yx2+x2； （2）A、B关于抛物线的对称轴对称，AMBM，MB+MCAM+MC，当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，令x0，则y2，C（0，2），AC22，MB+MC的最小值为22；（3）线段PQ存在最大值，理由如下：过点P作PEy轴交AC于E，当PD最大时，APC的面积最大，也就是PE最大，设直线AC的解析式为ykx+b，-2k+b=0b=-2，解得k=-1b=-2，yx2，设P（t，t2+t2），则E（t，t2），PEt2（t2+t2）t22t（t+
40、1）2+1，当t1时，PE有最大值，此时P（1，2）【变式4-1】（2022太原一模）综合与实践如图，抛物线yx2+2x8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标【分析】（1）分别令x0，y0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m8），则E（m，2m8），可得DE2m8（m2+2m8）m24m（m+2）2+4，运用二次函数的
41、性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（1，n），根据两点间距离公式可得：AF232+n2n2+9，AC242+8280，CF212+（n+8）2n2+16n+65，分三种情况：当AFC90时，当CAF90时，当ACF90时，分别建立方程求解即可【解答】解：（1）在yx2+2x8中，令x0，得y8，C（0，8），令y0，得x2+2x80，解得：x14，x22，A（4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为ykx+b，则-4k+b=0b=-8，解得：k=-2b=-8，直线AC的解析式为y2x8；（2）设D（m，m2+2m8），则E（m，2m8），点D在点E的下方，DE2m8（m2+2m8）m
42、24m（m+2）2+4，10，当m2时，线段DE最大值为4；（3）yx2+2x8（x+1）29，抛物线的对称轴为直线x1，设F（1，n），又A（4，0），C（0，8），AF232+n2n2+9，AC242+8280，CF212+（n+8）2n2+16n+65，当AFC90时，AF2+CF2AC2，n2+9+n2+16n+6580，解得：n14-19，n24+19，F（1，4-19）或（1，4+19）；当CAF90时，AF2+AC2CF2，n2+9+80n2+16n+65，解得：n=32，F（1，32）；当ACF90时，CF2+AC2AF2，n2+16n+65+80n2+9，解得：n=-172，F（1，-172）；综上所述，点F的坐标为（1，4-19）或（1，4+19）或（1，32）或（1，-172）【变式4-2】（