《2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题6.5 相似三角形的应用-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题6.5 相似三角形的应用-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx（72页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题6.5 相似三角形的应用-重难点题型【苏科版】【知识点1 相似三角形的应用】在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】【例1】（2020秋曾都区期末）九章算术是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何”其大意是：如图，RtAB
2、C的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（）A2517B6017C10017D14417【变式1-1】（2021广西模拟）九章算术中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EGAB，FHAD，EG15里，HG经过A点，则FH的长为（）A0.95里B1.05里C2.05里D2.15里【变式1-2】（2021春苏州期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌著作九章算术中就有“井深几何”问
3、题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD5尺，AB5尺，AD交BE于F，BF0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为 尺【变式1-3】（2020芗城区校级一模）九章算术是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，RtABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长【题型2 相似三角形的应
4、用（影长问题）】【例2】（2021津南区模拟）如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 米【变式2-1】（2020秋碑林区校级月考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH1m随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG2m如图，已知ABBF，
5、CDBF，EFBF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计根据以上信息，求广告牌的高度EF【变式2-2】（2020秦皇岛一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方计算小亮在路灯AD下的影长；计算AD的高【变式2-3】如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行
6、12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且APQB（1）求两个路灯之间的距离（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】【例3】（2020秋汉寿县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知ABBD，CDBD，垂足分别为B，D，AO6m，AB1.2m，CO1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m【变式3-1】（2020南安市校级自主招生）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就
7、被撬动现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm【变式3-2】太原市某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m支柱OE的高为0.5m，则栏杆D端离地面的距离为 【变式3-3】（2020秋秦都区期末）随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，为此修建了很多停车场如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂BO长是1.1米，当长臂端点垂直升高AC9米时，短臂端点垂直
8、下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计）【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】【例4】（2021市中区一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE16cm，EF12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（）mA75.5B77.1C79.8D82.5【变式4-1】（2021韩城市模拟）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到
9、法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，晓静在F处竖立了一根高1.6米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQQM，ABQM，EFQM，点Q、C、B、F、M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ【变式4-2】（2021雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD
10、，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB3米，FD4米，DE5米，EG1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC【变式4-3】（2021凤翔县一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看
11、到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC0.8米已知EFGH2.4米，CF2米，FH1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CDAC，EFAC，GHAC，ABAC根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度【题型5 相似三角形的应用（河宽问题）】【例5】（2021津南区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得ABBC，然后选定点E，使ECBC，确定BC与
12、AE的交点为D，若测得BD180m，DC60m，EC50m，你能知道小河的宽是多少吗？【变式5-1】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一定A，再在河的这一边选定点B和点C，使得ABBC，然后选定点E，使ECBC，确定BC与AE的交点D，若测得BD180米，DC60米，EC70米，请你求出小河的宽度是多少米？【变式5-2】（2021崆峒区一模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R如果测得QS45m，ST90m，QR60
13、m，求河的宽度PQ【变式5-3】（2020秋安国市期中）如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线经测量，BC1m，DE1.5m，BD5m，求小河的宽度【题型6 相似三角形的应用（内接矩形问题）】【例6】（2020秋大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC60cm，高AD40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（）A1
14、6B24C30D36【变式6-1】（2020秋阳山县期末）如图，有一块锐角三角形材料，边BC60mm，高AD45mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH2EF，则这个矩形零件的长为（）A36mmB40mmC72mmD80mm【变式6-2】（2021唐山开学）如图，RtABC为一块铁板余料，B90，BC6cm，AB8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长【变式6-3】 （2021春东平县期末）如图，要从一块RtABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFGH白铁皮已知A90，AB16cm，AC12cm，
15、要求截出的矩形的长与宽的比为2：1，且较长边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？专题6.5 相似三角形的应用-重难点题型【苏科版】【知识点1 相似三角形的应用】在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】【例1】（2020秋曾都区期末）九章算术是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的书中记载了这样一个问题：“今
16、有勾五步，股十二步，问勾中容方几何”其大意是：如图，RtABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（）A2517B6017C10017D14417【解题思路】根据正方形的性质得：DEBC，则ADEACB，列比例式可得结论【解答过程】解：四边形CDEF是正方形，CDED，DECF，设EDx，则CDx，AD5x，DECF，ADEC，AEDB，ADEACB，DEBC=ADAC，x12=5-x5，x=6017，正方形CDEF的边长为6017故选：B【变式1-1】（2021广西模拟）九章算术中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里
17、有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EGAB，FHAD，EG15里，HG经过A点，则FH的长为（）A0.95里B1.05里C2.05里D2.15里【解题思路】首先根据题意得到GEAAFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可【解答过程】解：EGAB，FHAD，HG经过A点，FAEG，EAFH，HFAAEG90，FHAEAG，GEAAFH，FGFA=EAFH，AB9里，DA7里，EG15里，FA3.5里，EA4.5里，153.5=4.5FH，解得：FH1.05里故选：
18、B【变式1-2】（2021春苏州期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌著作九章算术中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD5尺，AB5尺，AD交BE于F，BF0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为 57.5尺【解题思路】利用相似三角形的性质，构建方程求解即可【解答过程】解：设BCx尺四边形BCDE是矩形，BFCD，AFBADC，FBDC=ABAC，0.45=55+x，解得x57.5，经检验：x57.5是分式方程的解BC57.5（尺）故答案
19、为：57.5【变式1-3】（2020芗城区校级一模）九章算术是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，RtABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长【解题思路】根据正方形的性质得：DEBC，则ADEACB，列比例式可得结论【解答过程】解：四边形CDEF是正方形，CDED，DECF，设EDx，则CDx，AD5x，DECF，ADEC，AEDB，ADEACB，DEBC=ADAC，x12=5-x5，x=6017，正方形
20、CDEF的边长为6017【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】【例2】（2021津南区模拟）如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为9米【解题思路】根据CDAB，得出ECDEBA，进而得出比例式求出即可【解答过程】解：由题意知，CE2米，CD1.8米，BC8米，CDAB，则BEBC+CE10米，CDAB，ECDEBACDAB=CEBE，即1.8AB=210，解得AB9（米），即路灯的高AB为9米；故答案为：9【变式2-1】（2020秋碑林区校级月考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个
21、广告牌的高度EF在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH1m随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG2m如图，已知ABBF，CDBF，EFBF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计根据以上信息，求广告牌的高度EF【解题思路】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出EFHCDH，EFGABG，进而利用相似三角形的性质得出EF的长【解答过程】解：设广告牌的高度EF为
22、xm，依题意知：DB5m，BG2m，DH1m，ABCD1.5mGDDBBG3m，FGGD+DF4mCDBF，EFBF，CDEFEFHCDHEFCD=FHDH，即EFCD=DH+DFDHx1.5=1+DF1DF=23x1由平面镜反射规律可得：EGFAGBABBF，ABG90EFGEFGABGEFAB=FGBG，即EFAB=GD+DFBGx1.5=3+23x-12x3故广告牌的高度EF为3m【变式2-2】（2020秦皇岛一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC
23、高9m小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方计算小亮在路灯AD下的影长；计算AD的高【解题思路】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解【解答过程】解：EPAB，CBAB，EPACBA90EAPCAB，EAPCABEPBC=APAB1.89=2ABAB10BQ1026.51.5；FQAB，DAAB，FQBDAB90FBQDBA，BFQBDAFQDA=BQAB1.8DA=1.510DA12【变式2-3】如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部
24、；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且APQB（1）求两个路灯之间的距离（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【解题思路】（1）如图1，先证明APMABD，利用相似比可得AP=16AB，再证明BQNBAC，利用相似比可得BQ=16AB，则16AB+12+ABAB，解得AB18（m）；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明NBMNAC，利用相似三角形的性质得BNBN+18=1.69.6，然后利用比例性质求出BN即可【解答过程】解：（1）如图1，PMBD，APMABD，APAB=
25、PMBD，即APAB=1.69.6，AP=16AB，NQAC，BNQBCA，BQBA=QNAC，即BQAB=1.69.6，BQ=16AB，而AP+PQ+BQAB，16AB+12+16ABAB，AB18答：两路灯的距离为18m；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，BMAC，NBMNAC，BNAN=BMAC，即BNBN+18=1.69.6，解得BN3.6答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】【例3】（2020秋汉寿县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知ABBD，CDBD，垂足分别为B，D，AO6m，AB1
26、.2m，CO1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m【解题思路】由ABOCDO90、AOBCOD知ABOCDO，据此得AOCO=ABCD，将已知数据代入即可得【解答过程】解：ABBD，CDBD，ABOCDO90，又AOBCOD，ABOCDO，则AOCO=ABCD，AO6m，AB1.2m，CO1m，61=1.2CD，解得：CD0.2，栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m故答案为：0.2【变式3-1】（2020南安市校级自主招生）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm
27、，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压60cm【解题思路】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度【解答过程】解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AMBN；AMBN，ACMBCN；ACBC=AMBN，AC与BC之比为6：1，ACBC=AMBN=6，即AM6BN，当BN10cm时，AM60cm，故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm故答案为：60【变式3-2】太原市某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长
28、为3m，C点到AB的距离为0.3m支柱OE的高为0.5m，则栏杆D端离地面的距离为2.3m【解题思路】过D作DGAB于G，过C作CHAB于H，则DGCH，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答过程】解：过D作DGAB于G，过C作CHAB于H，则DGCH，ODGOCH，DGCH=ODOC，栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，CDAB3.5m，ODOA3m，CH0.3m，OC0.5m，DG0.3=30.5，DG1.8m，OE0.5m，栏杆D端离地面的距离为1.8+0.52.3m故答案是：2.3m【变式3-3】（2020秋秦都区期末）随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具
29、，为此修建了很多停车场如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂BO长是1.1米，当长臂端点垂直升高AC9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计）【解题思路】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题【解答过程】解：ACAB，BDAB，OCAODB90，又COADOB，OCAODBBDAC=BOAO，即BD9=1.112，B/D=91.112=0.825，【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】【例4】（2021市中区一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直
30、线上，已知直角三角纸板中DE16cm，EF12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（）mA75.5B77.1C79.8D82.5【解题思路】先判定DEF和DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解【解答过程】解：在DEF和DCB中，DD，DEFDCB90，DEFDCB，DEEF=CDBC，即1612=104BC，解得：BC78（m），AC1.8m，ABAC+BC1.8+7879.8（m），即树高79.8m，故选：C【变式4-1】（2021韩城市模拟）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因
31、塔下藏有佛祖真身舍利而得名小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，晓静在F处竖立了一根高1.6米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQQM，ABQM，EFQM，点Q、C、B、F、M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ【解题思路】根据已知条件推出PCQACB，求得QC1.2PQ，又根据
32、相似三角形的性质得到PQ1.6=QC+11.7+2.42.4，于是得到答案【解答过程】解：PQCABC90，PCQACB，PCQACB，PQAB=QCCB，PQ1.5=QC1.8，QC1.2PQ，PQFEFM90，PMQEMF，PMQEMF，PQEF=QMFM，PQ1.6=QC+11.7+2.42.4，即PQ1.6=1.2PQ+11.7+2.42.4，PQ47，答：真身宝塔的高度PQ为47米【变式4-2】（2021雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树
33、顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB3米，FD4米，DE5米，EG1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC【解题思路】根据相似三角形的判定和性质得出CD，进而解答即可【解答过程】解：由题意可得，ACEEDF90，AECFED，ACEFDE，ACFD=CEDE，即3+BC4=CD+55，CD=5BC-54，由题意可得，BCGFDG90，BGCFGD，BCGFDG，BCFD=CGDG，即BC4=CD+5+1.55+1.5，6.5BC4（CD
34、+6.5），6.5BC45BC-54+26，BC14（米），这座建筑物的高BC为14米【变式4-3】（2021凤翔县一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC0.8米已知
35、EFGH2.4米，CF2米，FH1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CDAC，EFAC，GHAC，ABAC根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度【解题思路】过点D作DPAB于点P，交EF于点N，过点M作MQAB于点Q，交GH于点K，构造相似三角形：DENDBP，GMKBMQ，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可【解答过程】解：过点D作DPAB于点P，交EF于点N，过点M作MQAB于点Q，交GH于点K，由题意可得：DPMQAC，DNCF2米，MKCH，APDC1.6米，AQHKMC0.8米EDNBDP，ENDBPD90，DENDBP，BPEN=D
36、PDN，AB-1.62.4-1.6=AC2GMKBMQ，GKMBQM90，GMKBMQBQGK=QMMKAB-0.82.4-0.8=AC2+1.6AB8.8（米）答：这棵樱花树AB的高度是8.8米【题型5 相似三角形的应用（河宽问题）】【例5】（2021津南区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得ABBC，然后选定点E，使ECBC，确定BC与AE的交点为D，若测得BD180m，DC60m，EC50m，你能知道小河的宽是多少吗？【解题思路】先证明ABDECD，利用对应边成比例可求出AB的长度【解答过程】解：由已知得，ABDDCE90，ADBC
37、DE，ABDECD，ABEC=BDDC，将BD180m，DC60m，EC50m，代入可得：AB50=18060，解得：AB150答：小河的宽是150m【变式5-1】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一定A，再在河的这一边选定点B和点C，使得ABBC，然后选定点E，使ECBC，确定BC与AE的交点D，若测得BD180米，DC60米，EC70米，请你求出小河的宽度是多少米？【解题思路】先证明ABDECD，然后利用相似比计算出AB即可得到小河的宽度【解答过程】解：ABBD，ECBC，ABCE，ABDECD，ABCE=BDCD，即AB70=18060，AB210答：小河的宽度是210米【变式
38、5-2】（2021崆峒区一模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R如果测得QS45m，ST90m，QR60m，求河的宽度PQ【解题思路】根据相似三角形的性质得出PQPQ+QS=QRST，进而代入求出即可【解答过程】解：根据题意得出：QRST，则PQRPST，故PQPQ+QS=QRST，QS45m，ST90m，QR60m，PQPQ+45=6090，解得：PQ90（m），河的宽度为90米【变式5-3】（2020秋安国市期中）如图，
39、洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线经测量，BC1m，DE1.5m，BD5m，求小河的宽度【解题思路】由BCAD，EDAD，可得ABCADE，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题【解答过程】解：设小河的宽度ABxm，根据题意得：BCAD，EDAD，ABCADE，AB：ADBC：ED，x：（x+5）1：1.5，解得x10，AB10，即小河的宽度为10米【题型6 相似三角形的应用（内接矩形问题）】【
40、例6】（2020秋大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC60cm，高AD40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（）A16B24C30D36【解题思路】根据正方形的对边平行得到BCEF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xcm，则KDEFxcm，AK（40x）cm，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果【解答过程】解：四边形EGHF为正方形，BCEF，AEFABC；设正方形零件的边长为x cm，则KDEFxcm，AK（40x
41、）cm，ADBC，EFBC=AKAD，x60=40-x40，解得：x24即：正方形零件的边长为24cm故选：B【变式6-1】（2020秋阳山县期末）如图，有一块锐角三角形材料，边BC60mm，高AD45mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH2EF，则这个矩形零件的长为（）A36mmB40mmC72mmD80mm【解题思路】设矩形的宽EFxmm，则长EH2xmm，由矩形的性质得到EHBC，EFAD，推出AEHABC，BEFBAD，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求得结果【解答过程】解：设矩形的宽EFxmm，则长EH2xmm，四边
42、形EFGH为矩形，EHBC，EFAD，AEHABC，BEFBAD，EFAD=BEBA，EHBC=AEAB，x45=BEBA，2x60=AEAB，BE+AEAB，x45+2x60=BEAB+AEAB=ABAB=1，解得：x18，EF18mm，EH36mm，故选：A【变式6-2】（2021唐山开学）如图，RtABC为一块铁板余料，B90，BC6cm，AB8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长【解题思路】方案：设正方形的边长为xcm，然后求出AEF和ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解方案：作BHAC于H，交DE于K，构造矩形DKHG和相似三角形（BDEBCA），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH的长度，则BK4.8y；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案【解答过程】解：设方案正方形的边长为xcm，ABC90，四边形BDFE是正方形，EFBC，AEFABC，EFBC=AEAB，即8-x8=x6，解得x=247，即加工成正方形的边长为247cm设方案正方形的边长为ycm，作BHAC于H，交DE于K，四边形EDGF是正方形，DEAC，EDGDGF90BHDE于KDKH90四边形DKHG为矩形故设HKDGyDEACBDEBCABKBH=DEACAC=62+82=10