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1、二次根式的应用10（2023张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4则S2S1（a+b）2a2（a+b）+a（a+b）a（2a+b）bb+2ab例如：当a1，b3时，S2S13+23根据以上材料解答下列问题：（1）当a1，b3时，S3S29+23，S4S315+23；（2）当a1，b3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1Sn等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a1，b3时，令t1S2S1，t2S3S2，t3S4S3，tnSn+1Sn，且Tt1+t2+t3+t50，求
2、T的值【答案】（1）9+23；15+23；（2）Sn+1Sn6n3+23；证明见解析；（3）7500+1003【分析】（1）把a1，b3代入S3S2，S4S3，计算即可得到结论；（2）根据（1）的结论化简Sn+1Sn即可；（3）化简Tt1+t2+t3+t50后，代入数值计算即可【解答】解：S3S2（a+2b）2（a+b）2a2+4ab+4ba22abb2ab+3b，当a1，b3时，S3S29+23；S4S3（a+3b）2（a+2b）2a2+6ab+9ba24ab4b2ab+5b，当a1，b3时，S4S315+23；故答案为：9+23；15+23；（2）Sn+1Sn6n3+23；证明：Sn+1S
3、n（1+3n）21+（n1）322+（2n1）333（2n1）+236n3+23；（3）当a1，b3时，Tt1+t2+t3+t50S2S1+S3S2+S4S3+S51S50S51S1（1+503）217500+1003【点评】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键二次根式的应用2（2023张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4则S2S1（a+b）2a2（a+b）+a（a+b）a（2a+b）bb+2ab例如：当a1，b3时，S2S13+23根据以上材料解答下列问题：（1）当a1，b3时，S3S29+23，S4S3
4、15+23；（2）当a1，b3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1Sn等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a1，b3时，令t1S2S1，t2S3S2，t3S4S3，tnSn+1Sn，且Tt1+t2+t3+t50，求T的值【答案】（1）9+23；15+23；（2）Sn+1Sn6n3+23；证明见解析；（3）7500+1003【分析】（1）把a1，b3代入S3S2，S4S3，计算即可得到结论；（2）根据（1）的结论化简Sn+1Sn即可；（3）化简Tt1+t2+t3+t50后，代入数值计算即可【解答】解：S3S2（a+2b）2（a+b）2a2+4ab+4ba22abb2ab+3b，当a1，b3时，S3S29+23；S4S3（a+3b）2（a+2b）2a2+6ab+9ba24ab4b2ab+5b，当a1，b3时，S4S315+23；故答案为：9+23；15+23；（2）Sn+1Sn6n3+23；证明：Sn+1Sn（1+3n）21+（n1）322+（2n1）333（2n1）+236n3+23；（3）当a1，b3时，Tt1+t2+t3+t50S2S1+S3S2+S4S3+S51S50S51S1（1+503）217500+1003【点评】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键