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1、备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练专题11 新定义型几何图形问题 【典型例题】1(2021甘肃张家川九年级阶段练习)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF 填(“是”或“不是”)“直等补”四边形；(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB，过点B作BEAD于E过C作CFBF于点F，试证明：B
2、EDE，并求BE的长；若M是AD边上的动点，求BCM周长的最小值【专题训练】一、 解答题1(2021浙江省宁波市实验学校九年级期中)给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形(1)如图1，在倍对角四边形ABCD中，D2B，A2C，求B与C的度数之和；(2)如图2，锐角ABC内接于O，若边AB上存在一点D，使得BDBO，OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，AFE2EAF求证：四边形DBCF是倍对角四边形；(3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DGOB于点H，交BC于点G当4DH3BG时，求BGH与ABC的面积之比2(2021湖北黄冈八年级期末)我们给出
3、如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形(1)如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 (2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PAPB，PCPD，APBCPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想(3)若改变(2)中的条件，使APBCPD90，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明)3(2021江苏徐州市树人初级中学八年级阶段练习)定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”性质：“朋友三角形”的面积相等如
4、图1，在ABC中，CD是AB边上的中线那么ACD和BCD是“朋友三角形”，并且 SACD=SBCD应用：如图2，在直角梯形ABCD中，ABC=90，ADBC，AB=AD=4，BC=6，点E在BC上，点F在AD上，BE=AF，AE与BF交于点O(1)求证：AOB和AOF是“朋友三角形”；(2)连接OD，若AOF和DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积4(2021浙江鄞州一模)我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线(1)如图1，分别为的高线和角平分线，若为的倍角高线根据定义可得_，_(填写图中某个角)；若，求证：为等腰三角形(2)如图2，在
5、钝角中，为钝角，若，分别为的高线和角平分线，倍角高线交直线于点，若，求线段的长 (3)在中，若，倍角高线交直线于点，当为等腰三角形，且时，求线段的长5(2021全国九年级期末)类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”(1)如图1，在四边形中，平分，请说明四边形是“等邻边四边形”；(2)如图2，在中，并将沿的平分线方向平移得到，连接，要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离？(即线段的长)？请直接写出平移的距离；(3)如图3，“等邻边四边形”中，试探究，之间的数量关系(用含的等式表示)6(2021吉林伊通八年级期末)类比平行四边形，我们学习筝形定义
6、：两组临边分别相等的四边形叫做筝形，如图，若ADCD，ABCB，则四边形ABCD是筝形(1)在同一平面内，ABC与ADE按如图所示放置，其中BD90，ABAD，BC与DE相交于点F请你判断四边形ABFD是不是筝形，说明理由；(2)请你结合图形，写出一个筝形的判断方法；(定义除外)(3)如图，OGH为等边三角形，点G的坐标为(1，0)，点P为直线yx上的一点在第四象限内是否存在点P，使得以O、G、H、P为顶点的四边形为筝形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由7(2021陕西高新一中七年级期末)问题提出：(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图，中，为上一点，
7、当_时，与是偏等积三角形；问题探究：(2)如图，与是偏等积三角形，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度；问题解决：(3)如图，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，与是偏等积三角形吗？请说明理由；已知，的面积为如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价8(2021陕西高新一中八年级期末)定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”【提出问题】(1)如图，四边形与四边形都是正方形，求证：四边形是“等垂四边形”；【类比探究】(2)如图，四边形是“等垂四边形”，连接，点，分别是，的中
8、点，连接，试判定的形状，并证明；【综合运用】(3)如图，四边形是“等垂四边形”，则边长的最小值为_9(2021江苏高港实验学校八年级阶段练习)如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，_一定是等角线四边形(填写图形名称)；若、分别是等角线四边形四边、的中点，当对角线、还要满足_时，四边形是正方形(2)如图2，已知在中，为平面内一点若四边形是等角线四边形，且，求符合条件的等角线四边形的面积设点是所在平面上的任意一点且，若四边形是等角线四边形，求出四边形面积的最大值，并说明理由10(2021湖北黄梅八年级期末)我们给出
9、如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形(1)如图1，在四边形中，点，分别为边，的中点，中点四边形是_(2)如图2，点P是四边形内一点，且满足，点，分别为边，的中点猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想(3)若改变(2)中的条件，使，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明)11(2021浙江杭州市十三中教育集团(总校)九年级开学考试)我们把有一组对角都是直角的四边形，叫做“对直四边形”例如图1，四边形中，那么四边形就是对直四边形(1)在已经学过的“平行四边形；菱形；矩形；正方形”中，一定是对直四边形是 ；(填序号)(2)如图2，四边形是对直四边形，若，求四
10、边形的面积；(3)如图3，在正方形中，点，分别从点，同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边，方向运动(保持，再分别过点，作，的垂线交于点，连结，求证：四边形为对直四边形12(2021山东济南三模)如图(1)，P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点(1)若点P是等边三角形三条中线的交点，点P(填是或不是)该三角形的费马点(2)如果点P为锐角ABC的费马点，且ABC60求证：ABPBCP；(3)已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点如图(2)求CPD的度数；求证：P点为ABC的费马点13
11、(2021江苏扬州中学教育集团树人学校一模)定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形(1)若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为 ；(2)如图1，MN是O的直径，点A，B，C在O上，AM，CN相交于点D求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：(3)如图2，在对余四边形ABCD中，ABBC，ABC60，ADC30，探究线段AD，CD和BD之间有有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由14(2021湖南长沙八年级期中)【阅读理解】：有一组对角互余的四边形称为对余四边形(1)若四边形ABCD是对余四边形，A60，B130，求D的度数【问题探究】：(2)在四边形ABCD中，ABAC，BAC
12、90如图1，点E为BC边上一点，AEAD，若四边形ABED为对余四边形，求证：BECD；如图2，若BC，CD，AD，试判断四边形ABCD是否为对余四边形，并说明理由；如图2，若四边形ABCD是对余四边形，当BD6，AD4时，求CD的长15(2021福建厦门市松柏中学八年级期中)定义：如图，四点分别在四边形的四条边上，若四边形为菱形，我们称菱形为四边形的内接菱形(1)如图，矩形，点在线段上且，四边形是矩形的内接菱形，求的长度；(2)如图，平行四边形，点在线段上且，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；(尺规作图，保留痕迹)当最短时，请求出的长备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围
13、训练专题11 新定义型几何图形问题 【典型例题】1(2021甘肃张家川九年级阶段练习)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF 填(“是”或“不是”)“直等补”四边形；(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC5，CD1，ADAB，过点B作BEAD于E过C作CFBF于点F，试证明：BEDE，并求BE的长；若M是AD边上的动点，求
14、BCM周长的最小值【答案】(1)是；(2)证明见解析；BE=4；【解析】【分析】(1)根据“直等补”四边形的定义进行逐项证明即可得出结论；(2)结合“直等补”四边形的定义可推出四边形DCFE为矩形，从而证明AEBBFC即可得出结论；将C点沿AD对称至P点，结合最短路径问题求解即可【详解】(1)BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，旋转角为90，即：FBE=90，根据旋转的性质可得：BF=BE，F=BEC，F+BED=BEC+BED=180，四边形BEDF满足“直等补”四边形的定义，故答案为：是；(2)根据“直等补”四边形的定义，AB=AC，ABC=D=90，BEAD，CFBE，四边形DCFE为矩
15、形，DE=CF，A+ABE=90，ABE+FBC=90，A=FBC，在AEB与BFC中，AEBBFC(AAS)，BE=CF，BE=DE；设BE=CF=x，则BF=BE-FE=BE-CD=x-1，在RtBCF中，即：，解得：，(舍去)，BE=4；如图所示，将C点沿AD对称至P点，连接PD，BP，此时，与AD交于M点，即为所求使得BMC周长最小的点，BP=BM+MC，此时作QPPD于P点，交BE延长线于Q点，则四边形QEDP为矩形，QBP为直角三角形，由可知，BE=DE=4，且PD=CD=QE=1，QB=BE+QE=5，QP=DE=4，即：BM+MC的最小值为，BCM周长的最小值为BM+MC+BC
16、=【点睛】本题考查新定义问题，综合了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及最短路径问题等，理解材料给出的定义，将新定义转化为学过的知识点进行证明和计算是解题关键【专题训练】二、 解答题1(2021浙江省宁波市实验学校九年级期中)给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形(1)如图1，在倍对角四边形ABCD中，D2B，A2C，求B与C的度数之和；(2)如图2，锐角ABC内接于O，若边AB上存在一点D，使得BDBO，OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，AFE2EAF求证：四边形DBCF是倍对角四边形；(3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DGOB于点H，交
17、BC于点G当4DH3BG时，求BGH与ABC的面积之比【答案】(1)120；(2)见解析；(3)【解析】【分析】(1)根据四边形内角和为360，即可得出答案；(2)利用SAS证明BEDBEO，得BDEBEO，连接OC，设EAF，则AFE2，则EFC180AFE1802，可证EFCAOC2ABC即可；(3)过点O作OMBC于M，由(1)知BAC60，再证明DBGCBA，得，再根据4DH3BG，BG2HG，得DGGH，则，从而解决问题【详解】(1)解：在倍对角四边形ABCD中，D2B，A2C，A+B+C+D360，3B+3C360，B+C120，B与C的度数之和为120；(2)证明：在BED与BE
18、O中，BEDBEO(SAS)，BDEBEO，BOE2BCF，BDE2BCF连接OC，设EAF，则AFE2，EFC180AFE1802，OAOC，OACOCA，AOC180OACOCA1802，EFCAOC2ABC，四边形DBCF是倍对角四边形；(3)解：过点O作OMBC于M，四边形DBCF是倍对角四边形，ABC+ACB120，BAC60，BOC2BAC120，OBOC，OBCOCB30，BC2BMBOBD，DGOB，HGBBAC60，DBGCBA，DBGCBA，4DH3BG，BG2HG，DGGH，【点睛】本题是新定义题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30
19、角的直角三角形的性质等知识，读懂题意，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键2(2021湖北黄冈八年级期末)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形(1)如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 (2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PAPB，PCPD，APBCPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想(3)若改变(2)中的条件，使APBCPD90，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明)【答案】(1)平行四边形
20、；(2)菱形，见解析；(3)正方形【解析】【分析】(1)连接BD，根据三角形中位线定理证明EHFG，EH=FG，根据平行四边形的判定定理证明即可；(2)证明APCBPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论；(3)证明EHG=90，利用APCBPD，得到ACP=BDP，即可证明COD=CPD=90，再根据平行线的性质证明EHG=90，根据正方形的判定定理证明即可【详解】解：(1)如图1，连接BD，点E，H分别为边AB，DA的中点，EHBD，EH=BD，点F，G分别为边BC，CD的中点，FGBD，FG=BD，EHFG，EH=GF，中点四边形EFGH是平
21、行四边形，故答案为：平行四边形；(2)结论：四边形EFGH是菱形，理由：如图2，连接AC，BDAPB=CPD， APB+APD=CPD+APD，即APC=BPD，在APC和BPD中，APCBPD(SAS)，AC=BD，点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，EF=AC，FG=BD，EF=FG，由(1)知中点四边形EFGH是平行四边形，平行四边形EFGH是菱形；(3)结论：四边形EFGH是正方形，理由：如图2，设AC与BD交于点OAC与PD交于点M，APCBPD，ACP=BDP，DMO=CMP，COD=CPD=90，EHBD，ACHG，EHG=DOC=90，由(2)知中点四边形EFGH是菱形
22、，菱形EFGH是正方形【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线3(2021江苏徐州市树人初级中学八年级阶段练习)定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”性质：“朋友三角形”的面积相等如图1，在ABC中，CD是AB边上的中线那么ACD和BCD是“朋友三角形”，并且 SACD=SBCD应用：如图2，在直角梯形ABCD中，ABC=90，ADBC，AB=AD=4，BC=6，点E在BC上，点F在AD上，BE=AF，AE与BF交于点O(1)求证：AOB和AOF是“
23、朋友三角形”；(2)连接OD，若AOF和DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积【答案】(1)见解析；(2)12【解析】【分析】(1)由AAS证明AOFEOB，得出OF=OB，AO是ABF的中线，即可得出结论；(2)AOE和DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得ABE和梯形ABCD的面积，根据S四边形CDOE=S梯形ABCD-2SABF即可求解【详解】(1)证明：ADBC，OAF=OEB，在AOF和EOB中，AOFEOB(AAS)，OF=OB，则AO是ABF的中线AOB和AOF是“朋友三角形”；(2)解：AOF和DOF是“朋友三角形”，SAOF=SDOF，AF=DF=
24、2，AOFEOB，SAOF=SEOB，AOB和AOF是“朋友三角形”SAOB=SAOF，SAOF=SDOF=SAOB=SEOBSFAB四边形CDOE 的面积=S梯形ABCD-2SABF【点睛】此题主要考查了新定义型问题，涉及梯形的性质，三角形的面积，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理4(2021浙江鄞州一模)我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线(1)如图1，分别为的高线和角平分线，若为的倍角高线根据定义可得_，_(填写图中某个角)；若，求证：为等腰三角形(2)如图2，在钝角中，为钝角，若，分别为的高线和角平分线，倍角高线交直线
25、于点，若，求线段的长 (3)在中，若，倍角高线交直线于点，当为等腰三角形，且时，求线段的长【答案】(1)，；见解析；(2)；(3)BC为，【解析】【分析】(1)根据“三角形的倍角高线”的概念填空；欲证明ABE为等腰三角形，只需推知B=BAE即可；(2)如图2，过点E作EGAB交AB的延长线于点G，由(1)易得CAD=EAG，BAD=EBG=45，令EG=x根据tanACD=3，易得BG=x，AG=3x，故AE=x，结合BE=x=2，故AE=2(3)需要分类讨论：情况一：BAC=90；情况二：180BAC90；情况三：0BAC90，根据“三角形的倍角高线”的概念、勾股定理，借助于方程进行解答【详
26、解】(1)根据题意可得：，；，即又平分，即，即为等腰三角形(2)过点作交的延长线于点，由(1)易得，令，易得，又，(3)情况一：，为三角形的倍角高线，作，可得，情况二：，作，为的倍角高线，过作的垂线交的延长线于点，设，则，得：，情况三：，作，为的倍角高线，设，得：，；综上所述：为：BC为，【点睛】考查了几何变换综合题，需要掌握“三角形的倍角高线”的概念，勾股定理，等式的性质，一元一次方程的应用等知识点，注意题中辅助线的作法是解题的难点另外解答(3)题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解5(2021全国九年级期末)类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”(1)如
27、图1，在四边形中，平分，请说明四边形是“等邻边四边形”；(2)如图2，在中，并将沿的平分线方向平移得到，连接，要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离？(即线段的长)？请直接写出平移的距离；(3)如图3，“等邻边四边形”中，试探究，之间的数量关系(用含的等式表示)【答案】(1)见解析；(2)2或或；(3)【解析】【分析】(1)如图1中，作DFBC于F，DEBA交BA的延长线于E证明DEADFC(ASA)即可解决问题(2)按邻边相等分四种情况分类讨论，计算BB(3)通过旋转相似把、移到一个直角三角形，即可解决问题【详解】(1)如图1中，作DFBC于F，DEBA交BA的延长线于EBD平
28、分ABC，DEBE，DFBC，DE=DF，BED=BFD=90，BAD+C=180， DEADFC(ASA)，DA=DC，四边形ABCD是“等邻边四边形”(2)由平移可知：ABAB，且AB=AB，四边形BBAA是平行四边形BB= AA当AB=AA=2时，此时BB=2；当AC=AA=AC=时，BB=；当AC=CB=AC=时，延长AB交BC延长线于D过C作CEBC于E，设BD=x由于BCBC，ABC=90ADB=90，BDB是直角三角形四边形BDEC为矩形CE=BD，BC=ED，又BB是ABC的角平分线，BBD=BBD=45，BD=BD=xCE=CE=BD=x在RtBCE中解得，而 当AB=CB时
29、RtABC沿ABC的平分线BB方向平移得到RtABC，CBB=180-DBB=135，在钝角CBB中，CBCB=4，AB=2，CBCBAB即CB不可能等于AB综上所述：BB=2或或时，四边形ABCC是“等邻边四边形”故答案为2或或(3)在CD右边取一点E，使,，连AE、DE、CE，CD=DE，即即【点睛】本题是新定义类探究题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平移变换，相似三角形的判定和性质等知识解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用平移的性质并构造直角三角形是关键，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题6(2021吉林伊通八年级期末)类比平行四边形，我们学习筝形定义：两组临边分别相等
30、的四边形叫做筝形，如图，若ADCD，ABCB，则四边形ABCD是筝形(1)在同一平面内，ABC与ADE按如图所示放置，其中BD90，ABAD，BC与DE相交于点F请你判断四边形ABFD是不是筝形，说明理由；(2)请你结合图形，写出一个筝形的判断方法；(定义除外)(3)如图，OGH为等边三角形，点G的坐标为(1，0)，点P为直线yx上的一点在第四象限内是否存在点P，使得以O、G、H、P为顶点的四边形为筝形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)是，理由见解析；(2)有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形；有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形；如果ADCD，AC
31、BD，那么四边形ABCD是筝形；如果ADCD，ADBCDB，那么四边形ABCD为筝形；(3)存在，P(，)【解析】【分析】(1)连接AF，证明RtADFRtABF(HL)即可；(2)答案不唯一，参考写出一个即可：有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形；有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形；如果ADCD，ACBD，那么四边形ABCD是筝形；如果ADCD，ADBCDB，那么四边形ABCD为筝形；(3)连接HP交x轴于M，设P(t，t)，则有M是OG的中点，则有OMMG，由已知可得GO1，则M(，0)，即可求P(，)【详解】解：(1)四边形ABFD是筝形，理由如下：连接AF，如图，在RtA
32、DF和RtABF中，RtADFRtABF(HL)，DFBF，四边形ABFD是筝形；(2)有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形；有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形；如果ADCD，ACBD，那么四边形ABCD是筝形；如果ADCD，ADBCDB，那么四边形ABCD为筝形；(3)存在，理由：OGH为等边三角形，OHHG，四边形OHGP为筝形，OPPG，连接HP交x轴于M，如图，则M是OG的中点，OMMG，P点在直线yx上，设P(t，t)， G(1，0)，GO1，M(，0)，P(，)【点睛】本题考查了筝形的定义，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，坐标与图形的性质，以及正比例函数的图
33、象与性质，利用三角形全等、等边三角形的性质综合解题是关键7(2021陕西高新一中七年级期末)问题提出：(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图，中，为上一点，当_时，与是偏等积三角形；问题探究：(2)如图，与是偏等积三角形，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度；问题解决：(3)如图，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，与是偏等积三角形吗？请说明理由；已知，的面积为如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价【答案】(1)；(2)6；(3)是偏等积三角形，理由见解析；42000元【解析】【
34、分析】(1)当时，则，证，再证与不全等，即可得出结论；(2)由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，得，然后由三角形的三边关系求解即可；(3)过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论；过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，求出，即可求解【详解】解：(1)当时，与是偏等积三角形，理由如下：设点到的距离为，则，与不全等，与是偏等积三角形，故答案为：；(2)设点到的距离为，则，与是偏等积三角形，在和中，线段的长度为正整数，的长度为偶数，在中，即：，；(3)与是偏等积三角形，理由如下：过作于，过作于，如图3所示：则，、是等腰直
35、角三角形，在和中，与不全等，与是偏等积三角形；如图4，过点作，交的延长线于，则，点为的中点，在和中，在和中，由得：与是偏等积三角形，修建小路的总造价为：(元)【点睛】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明ACMBCN和ACNCBE是解题的关键，属于中考常考题型8(2021陕西高新一中八年级期末)定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”【提出问题】(1)如图，四边形与四边形都是正方形，求证：四边形是“等垂四边形”；【类比探究】(2)如图，四边形是
36、“等垂四边形”，连接，点，分别是，的中点，连接，试判定的形状，并证明；【综合运用】(3)如图，四边形是“等垂四边形”，则边长的最小值为_【答案】(1)见解析；(2)EFG是等腰直角三角形，理由见解析(3)【解析】【分析】(1)延长，交于点，先证，得，结合，知，即可得从而得证；(2)延长，交于点，由四边形是“等垂四边形”， 知，从而得，根据三个中点知，据此得，由可得答案；(3)延长，交于点，分别取，的中点，连接，由及可得答案【详解】解：(1)如图，延长，交于点，四边形与四边形都为正方形，即，又，四边形是“等垂四边形”(2)是等腰直角三角形理由如下：如图，延长，交于点，四边形是“等垂四边形”， ，
37、点，分别是，的中点，是等腰直角三角形(3)延长，交于点，分别取，的中点，连接，则，由(2)可知最小值为，故答案为：【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点9(2021江苏高港实验学校八年级阶段练习)如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，_一定是等角线四边形(填写图形名称)；若、分别是等角线四边形四边、的中点，当对角线、还要满足_时，四边形是正方形(2)如图2，已知在中，为平面内一点若四边形是等角线四边形，且，求符合条件的
38、等角线四边形的面积设点是所在平面上的任意一点且，若四边形是等角线四边形，求出四边形面积的最大值，并说明理由【答案】(1)矩形；(2)；18，理由见解析【解析】【分析】(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；当时，四边形是正方形，首先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角即可；(2)如图2中，作于根据计算，求出相关线段即可；如图3中，设与相交于点，连接，只要证明当且、共线时，四边形的面积最大即可【详解】解：(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，矩形的对角线相等，矩形一定是等角线四边形，故答案为：矩形；当时，四边形是正方形理由：如图1，、分别是等角线四边
39、形四边、的中点，四边形是菱形，四边形是正方形故答案为：；(2)如图2，作于在中，四边形是等角线四边形，在中，四边形的面积为；如图3中，设与相交于点，连接，作于，于则，四边形是等角线四边形，即，当、重合时，即时，等号成立，即线段最大时，四边形的面积最大，的最大值为6，当、共线时，取等号，四边形的面积的最大值为故答案为：18【点睛】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是理解等角线四边形的定义，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题10(2021湖北黄梅八年级期末)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形(1)如图1，在四边形中，点，分别为边，的中点，中点四边形是_(2)如图2，点P是四边形内一点，且满足，点，分别为边，的中点猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想(3)若改变(2)中的条件，使，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明)【答案】(1)平行四边形；(2)四边形是菱形，证明见解析；(3)四边形是正方形【解析】【分析】(1)如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理可得：EHFG，然后利用平行四边形的判定定理即可证明；(2)四边形EFGH是菱形先证明，得到，再利用三角形中位线定理可得，根据菱形的判定定理即可证明；(3)四边形EF