《专题17 二次函数中几何存在性的问题(含答案)-备战2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题17 二次函数中几何存在性的问题(含答案)-备战2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）.docx（120页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、备战2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)专题17 二次函数中几何存在性的问题 【典型例题】1(2022全国九年级专题练习)抛物线C1：yx2x2交x轴于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C(1)求A，B两点的坐标(2)M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180后得到抛物线C2，C2经过点A且抛物线C2上有一点P，使BCP是以B为直角的等腰直角三角形是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由【专题训练】一、 解答题1(2022全国九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+x+c(a0)与x轴相交于A，B两点，与y轴交
2、于点C，B点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PFx轴交直线BC于点F，过P作PEy轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由2(2022全国九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点E，一次函数yx+1与抛物线交于A、D
3、两点，交y轴于点C，且D(4，5)(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点作PQAD交AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的P点坐标；(3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点R，M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由3(2022全国九年级专题练习)如图，平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C，直线yx+n经过B、C两点点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作
4、DEy轴，分别交x轴，BC于点E，F(1)求直线BC及抛物线的表达式；(2)点D在移动过程中，若存在DCFACO，求线段DE的长；(3)在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由4(2022全国九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：yax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C(0，2)AB2点M(m，0)是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L上的对应点为P设E是抛物
5、线L上的动点，E是点E在抛物线L上的对应点，试探究四边形PEPE能否成为正方形若能，求出m的值；若不能，请说明理由5(2022全国九年级专题练习)如图，抛物线yx2x与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4，a)，抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求直线CE的解析式(2)如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC当PCF的面积最大时，求点P的坐标及PCF面积的最大值(3)如图3，连接CD，将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得DQG为等
6、腰三角形？若存在，求出点G的坐标6(2022全国九年级专题练习)如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：ya(x)2与x轴交于点A(，0)和点B，与y轴交于点C(1)求抛物线F1的表达式；(2)如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC求点D的坐标；判断BCD的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7(2022全国九年级专题练习)如图，二次函数ybxc的图象与x轴交于A(3，0)，B(1，0)，与y轴
7、交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动(1)直接写出二次函数的解析式；(2)当P，Q运动到t秒时，将APQ沿PQ翻折，若点A恰好落在抛物线上D点处，求出D点坐标；(3)当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由8(2022全国九年级专题练习)如图，抛物线yx2bx1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x，连接AC，BC(1)求抛物线的解析式；(2)求ABC的面
8、积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由9(2022全国九年级专题练习)如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A的坐标是(3，0)，抛物线的对称轴是直线x1(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，且PBC是直角三角形，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在直线BC上是否存在点Q，使PQBCPB，若存在，求出点Q坐标：若不存在，请说明理由10(2022全国九年级专题练习)如图，抛物线yax2bxc经过A(1，0)，B两点，且与y轴交于点C(0，
9、3)，抛物线的对称轴是直线x1(1)求抛物线的函数表达式；(2)抛物线与直线yx1交于A、E两点，P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P、B、C为顶点的三角形与ABE相似，求点P的坐标；(3)F是直线BC上一动点，M为抛物线上一动点，若MBF为等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标11(2022全国九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC2OB6OA6，点P是第一象限内抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当SPCD：SODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，
10、是否存在点M、点N使CMN90，且CMN与BOC相似，若存在，请求出点M、点N的坐标12(2022全国九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数yx2bxc的图象经过点A和点C(0，3)(1)求点B坐标及二次函数的表达式；(2)如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD上方抛物线上一个动点，过点P作PFx轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以P、C、
11、F为顶点的三角形与COM相似？若存在，求出线段PF的长度；若不存在，请说明理由13(2022全国九年级专题练习)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yx2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数ybx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A(1)求二次函数的表达式(2)如图2，连接AC，点M为线段BC上的一点，设点M的横坐标为t，过点M作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两者交于点N，将MCN沿MC翻折得到MCN当点N落在线段AB上，求此时t的值；求MCN与ACB重叠的面积S与t的函数关系式(3)如图3，点D在直线BC下方的二次函数图象上，过点D作DMBC于点M，是否存在点D
12、，使得CDM中的某个角恰好等于ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由备战2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)专题17 二次函数中几何存在性的问题 【典型例题】1(2022全国九年级专题练习)抛物线C1：yx2x2交x轴于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C(1)求A，B两点的坐标(2)M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180后得到抛物线C2，C2经过点A且抛物线C2上有一点P，使BCP是以B为直角的等腰直角三角形是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由【答案】(1)A(2，0)，B(4，0)(2)存在，点M的坐
13、标为(，)或(1，0)【解析】【分析】(1)令y=0，求出x的值，即得出A、B两点坐标；(2)分类讨论当P在x轴的下方时，过P作PDx轴于D，设抛物线C1的顶点为E，则E(-1，)，由等腰直角三角形的性质可知BCPB，PBC90，从而可推出OCBPBD即易证，得出PDOB4，BDOC2，从而可求出OD2，即P点坐标已知根据题意设抛物线C2的解析式为y，利用待定系数法即可求出其解析式，得到其顶点坐标，由旋转可知点M是两个抛物线顶点所连线段的中点，由此即可得出答案；当点P在x轴的上方时，过P作PDx轴于D，同理得PDBBOC，得出PDOB4，BDOC2，即得出P点坐标同理利用待定系数法可求出抛物线
14、C2的解析式，求出其顶点坐标，即求出M的坐标(1)当y0时，即，解得：，点A在点B的右侧，A(2，0)，B(-4，0)(2)分两种情况：当P在x轴的下方时，如图，过P作PDx轴于D，设抛物线C1的顶点为E，则E(-1，)，PBC是等腰直角三角形，BCPB，PBC90，CBO+OCBOBC+PBD90，OCBPBD，BOCPDB90，BOCPDB(AAS)，PDOB4，BDOC2，OD4-22，P(-2，-4)，抛物线C1绕点M旋转180后得到抛物线C2，设抛物线C2的解析式为：y，把P(-2，-4)和A(2，0)代入得：，解得：，抛物线C2的解析式为：y，此时点P为抛物线C2的顶点，M是线段E
15、P的中点，M(，)；当点P在x轴的上方时，如图2，过P作PDx轴于D，同理得PDBBOC，PDOB4，BDOC2，P(-6，4)，抛物线C2经过点P和点A，同理可得抛物线的解析式为：y，顶点F(-1，)，抛物线C1绕点M旋转180后得到抛物线C2，M是线段EF的中点，M(-1，0)；综上，点M的坐标为：(，)或(-1，0)【点睛】本题为二次函数综合题考查的知识点有：利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，为压轴题画出图形，利用数形结合的思想是解题的关键【专题训练】二、 解答题1(2022全国九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+x+c(a0)与x轴
16、相交于A，B两点，与y轴交于点C，B点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PFx轴交直线BC于点F，过P作PEy轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)yx2+x+2(2)当m2时，EF有最大值为2，点P的坐标为(2，3)(3)存在，Q点的坐标为：(2，2)或(6，4)或(2，1
17、)或(2，1+)【解析】【分析】(1)把点B(4，0)，C(0，2)，代入抛物线解析式，即可求解；(2)先求出直线BC的解析式，设P点坐标为(m，m2+m+2)，则E点的坐标为(m，m+2)，设F的横坐标为n，则F的纵坐标为：m2+m+2，可得nm23m，从而得到PEm2+2m，PFm2+4m，再由勾股定理可得EF， 再由0m4，可得EF(m2)2+2，即可求解；(3)根据题意可得抛物线沿着射线AC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线沿x轴向右移动个单位，再沿y轴向上移动1个单位，再由原抛物线的对称轴为直线x，可得新抛物线的对称轴为直线x2，然后分两种情况讨论：当以BC为边时，以BC为对角线
18、时，即可求解(1)解：抛物线yax2+x+c(a0)与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，B点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)，将B点、C点坐标代入解析式，得，解得，抛物线的解析式为： yx2+x+2；(2)解：设直线BC的解析式为ykx+b，代入点B、点C坐标，得，解得，直线BC的解析式为：yx+2，设P点坐标为(m，m2+m+2)，则E点的坐标为(m，m+2)，设F的横坐标为n，则F的纵坐标为：m2+m+2，令n+2m2+m+2，解得：nm23m，PEm2+m+2(m+2)m2+2m，PFm(m23m)m2+4m，EF=， 0m4，EF(m24m)(m2)2+2，当m2时，EF有最
19、大值为2，此时，点P的坐标为(2，3)；(3)解：存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形，Q点的坐标为：(2，2)或(6，4)或(2，1)或(2，1+)；理由如下：OA1，OC2，AC，又(OA)2+(OC)2()2，抛物线沿着射线AC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线沿x轴向右移动个单位，再沿y轴向上移动1个单位，原抛物线的对称轴为直线x，新抛物线的对称轴为直线x+2，设对称轴交直线BC于M，交x轴于P，()当以BC为边时，如右图设N1点的坐标为(2，t)，直线BC的解析式为：yx+2，新对称轴直线为：x2，P(2，0)，M(2，1)，MP1，PB422，MN1B+PBN19
20、0，MBO+PBN190，MN1BMBO，tanMBO，tanMN1B ，t4，即N1(2，4)，设直线BN1的解析式为：yex+g，代入B点和N1点坐标，得，解得，直线BN1的解析式为：y2x8，由图可知，Q1的坐标是C点先向左移动2个单位再向下移动4个单位，即Q1的坐标为(2，2)，同理Q2的坐标是点B先向右移动2个单位再向上移动4个单位，即Q2的坐标为(6，4)，()以BC为对角线时，如右图，以BC为直径画圆，交新对称轴于N3和N4，由图知此时BN3CN4为矩形，即Q3与N4重合，Q4与N3重合，由()知，MP1，BP2，MN3MN4BM，Q3(2，1)，Q4(2，1+)，综上，Q点的坐
21、标为：(2，2)或(6，4)或(2，1)或(2，1+)【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，二次函数与特殊四边形的综合题，以及锐角三角函数，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键2(2022全国九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点E，一次函数yx+1与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C，且D(4，5)(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点作PQAD交AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的P点坐标；(3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得
22、到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点R，M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)yx22x3；(2)当x时，PQ的最大值为，此时点P的坐标为(，)；(3)存在，点N的坐标为(4，1)或(2，1)或(0，)或(0，)【解析】【分析】(1)题求出A点坐标代入二次函数作答；(2)题由PQAD，作辅助线PH将边PQ的长化为解直角三角形PHQ，建立二次函数求最值；(3)题原二次函数对称轴为x=1，点A(1，0)，点R(2，3)，可知A，R两点在对称轴两侧，若以AR为矩形的边，过A，R两点作
23、AR的垂线与对称轴的交点即M点，M点在直线AR上面时当A点平移至R点时，M点平移至N点，M点在直线AR下面时当A点平移至R点时，N点平移至M点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以AR为矩形的对角线，则线段AR的中点坐标和线段MN的中点坐标重合且AR=MN，由此建立方程组求解(1)解：令yx+10，解得x1，故点A(1，0)，将点A、D的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为yx22x3；(2)解：过点P作PHy轴交AD于点H，设点P的坐标为(x，x22x3)，则点H(x，x+1)，由直线AD的表达式知，DAB45AHP，则PQPHsin45(x+1x2+2x+3
24、)(x23x4)，0，故PQ有最大值，当x时，PQ的最大值为，此时点P的坐标为(，)；(3)解：存在，理由：由平移的性质得：平移后的抛物线表达式为yx24x+1，联立并解得，故点R的坐标为(2，3)，由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线x1，故设点M的坐标为(1，m)，设点N的坐标为(s，t)，当AR是边时，点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R，则点M(N)向右平移3个单位向下平移3个单位得到点N(m)，且ANRM(AMRN)，即或，解得：或故点N的坐标为(4，1)或(2，1)；当AR是对角线时，由中点坐标公式和ARMN得：，解得或，故点N的坐标为(0，)或(0，)综上，点N的坐标为(
25、4，1)或(2，1)或(0，)或(0，)【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的综合，解直角三角形，矩形的性质和坐标的平移；(2)题正确作出辅助线解直角三角形是关键，(3)题根据平移特征和矩形性质列出方程组是解题关键3(2022全国九年级专题练习)如图，平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C，直线yx+n经过B、C两点点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DEy轴，分别交x轴，BC于点E，F(1)求直线BC及抛物线的表达式；(2)点D在移动过程中，若存在DCFACO，求线段DE的长；(3)在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是
26、否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】(1)yx2+2x+3(2)DE(3)存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，点M的坐标为(1，4)或(2，5)【解析】【分析】(1)利用抛物线的解析式求得点C的坐标，将点C的坐标代入直线的解析式可求n的值，直线解析式可得；利用直线解析式求得点B的坐标，利用待定系数法，抛物线的解析式可得；(2)利用各点的坐标求得线段OA，OC，OB的长度，可得ABC=45；依据解析式和DEy轴设D(m，-m2+2m+3)，则F(m，-m+3)；可得FE、DE和DF的长过D作DHBC于H，利用DC
27、F=ACO，得到tanDCF=tanACO在RtCDH，RtDHF，RtBEF中分别表示CH，HF，BF利用CH+HF+FB=BC列出方程求出m的值，线段DE可求；(3)由于C，D，M均在抛物线上，若存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，只需分别过C，B作直线BC的垂线，与抛物线的交点即为点M，所以求得过B或C且与直线BC垂直的直线的解析式，再与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可得到点M的坐标(1)令x0，则y3C(0，3)直线yx+n经过C点，n3直线BC的解析式为：yx+3令y0，则x3B(3，0)抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于A(1，0)，B两点，解得：抛物线的解析式
28、为：yx2+2x+3(2)A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，OA1，OBOC3OBC45点D为第一象限内抛物线上一动点，设D(m，m2+2m+3)，其中m0m2+2m+30DEm2+2m+3DE/y轴，F在DE上，F在直线BC上，F(m，m+3)EFm+3DFDEEFm2+2m+3(m+3)m2+3m过点D作DHBC于H，如图，DCFACO，tanDCFtanACO在RtBEF中，OBC45，BFEOBC45EFBEm+3BF(m+3)在RtDHF中，DFHBFE45，HFDHDF(m2+3m)在RtCDH中，CH3DH(m2+3m)在RtOBC中，BCBCBF+HF+CH，3(m+3
29、)+(m2+3m)+(m2+3m)解得：m或m0(不合题意，舍去)DE+2+3(3)存在C，B，M均在抛物线上，以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，过点B且垂直于直线BC的直线与抛物线的交点或过点C且垂直于直线BC的直线与抛物线的交点即为点M直线BC的解析式为yx+3，设过点C且垂直于直线BC的直线为yx+3解得：(舍去)或M(1，4)直线BC的解析式为yx+3，设过点B且垂直于直线BC的直线为yx3解得：(舍去)或M(2，5)综上，存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形，点M的坐标为(1，4)或(2，5)【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，直角三角形的边角关系，勾股
30、定理，等腰直角三角形的性质，函数图象上的点的坐标的特征，二元一次方程组的解法，一元二次方程的解法，利用图象上的点的坐标的特征表示相应线段是解题的关键4(2022全国九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：yax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C(0，2)AB2点M(m，0)是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L上的对应点为P设E是抛物线L上的动点，E是点E在抛物线L上的对应点，试探究四边形PEPE能否成为正方形若能，求出m的值；若不能，请说明理由【答案】(1)抛
31、物线L的函数表达式为yx2+2(2)四边形PEPE能成为正方形，m或3【解析】【分析】(1)由题意抛物线的顶点C(0，2)，A(，0)，设抛物线的解析式为yax2+2，把A(，0)代入可得a1，由此即可解决问题；(2)情形1，如图1中，四边形PEPE能成为正方形作PKx轴于K，EHx轴于H由题意易知P(1，1)，当PME是等腰直角三角形时，四边形PEPE是正方形，推出PMME，PME90，由PKMMHE，可得PKMH1，MKHE1m，可得E(m+1，m1)，利用待定系数法即可解决问题；情形2，如图2中，四边形PEPE是正方形，同法可得E(m1，1m)，利用待定系数法即可解决问题(1)由题意抛物
32、线的顶点C(0，2)，A(，0)，设抛物线的解析式为yax2+2，把A(，0)代入可得a1，抛物线L的函数表达式为yx2+2(2)结论：四边形PEPE能成为正方形理由：情形1，如图1中，作PKx轴于K，EHx轴于H由题意易知P(1，1)，当PME是等腰直角三角形时，四边形PEPE是正方形，PMME，PME90，由PKMMHE，可得PKMH1，MKEH1m，E(m+1，m1)，点E在yx2+2上，m1(m+1)2+2，解得m或(舍弃)，m时，四边形PEPE是正方形情形2，如图2中，四边形PEPE是正方形，同法可得E(m1，1m)，把E(m1，1m)代入yx2+1中，1m(m1)2+2，解得m3或
33、0(舍弃)，m3时，四边形PEPE是正方形综上，四边形PEPE能成为正方形，m或3【点睛】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题5(2022全国九年级专题练习)如图，抛物线yx2x与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4，a)，抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求直线CE的解析式(2)如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC当PCF的面积最大时，
34、求点P的坐标及PCF面积的最大值(3)如图3，连接CD，将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标【答案】(1)yx(2)SPCF的最大值为，P(2，)(3)存在，点G的坐标为：(3，)；(1+，2)；(1，2)；(，)【解析】【分析】(1)先求出点和点的坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式；(2)求出点的坐标，过点P作x轴的垂线，交CE于点M，再将点和点的坐标设出来，再根据三角形的面积公式将的面积表示出来，根据二次函数的性质即可求出面积的最大值和点的坐标；(3)先求出点的坐标，再求出的长
35、度及的度数，再根据平移的性质得出点的坐标，从而求出直线的解析式，再根据等腰三角的性质进行分类讨论即可求出点的坐标(1)解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，令，则；令，则y(x+1)(x3)0，则x1或x3；A(1，0)，B(3，0)，C(0，)，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4，a)，a，即a，E(4，)，设直线CE的解析式为：ykx+b，解得直线CE的解析式为：；(2)直线CE与x轴交于点F，F(，0)，如图，过点P作x轴的垂线，交CE于点M，设点P的横坐标为m，P(，)，M(，)，当m2时，SPCF的最大值为，此时(3)抛物线D(1，0)，Q(1，)，DQ，抛物线沿射线CD平移得
36、到新抛物线y，y经过点D，如图，则y的顶点为点H(2，)，DQHOCD30，直线QH的解析式为当DG1DQ时，如图所示，过点G1作G1IDQ于点I，此时G1DI60，G1IDI2，；当QG1QD时，如图所示，过点G2作G2TDQ于点T，过点G3作G3SDQ于点S，G2TQG2，TQG2T2，；同理可得，G3S，SQ2，；当GDGQ时，如图所示，此时点G4为DQ的中垂线与直线QH的交点，G4的纵坐标为，；综上，点G的坐标为：；【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和求直线的解析式，以及二次函数与三角形的综合运用，熟练掌握二次函数的基本知识，以及用待定系数法求直线解析式和运用等腰三角形的定义进行分类
37、讨论是解答本题的关键6(2022全国九年级专题练习)如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：ya(x)2与x轴交于点A(，0)和点B，与y轴交于点C(1)求抛物线F1的表达式；(2)如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC求点D的坐标；判断BCD的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)D(1，1)；等腰直角三角形，见解析(3)存在，点P的坐标是(1，3)或(2，2)【解析】【分析
38、】(1)把点A(，0)代入抛物线ya(x)2求得a的值即可；(2)先根据平移确定抛物线F2的解析式，然后再与联立即可解答；先确定C、B点的坐标，再运用两点间距离公式求出BD2、CB2 、CD2，然后运用勾股定理逆定理即可解答(3)设P(m，)，再运用两点间距离公式求出BD2、PD2 、BP2，然后分DBP90、BDP90、BPD90三种情况解答即可(1)解：把点A(，0)代入抛物线F1：ya(x)2+中得：0a()2+，解得：a，抛物线F1：；(2)解：由平移得：抛物线F2：y(x+1)2+3，y(x+)2+ ，(x+)2+(x)2+，x，解得：x1，D(1，1)；当x0时，y4，C(0，4)
39、，当y0时，(x)2+0，解得：x或2，B(2，0)，D(1，1)，BD2(2+1)2+(10)210，CD2(0+1)2+(41)210，BC222+4220，BD2+CD2BC2且BDCD，BDC是等腰直角三角形；(3)解：存在，设P(m，)，B(2，0)，D(1，1)，BD2(2+1)2+1210，分三种情况：当DBP90时，BD2+PB2PD2，即10+(m2)2+2(m+1)2+(m+)2+12，解得：m4或1，当m4时，BD，PB6，即BDP不是等腰直角三角形，不符合题意，当m1时，BD，PB，BDPB，即BDP是等腰直角三角形，符合题意，P(1，3)；当BDP90时，BD2+PD
40、2PB2，即10+(m+1)2+(m+)2+12(m2)2+2，解得：m1(舍)或2，当m2时，BD，PD，BDPD，即此时BDP为等腰直角三角形，P(2，2)；当BPD90时，且BPDP，有BD2PD2+PB2，如图3，当BDP为等腰直角三角形时，点P1和P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；综上，点P的坐标是(1，3)或(2，2)【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及求二次函数的解析式、二次函数图象的平移、两点间距离公式、等腰三角形的定义等知识点，掌握两点间距离公式和分类讨论思想成为解答本题的关键7(2022全国九年级专题练习)如图，二次函数ybxc的图象与x轴交于A(3，0)，B(1
41、，0)，与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动(1)直接写出二次函数的解析式；(2)当P，Q运动到t秒时，将APQ沿PQ翻折，若点A恰好落在抛物线上D点处，求出D点坐标；(3)当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，点E的坐标为(，0)或(，0)或(1，0)或(7，0)【解析】【分析】(1)将A，B两点的坐标代入二次函数解析式中，求得b、c，进而可求解析式；(2)如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作FQAP于F，根据轴对称的性质及已知条件可得AP=AQ=QD=DP，那么四边形AQDP为菱形由FQOC，证明，求出，得到又DQ=AP=t，所以将D点坐标代入二次函数解析式，进而求解即可；(3)以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：AE=EQ；AQ=EQ；AE=AQ可通过画图得E点大致位置，再利用勾股定理，等腰三角形的性质求解(1)二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A(3，0)，B(1，0)，解得，二次函数的解析式为；(2)如图，D点是点A关于PQ的对称点，过点Q作FQAP 于F，则FQOC，APAQ