《2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题9.4 菱形的性质与判定【八大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题9.4 菱形的性质与判定【八大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx（120页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列专题9.4 菱形的性质与判定【八大题型】【苏科版】【题型1 由菱形的性质求线段的长度】1【题型2 由菱形的性质求角的度数】2【题型3 由菱形的性质求面积】3【题型4 由菱形的性质求点的坐标】4【题型5 菱形判定的条件】5【题型6 证明四边形是菱形】6【题型7 菱形中多结论问题】8【题型8 菱形的判定与性质综合】9【知识点1 菱形的定义】有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【知识点2 菱形的性质】菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线
2、所在直线【题型1 由菱形的性质求线段的长度】【例1】（2022青县二模）如图，在菱形ABCD中，ABBD10，点F为AD的中点，FEBD于E，则EF的长为（）A23B52C532D53【变式1-1】（2022春北碚区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作AECD于点E，连接OE若AB3，OE=2，则DE的长度为（）A53B32C43D142【变式1-2】（2022春江汉区期中）如图，菱形ABCD的对角线ACBD相交于点O，过点D作DHAB于点H，连接CH，若AB2，AC23，则CH的长是（）A5B3C7D4【变式1-3】（2022春沙坪坝区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角
3、线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AB、AO的中点，连接EF、BF若AF1，AE=3，则FB的长为（）A32B22C7D3【题型2 由菱形的性质求角的度数】【例2】（2022春延津县期中）如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O，且AMCN，连接BO若OBC65，则DAC为（）A65B30C25D20【变式2-1】（2022道里区二模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DHAB于点H，连接OH，CAD20，则DHO的度数是（）A20B25C30D40【变式2-2】（2021秋泰和县期末）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对
4、角线BD于点F，连接CF，若AED50，则BCF 度【变式2-3】（2022玄武区二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则12 【题型3 由菱形的性质求面积】【例3】（2022焦作模拟）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EE若菱形ABCD的面积为16，则AEF的面积为（）A4B6C8D10【变式3-1】（2022春禹州市期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E，P，F分别是线段OB，CD，OD的中点，连接EP，PF，若AC8，PE210，则菱形ABCD的面积为（）A64B48C24D16【变式3-2
5、】（2022阿荣旗二模）两张菱形贺卡如图所示叠放，其中菱形ABCD的边长为6cm，BAD60，菱形ABCD可以看作是由菱形ABCD沿CA方向平移23cm得到，AD交CD于点E，则重叠部分的面积为（）cm2A83B93C103D113【变式3-3】（2022蓝田县二模）如图，在菱形ABCD中，A120，点P为边AB上一点（点P不与端点重合），连接CP，点E、F分别为AP、CP的中点，连接EF，若EF2，则菱形ABCD的面积为（）A8B83C9D93【题型4 由菱形的性质求点的坐标】【例4】（2022东丽区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（23，2），（1，3），对角线相交
6、于点O，则点C的坐标为（）A（23，2）B（23，2）C（1，3）D（1，3）【变式4-1】（2022太湖县校级一模）如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC为菱形，O为原点，A点坐标为（8，0），AOC60，则对角线交点E的坐标为（）A（4，23）B（23，4）C（23，6）D（6，23）【变式4-2】（2022西平县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B在x轴上，且OB8cm，AOB60点D从点O出发，沿OABCO以2cm/s的速度做环绕运动，则第85秒时，点D的坐标为（）A(33，5)B(3，33)C(5，33)D(33，3)【变式4-3】（2022巧家县二模）如图，
7、菱形ABCD的四个顶点位于坐标轴上，对角线AC，BD交于原点O，线段AD的中点E的坐标为(3，1)，P是菱形ABCD边上的点，若PDE是等腰三角形，则点P的坐标可能是 【知识点3 菱形的判定】一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）【题型5 菱形判定的条件】【例5】（2022春房山区期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O现存在以下四个条件：ABCD； AOOC；ABAD；AC平分DAB从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形则可以选择的条件序号是 （写出所有可能的情况）【变式5-1】（
8、2022海淀区二模）如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）【变式5-2】（2022春无锡期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）AABCDBACBDCACBDDADBC【变式5-3】（2022上海模拟）如图，在RtABC中，ACB90，平行四边形BCDE的顶点E在边AB上，联结CE、AD添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（）ACEA
9、BBCDADCCDCEDACDE【题型6 证明四边形是菱形】【例6】（2022春泗洪县期中）如图，点D、E、F分别是ABC各边的中点，连接DE，EF，AE（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）从下列条件BAC90，AE平分BAC，ABAC中选择一个添加到题干中，使得四边形ADEF为菱形我选的是 （写序号），并证明【变式6-1】（2022南京一模）如图，在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；（2）当ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由【变式6-2】（2022盐城
10、二模）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若A50，则当ADE 时，四边形BECD是菱形【变式6-3】（2022静安区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且BMMNND，联结CM、CN（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）如果AEAF，求证：四边形ABCD是菱形【题型7 菱形中多结论问题】【例7】（2022春番禺区校级期中）如图，菱形ABCD中，BAD60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CDDE，
11、连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（）OG=12AB；与EGD全等的三角形共有2个；S四边形ODEGS四边形ABOG；由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；ABCD【变式7-1】（2022春下城区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点下列结论正确的是（）EGEF；EFGGBE；FB平分EFG；EA平分GEF；四边形BEFG是菱形ABCD【变式7-2】（2022泰安一模）如图，在菱形ABCD中，ABBD，E，F分别是AB，AD上的点（不与端点重合），且AEDF，连接BF，DE相交于点G，连接CG与
12、BD相交于点H下列结论：DEBF；BGE60；CGBD；若AF2DF，则BG6GF其中正确结论的序号是（）ABCD【变式7-3】（2022天桥区一模）如图，ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且DBE30，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G现有以下结论：SABC=34；当点D与点C重合时，FH=12；AE+CD=3DE；当AECD时，四边形BHFG为菱形则其中正确的结论的序号是 【题型8 菱形的判定与性质综合】【例8】（2022巴彦县二模）如图，ABBD，ACCD，AD平分BAC，AD交BC于点O（1）如图1，求证：四边形ABDC是菱形
13、；（2）如图2，点E为BD边的中点，连接AE交BC于点F，若2FAOACD，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图2中所有面积是ABF面积的整数倍的三角形【变式8-1】（2022南岗区模拟）已知：BD是ABC的角平分线，点E在AB边上，BEBC，过点E作EFAC，交BD于点F，连接CF，DE（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；（2）如图2，当DEF90，ACBC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为ABD的度数2倍的角【变式8-2】（2022春东莞市期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分BCD，交AB边于点E，EFBC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接
14、GF，且12，CE与GF交于点M，过点M作MHCD于点H（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CH1，求BC的长；（3）求证：EMFG+MH【变式8-3】（2022春洪泽区期中）如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若ABC120，连接BG、CG、DG，如图2所示，求证：DGCBGE；求BDG的度数（3）若ABC90，AB8，AD14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长专题9.4 菱形的性质与判定【八大题型】【苏科版】【题型1 由菱形的性质求线段的长度】1
15、【题型2 由菱形的性质求角的度数】4【题型3 由菱形的性质求面积】8【题型4 由菱形的性质求点的坐标】11【题型5 菱形判定的条件】15【题型6 证明四边形是菱形】18【题型7 菱形中多结论问题】23【题型8 菱形的判定与性质综合】32【知识点1 菱形的定义】有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【知识点2 菱形的性质】菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线【题型1 由菱形的性质求线段的长度】【例1】（2022青县二模）如图，在菱形ABCD中，ABBD10，点F为AD的中点
16、，FEBD于E，则EF的长为（）A23B52C532D53【分析】证ABD是等边三角形，得ABD60，AF=12AD5，ABFDBF30，再由勾股定理得BF53，然后由含30角的直角三角形的性质求解即可【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABAD，ABBD10，ABADBD10，ABD是等边三角形，ABD60，点F为AD的中点，AF=12AD5，ABFDBF=12ABD30，BF=AB2AF2=10252=53，FEBD，BEF90，EF=12BF=532，故选：C【变式1-1】（2022春北碚区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作AECD于点E，连接OE若AB3，OE=2，则
17、DE的长度为（）A53B32C43D142【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得AC2OE22，则OA=12AC=2，再由勾股定理得OB=7，则BD2OB27，然后由菱形面积求出AE的长，即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是菱形，CDADAB3，OAOC，OBOD，BDAC，AECD，AEDAEC90，AC2OE22，OA=12AC=2，在RtAOB中，由勾股定理得：OB=AB2OA2=32(2)2=7，BD2OB27，S菱形ABCDCDAE=12ACBD=122227=214，AE=2143，DE=AD2AE2=32(2143)2=53，故选：A【变式1-2】（2022春江汉区期中）如图
18、，菱形ABCD的对角线ACBD相交于点O，过点D作DHAB于点H，连接CH，若AB2，AC23，则CH的长是（）A5B3C7D4【分析】由菱形的性质得ADC2BDA，ADCDAB2，OAOC=3，OBOD，ACBD，再由勾股定理得OB1，则BD2OB2，得ABADBD，然后由等边三角形的性质得ADH30，AH1，进而由勾股定理得DH=3，求出CDH90，即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是菱形，AB2，AC23，ADC2BDA，ADCDAB2，OAOC=3，OBOD，ACBD，AOB90，OB=AB2OA2=22(3)2=1，BD2OB2，ABADBD，ABD是等边三角形，BADBDA60
19、，ADC2BDA120，DHAB，ADH=12BDA30，AHBH=12AB1，在RtADH中，由勾股定理得：DH=AD2AH2=2212=3，CDHADCADH1203090，CH=CD2+DH2=22+(3)2=7，故选：C【变式1-3】（2022春沙坪坝区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AB、AO的中点，连接EF、BF若AF1，AE=3，则FB的长为（）A32B22C7D3【分析】根据菱形的性质和三角形中位线定理得出EFOB，进而利用勾股定理得出EF和BF即可【解答】解：四边形ABCD是菱形，ACBD，点E、F分别是AB、AO的中点，EFOB，
20、EF=12OB，EFAC，在RtAEF中，EF=AE2AF2=31=2，OB22，在RtOFB中，OFAF1，BF=OB2+OF2=8+1=3，故选：D【题型2 由菱形的性质求角的度数】【例2】（2022春延津县期中）如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O，且AMCN，连接BO若OBC65，则DAC为（）A65B30C25D20【分析】由全等三角形的性质可证AOMCON，可得AOCO，由等腰三角形的性质可得BOAC，即可求解【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABCD，ABBC，BCAD，MAONCO，BCACAD，在AOM和CON中，MAO=NCOAOM=CONA
21、M=CN，AOMCON（AAS），AOCO，ABBC，BOAC，BCO90OBC25DAC，故选：C【变式2-1】（2022道里区二模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DHAB于点H，连接OH，CAD20，则DHO的度数是（）A20B25C30D40【分析】先根据菱形的性质得ODOB，ABCD，BDAC，则利用DHAB得到DHCD，DHB90，所以OH为RtDHB的斜边DB上的中线，得到OHODOB，利用等腰三角形的性质得1DHO，然后利用等角的余角相等即可求出DHO的度数【解答】解：四边形ABCD是菱形，ODOB，ABCD，BDAC，DHAB，DHCD，DHB90，O
22、H为RtDHB的斜边DB上的中线，OHODOB，1DHO，DHCD，1+290，BDAC，2+DCO90，1DCO，DHODCA，四边形ABCD是菱形，DADC，CADDCA20，DHO20，故选：A【变式2-2】（2021秋泰和县期末）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若AED50，则BCF 度【分析】由“SAS”可证ADFCDF，可得DAFDCF，由三角形内角和定理和平行线的性质可求解【解答】解：方法1：四边形ABCD是菱形，ADCD，ADBC，ADFCDF，在ADF和CDF中，AD=CDADF=CDFDF=DF，ADFCDF（SAS），DAF
23、DCF，AED50，DAE+ADE18050130，ADE+DCF130，ADBC，ADE+BCD180，ADE+BCF+DCF180，BCF18013050，故答案为：50方法2：四边形ABCD是菱形，BCAB，CBFABF，ABCD，BAEAED50，在CBF和ABF中，CB=ABCBF=ABFBF=BF，CBFABF（SAS），BCFBAF50，故答案为：50【变式2-3】（2022玄武区二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则12 【分析】过M作EMBC，由正五边形的性质得AEFEAH108，再由菱形的性质得ADBC，则ADEM，然后由平行线的性质得2
24、72AEM，1108AEM，即可解决问题【解答】解：如图，过M作EMBC，五边形AEFGH是正五边形，AEFEAH=15（52）180108，四边形ABCD是菱形，ADBC，ADEM，AEM+DAE180，即AEM+2+EAH180，2180AEMEAH180AEM10872AEM，EMBC，1+AEM108，1108AEM，12108AEM（72AEM）108AEN72+AEM36，故答案为：36【题型3 由菱形的性质求面积】【例3】（2022焦作模拟）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EE若菱形ABCD的面积为16，则AEF的面积为（）A4B6C8D
25、10【分析】连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得EF与BD关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案【解答】解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，四边形ABCD是菱形，AOOC，菱形ABCD的面积=12ACBD，点E、F分别是边BC、CD的中点，EFBD，EF=12BD，ACEF，AG3CG，设ACa，BDb，12ab16，即ab32，AEF的面积=12AGEF=1234a12b=316ab6故选：B【变式3-1】（2022春禹州市期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E，P，F分别是线段OB，C
26、D，OD的中点，连接EP，PF，若AC8，PE210，则菱形ABCD的面积为（）A64B48C24D16【分析】根据菱形的性质得出ACBD，进而利用三角形中位线定理和菱形的性质解答即可【解答】解：四边形ABCD是菱形，ACBD，OAOC，OBOD，点E，P，F分别是线段OB，CD，OD的中点，PFAC，PF=12OC=14AC2，PFBD，EF=PE2PF2=(210)222=6，BD2EF12，菱形ABCD是面积=12ACBD=12812=48，故选：B【变式3-2】（2022阿荣旗二模）两张菱形贺卡如图所示叠放，其中菱形ABCD的边长为6cm，BAD60，菱形ABCD可以看作是由菱形ABC
27、D沿CA方向平移23cm得到，AD交CD于点E，则重叠部分的面积为（）cm2A83B93C103D113【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出AC和EF的长，然后即可计算出重叠部分的面积【解答】解：连接AC，BD，AC和BD交于点O，连接EF交AC于点O，交AB于点F，如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，BAD60，ADAB6cm，ACBD，DAO30，DAB是等边三角形，DO3cm，AO=AD2DO2=6232=33（cm），AC63cm，CC23cm，AC43cm，AH23cm，EH2cm，EF4cm，重叠部分的面积为：ACEF2=4342=83（cm2），故选：A【变式3-3】（2
28、022蓝田县二模）如图，在菱形ABCD中，A120，点P为边AB上一点（点P不与端点重合），连接CP，点E、F分别为AP、CP的中点，连接EF，若EF2，则菱形ABCD的面积为（）A8B83C9D93【分析】连接AC，BD交于点O，根据三角形中位线定理可得AC4，然后根据菱形的性质可得ADC是等边三角形，利用含30度角的直角三角形可得OD，进而可以解决问题【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，点E、F分别为AP、CP的中点，EF2，AC2AE4，在菱形ABCD中，ABCD，ADCD，ACBD，BAD120，ADC60，ADC是等边三角形，ADAC4，四边形ABCD是菱形，OAOC2，ACB
29、D，ADO30，OD=3OA23，BD2OD43，则菱形ABCD的面积=12ACBD=12443=83故选：B【题型4 由菱形的性质求点的坐标】【例4】（2022东丽区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（23，2），（1，3），对角线相交于点O，则点C的坐标为（）A（23，2）B（23，2）C（1，3）D（1，3）【分析】由菱形的性质可得AOCO，BODO，即可求解【解答】解：四边形ABCD是菱形，AOCO，BODO，A，B两点的坐标分别是（23，2），（1，3），点C（23，2），点D（1，3），故选B【变式4-1】（2022太湖县校级一模）如图，在平面直角坐标系中、四
30、边形OABC为菱形，O为原点，A点坐标为（8，0），AOC60，则对角线交点E的坐标为（）A（4，23）B（23，4）C（23，6）D（6，23）【分析】过点E作EFx轴于点F，由直角三角形的性质求出EF长和OF长即可【解答】解：过点E作EFx轴于点F，四边形OABC为菱形，AOC60，AOE=12AOC30，FAE60，A（8，0），OA8，AE=12AO4，AF=12AE2，EF=AE2AF2=4222=23，OFAOAF826，E（6，23），故选：D【变式4-2】（2022西平县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B在x轴上，且OB8cm，AOB60点D从点O出发，
31、沿OABCO以2cm/s的速度做环绕运动，则第85秒时，点D的坐标为（）A(33，5)B(3，33)C(5，33)D(33，3)【分析】由题意可得点D在AB上，且AD2cm，由直角三角形的性质可求解【解答】解：四边形OABC是菱形，AOABBCOC，AOB60，AOB是等边三角形，AOABBCOC8cm，沿OABCO以2cm/s的速度做环绕运动，环绕一圈需要16秒，851655，点D在AB上，且AD2cm，BD6cm，如图，过点D作DHOB于H，ABO60，DHOB，BDH30，BH3cm，DH=3BH33cm，OH5cm，点D（5，33），故选：C【变式4-3】（2022巧家县二模）如图，菱
32、形ABCD的四个顶点位于坐标轴上，对角线AC，BD交于原点O，线段AD的中点E的坐标为(3，1)，P是菱形ABCD边上的点，若PDE是等腰三角形，则点P的坐标可能是 【分析】根据菱形的性质和等腰三角形的判定和性质分三种情况解答即可【解答】解：若PDE是等腰三角形，以DE为半径，D为圆心，得出点P1，四边形ABCD是菱形，ADDCABBC，ACBD，线段AD的中点E的坐标为（3，1），点P1的坐标为（3，1），AD4，OD2，OA23，若PDE是等腰三角形，以DE为半径，E为圆心，得出点P2，点P2的坐标为（3，1），若PDE是等腰三角形，以DE为底，DE的线段垂直平分线交BC于点P3，点P3的
33、坐标为（32，32），综上所述，点P的坐标可能是（3，1）或（3，1）或（32，32），故答案为：（3，1）或（3，1）或（32，32）【知识点3 菱形的判定】一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）【题型5 菱形判定的条件】【例5】（2022春房山区期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O现存在以下四个条件：ABCD； AOOC；ABAD；AC平分DAB从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形则可以选择的条件序号是 （写出所有可能的情况）【分析】根据角平分线定义得到DAOBAO，根据全
34、等三角形的性质得到DOCB，根据平行四边形的性质得到四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论【解答】解：如：若AOOC；ABAD；AC平分DAB，则四边形ABCD是菱形，证明：AC平分DAB，DAOBAO，在AOD和AOB中，AD=ABDAO=BAOAO=AO，AODAOB（ASA），DOCB，AOOC，四边形ABCD是平行四边形，又ABAD，四边形ABCD是菱形，若ABCD； AOOC；AC平分DAB或ABCD； ABAD；AC平分DAB或 AOOC；ABAD；AC平分DAB都可以判定四边形ABCD为菱形故答案为：或或或或【变式5-1】（2022海淀区二模）如图，在平行四边
35、形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）【分析】证AOFOCE（AAS），得OFOE，再证四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论【解答】解：只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是：AEAF，理由如下：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，OAFOCE，OFAOEC，O是AC的中点，OAOC，在AOF和OCE中，OAF=OCEOFA=OECOA=OC，AOFOCE（AAS），OFOE，四边形AECF是平行四边形，又AEAF，平行四边形AECF是
36、菱形，故答案为：AEAF（答案不唯一）【变式5-2】（2022春无锡期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）AABCDBACBDCACBDDADBC【分析】由点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EGFH=12AB，EHFG=12CD，又由当EGFHGFEH时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案【解答】解：点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，EGFH
37、=12AB，EHFG=12CD，当EGFHGFEH时，四边形EGFH是菱形，当ABCD时，四边形EGFH是菱形故选：A【变式5-3】（2022上海模拟）如图，在RtABC中，ACB90，平行四边形BCDE的顶点E在边AB上，联结CE、AD添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（）ACEABBCDADCCDCEDACDE【分析】设AC于ED交于点O，证明AOECOD，可得OAOC，可以判断四边形ADCE是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题【解答】解：添加CDCE，可以使四边形ADCE成为菱形，理由如下：如图，设AC于ED交于点O，四边形BCDE是平行四边形，DE
38、BC，BECD，AOEACB90，ACDE，CDCE，ODOE，ABCD，EAODCO，在AOE和COD中，EAO=DCOAOE=CODOE=OD，AOECOD（AAS），OAOC，ODOE，四边形ADCE是平行四边形，CECD，四边形ADCE是菱形因为添加其他条件，都不可以使四边形ADCE成为菱形故选：C【题型6 证明四边形是菱形】【例6】（2022春泗洪县期中）如图，点D、E、F分别是ABC各边的中点，连接DE，EF，AE（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）从下列条件BAC90，AE平分BAC，ABAC中选择一个添加到题干中，使得四边形ADEF为菱形我选的是 （写序号），并证明【
39、分析】（1）根据三角形中位线定理可证；（2）若选AE平分BAC，在（1）中ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AFEF；若选ABAC：根据三角形中位线定理即可证明【解答】（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，DE为ABC的中位线，根据三角形中位线定理，DEAC，DE=12ACAF即DEAF，DEAF，四边形ADEF为平行四边形（2）解：选AE平分BAC证明四边形ADEF为菱形，AE平分BAC，DAEFAE，又ADEF为平行四边形，EFDA，DAEAEF，FAEAEF，AFEF，平行四边形ADEF为菱形选ABAC证明四边形ADEF为菱形，EFAB，EF=12AB，DEAC，DE=12AC，又ABAC，EFDE，平行四边形ADEF为菱形故答案为：、【变式6-1】（2022南京一模）如图，在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；（2）当ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，得AFCE同理：DEBF，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）证EBCFCB（SAS），得CEBF，ECBFBC，得BHCH，再证EHFH，即可得出结论【解答】（