《2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习第5节 二次函数--矩形和正方形含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习第5节 二次函数--矩形和正方形含答案.docx（130页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2024 年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习习2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习第第5节节 二次函数二次函数-矩形和正方形含答案矩形和正方形含答案第第 5 节节 二次函数矩形和二次函数矩形和正方形问题正方形问题目标层级图目标层级图课课中讲解中讲解一一.矩形的存在性问题矩形的存在性问题内容讲解内容讲解例题：抛物线223yxx=-与 x 轴交于A、B 两点，（点 A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 P 是对称轴上一点，点 Q 为平面内任意一点，是否存在以 A、C、P、Q 为
2、顶点的四边形是矩形？若存在，求出点 Q 坐标，若不存在，说明理由。类比平行四边形存在性问题的解法，解决问题时仍考虑分两类情况：1定线段 AC 为边定线段 AC 为对角线。由矩形的性质可知，矩形的四个角都是直角，结合这一特性，可以考虑使用“两线一圆”（参考直角三角形存在性问题）的构图方式，准确做出图形，然后依据图形特征设计方案求解。1.当 AC 为边时，利用“两线”构图方式准确确定点 P 位置，此时图形中出现“斜直角”，可考虑“改斜归正”，构造相似，利用相似三角形性质转换线段 OA、OC 长，得出点 P 坐标，进而利用平移得出点 Q 坐标；（这里还有其它解决办法，不再叙述，请思考）2.当 AC
3、为对角线时，利用“一圆”构图方式准确确定点 P 位置，图形之中仍有“斜直角”的存在，利用“改斜归正”的方法构造相似，结合相似三角形的性质，把 A、C、P 三点坐标转化线段长并建立方程，然后解方程可得点 P 坐标，再次利用点的平移求出点 Q 坐标。矩形存在性问题的这种解决思路，方法比较简单，需要在平行四边形基础上利用“两线一圆”构图，然后设计求解方案。题型一：固定一条边，设点坐标和题型一：固定一条边，设点坐标和 K 型相似列方程型相似列方程例 1如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(4,0)A，(2,0)B，(0,8)E（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的
4、顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A，点D同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒 2 个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由过关检测过关检测1.（2015成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线223(0)yaxax
5、a a与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线:l ykxb与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且4CDAC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由2.（2018 锦江区一诊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212yxbxc=+的图象与 x 轴交于点 A（2，0）、B（4，0），与 y 轴交于点 D（1）求抛物线的解析式
6、；（2）连接 BD，点 P 在抛物线的对称轴上，以 Q 为平面内一点，以点 P、B、D、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由；题型二：固定一个点，其他两个点或者三个点有限制条件题型二：固定一个点，其他两个点或者三个点有限制条件例 2.（2020武侯区模拟）已知抛物线214yxbxc 经过点(4,3)A，顶点为B，对称轴是直线2x（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；（2）如图 1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作ADx轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；()i若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分，求点E的
7、坐标；()ii如图 2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由过关检测过关检测1.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0,4)、(1,0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形A B OC（1）若抛物线经过点C、A、A，求此抛物线的解析式；（2）在（1）的情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）在（1）的情况下，若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为
8、(1,0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标题型三：矩形相关的代数问题题型三：矩形相关的代数问题例 3（2019 青羊区二诊）如图，抛物线2yxbxc 与x轴交于(7,0)A，(1,0)B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，顶点坐标为M（1）求抛物线的表达式和顶点M的坐标；（2）如图 1，点(,)E x y为抛物线上一点，点E不与点M重合，当72x 时，过点E作/EFx轴，交抛物线的对称轴于点F，作EHx轴与点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF的周长的最大值；过关检测过关检测1.如图 1，在平面直角坐标系xoy中，直线l：
9、34yxm与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,1)，抛物线212yxbxc经过点B，且与直线l的另一个交点为(4,)Cn（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(04)t/DEy轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图 2）若矩形DFEG的周长为，求p与t的函数关系式以及p的最大值.二正方形存在性问题二正方形存在性问题由于正方形比较特殊，其中相等的角、边太多，所以解决有关正方形的题目，多采用几何论证方法，最主要围绕这个思路展开：添加辅助线，充分利用正方形的等边或等角，构造全等三角形，依全等性质解题。例题：如图，抛物线223yxx=-与 x
10、轴交于 A、B 两点，（点 A 在点 B 的左侧），与 y轴交于点 C，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一点，连接 BP，以 BP 为边在图示一侧作正方形BPMN，当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线的对称轴上时，求出对应的点 P 坐标。【解法分析】正方形是最完美的四边形，它的四条边相等、四个角是直角，把它放置在二次函数问题中与平面直角坐标系结合就会出现“斜直角”。而“斜直角”的处理方式通常为“改斜归正”（斜转直），因此可以结合正方形四条边相等的特性去构造三角形全等。（K 型全等）1、当点 M 落在抛物线的对称轴上时，可通过过点 P 作 PM直线 x=1 于点 E，作 PFx 轴于点 F，构造
11、PMEPBF，进而利用点 P 坐标表示线段 PE、PF 建立等量，解方程可求点 P 坐标；2、当点 N 落在抛物线对称轴上时，可通过过点 P 作 PFx 轴于点 F，设对称轴交 x 轴于点G，构造PBFBNG，结合点 B 坐标及对称轴表示线段 BG，进而根据 PF=BG 得出点 P纵坐标，代入抛物线解析式求得点 P 横坐标即可。上述方法是解决正方形存在性众多问题的一种，其它类型不再一一讲解，希望这种解决问题的方法能为同学们带来启迪，在今后解决正方形存在性问题时能很好的结合正方形的特殊性质顺利解决问题。题型一：根据正方形的基础边角性质讨论存在性问题题型一：根据正方形的基础边角性质讨论存在性问题例
12、 1.（18成华二诊）如图，抛物线212yxbxc=-+与x轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标过关检测过关检测1.如图，点A是y轴上的点，线段/ABx轴，M是OA的中点，连接BM并延长交x轴与点C，二次函数224yaxax的图象经过A，B
13、，C的三点，与x轴的另一交点为D（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）求二次函数的表达式；（3）在线段CD上有动点P（不与C，D重合），过P作PEx轴交直线BC于E，以PE为边在PE的右侧作正方形PEFG，当点F在抛物线上时，求点P的坐标2.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为(10,0)，抛物线24yaxbx过点B，C两点，且与x轴的一个交点为(2,0)D，点P是线段CB上的动点，设(010)CPtt（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）点Q是x轴上的动点，过点P作/PMBQ，交CQ于点M，作/PNCQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，求t的值题型二
14、：确定一个点，其余点有限制，题型二：确定一个点，其余点有限制，结合正方形四条边相等的特性去构造三角形全等结合正方形四条边相等的特性去构造三角形全等例 2.如图，抛物线212yxbxc 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为(6,0)，点C坐标为(0,6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标 过关检测过关检测1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yaxbxc经
15、过A、B、C三点，已知点(3,0)A，(0,3)B，(1,0)C（1）求此抛物线的解析式（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PDAB于点D动点P在什么位置时，PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变 当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标（结果保留根号）例 3.给定一个函数，如果函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做给定函数的不动点（1）求一次函数21yx的不动点坐标；（2）如图 1，二次
16、函数231yxx的两个不动点分别为P、Q（点P在点Q的左侧），将点P绕点Q逆时针旋转90得到点R，求点R的坐标；（3）如图 2，二次函数23yaxbx的两个不动点的坐标分别为(1,1)A ，(3,3)B求a，b的值；若C为一次函数12yxm 的不动点，以线段AC为边向下作正方形ACDE当D，E两点中只有一个点在二次函数23yaxbx的图象上时，直接写出m的值过关检测过关检测1.如图，已知二次函数212yxbx的图象经过点(4,0)A，顶点为B，一次函数122yx的图象交y轴于点M，P是抛物线上一点，点M关于直线AP的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线BH上（对称轴直线BH与x轴交于点)H（一定
17、两限制）（1）求二次函数的表达式；（2）求点P的坐标；（3）若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接OG，点F是线段OG上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形BDEF是正方形，求点G的坐标例 4.（2017成都）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：2yaxbxc=+与 x 轴相交于 A，B 两点，顶点为 D（0，4），AB=4，设点 F（m，0）是 x 轴的正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 F 旋转 180，得到新的抛物线 C（1）求抛物线 C 的函数表达式；（2）如图 2，P 是第一象限内抛物线 C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 P 在抛物
18、线C上的对应点 P，设 M 是 C 上的动点，N 是 C上的动点，试探究四边形 PMPN 能否成为正方形？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由过关检测过关检测1.如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点(0,2)A、点(1,0)B，抛物线22yaxax经过点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由学习任务学习任务1.如图，已知点A(2,0)、B(1,0)，C是y轴的负半轴上一点，且OAOC，抛物线经过A、B、C三点（1）此抛物
19、线的关系式抛物线解析式：22yxx（2）P是对称轴右侧的抛物线上一点，Q是平面内一点，是否存在这样的点P、Q使以B、C、P、Q所构成的四边形是以BC为边的矩形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图 1，已知直线l，22yx分别与x轴、y轴交于点A、B两点，C为l在一象限内的一点，且2 5AC，抛物线28yaxbx过A、C两点，且与x轴的另一交点为D（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，若抛物线28yaxbx的顶点为E，P为直线AC上的一动点，当|PDPE值最大时，求此时点P的坐标及|PDPE的最大值；（3）如图 3，若点M为x轴上一点，点N为平面内一点，且满足
20、以点B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N的坐标3.已知二次函数213yxbxc 的图象L经过原点，与x轴的另一个交点为(8,0)（1）求该二次函数的解析式；（2）作x轴的平行线，交L于A，B两点（点A在点B的左边），过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为点D，C当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求点A的坐标4.（18天府新区二诊）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，把抛物线 yx2先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y（xh）2+k，所得抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，顶点为 M；（1）写出 h
21、、k 的值以及点 A、B 的坐标；（2）点 P 是抛物线上一动点，连接 AP，以 AP 为一边作正方形 APFG，随着点 P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点 F 或 G 恰好落在 y 轴上时，请直接写出对应的点 P的坐标（不写过程）5.（17金牛一诊）如图，在正方形 OABC 中，OC4，点 D 为边 AB 的中点，分别以 OC、OA 所在直线为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，DECD，交 y 轴与点 E，连接 CE（1）求经过 O、C、D 三点的抛物线的表达式；（2）平移（l）中的抛物线，使抛物线的顶点 P 始终在直线 CD 上，平移后的抛物线与直线CD 的另一个交点为 Q
22、，点 M 在 y 轴，点 N 在平面直角坐标系中，当以 P、Q、M、N 四点为顶点的四边形是正方形时，求此时 M 点坐标第第 5 节节 二次函数矩形和正方形问题二次函数矩形和正方形问题目标层级图目标层级图课课中讲解中讲解一一.矩形的存在性问题矩形的存在性问题内容讲解内容讲解例题：抛物线223yxx=-与 x 轴交于A、B 两点，（点 A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 P 是对称轴上一点，点 Q 为平面内任意一点，是否存在以 A、C、P、Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点 Q 坐标，若不存在，说明理由。类比平行四边形存在性问题的解法，解决问题时仍考虑分两类情况：2定线段 AC
23、 为边定线段 AC 为对角线。由矩形的性质可知，矩形的四个角都是直角，结合这一特性，可以考虑使用“两线一圆”（参考直角三角形存在性问题）的构图方式，准确做出图形，然后依据图形特征设计方案求解。1.当 AC 为边时，利用“两线”构图方式准确确定点 P 位置，此时图形中出现“斜直角”，可考虑“改斜归正”，构造相似，利用相似三角形性质转换线段 OA、OC 长，得出点 P 坐标，进而利用平移得出点 Q 坐标；（这里还有其它解决办法，不再叙述，请思考）3.当 AC 为对角线时，利用“一圆”构图方式准确确定点 P 位置，图形之中仍有“斜直角”的存在，利用“改斜归正”的方法构造相似，结合相似三角形的性质，把
24、 A、C、P 三点坐标转化线段长并建立方程，然后解方程可得点 P 坐标，再次利用点的平移求出点 Q 坐标。矩形存在性问题的这种解决思路，方法比较简单，需要在平行四边形基础上利用“两线一圆”构图，然后设计求解方案。题型 1：固定一条边，设点坐标和固定一条边，设点坐标和 K 型相似列方程型相似列方程例 1如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(4,0)A，(2,0)B，(0,8)E（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A，点D同时以每秒 1 个单位的速度沿水平
25、方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒 2 个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由解：（1）点(4,0)A，点(2,0)B，点(0,8)E关于原点的对称点分别为(4,0)D，(2,0)C，(0,8)F设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxc a，则16404208abcabcc，解得168abc ，所以所求抛物线的解析式
26、是268yxx（2）由（1）可计算得点(3,1)M，(3,1)N过点N作NHAD，垂足为H当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt 根据中心对称的性质OAOD，OMON，所以四边形MDNA是平行四边形所以2ADNSS所以，四边形MDNA的面积2(82)(12)4148Stttt 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t 所以所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t（3）27814()44St，(04)t 所以74t 时，S有最大值814提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当AD
27、MN时四边形MDNA是矩形，所以ODON所以2222ODONOHNH，所以2420tt解之得162t，262t （舍)所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t 过关检测过关检测1.（2015成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线223(0)yaxaxa a与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线:l ykxb与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且4CDAC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在
28、抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由【解答】解：（1）令0y，则2230axaxa，解得11x ，23x 点A在点B的左侧，(1,0)A，如图 1，作DFx轴于F，/DFOC，OFCDOAAC，4CDAC，4OFCDOAAC，1OA，4OF，D点的横坐标为 4，代入223yaxaxa得，5ya，(4,5)Da，把A、D坐标代入ykxb得045kbkba，解得kaba，直线l的函数表达式为yaxa（2）如图 1，过点E作ENy轴于点N设点(E m，(1)(3)a mm，11AEyk xb，则1111(1)(3)0a mmmkbkb，解得
29、：11(3)(3)ka mba m，(3)(3)AEya mxa m，(0M，(3)a m(3)MCa ma，NEm2111325(3)(3)(1)(3)()222228ACEACMCEMaSSSa maa ma mma mama，有最大值25584a，25a；（3）令223axaxaaxa，即2340axaxa，解得11x ，24x，(4,5)Da，223yaxaxa，抛物线的对称轴为1x，设1(1,)Pm，若AD是矩形的一条边，由/AQDP知DPAQxxxx，可知Q点横坐标为4，将4x 代入抛物线方程得(4,21)Qa，21526DQmyyaaa，则(1,26)Pa，四边形ADPQ为矩形，
30、90ADP，222ADPDAP，222224(1)(5)5(5)ADaa，22222(14)(265)3(21)PDaaa，2222224(1)(5)(14)(265)(1 1)(26)aaaa ，即217a，0a，77a，126 7(1,)7P若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为3(2，5)2a，(2,3)Qa，5(3)8maaa，则(1,8)Pa，四边形AQDP为矩形，90APD，222APPDAD，222221(1)(8)2(8)APaa，22222(4 1)(85)3(3)PDaaa，222224(1)(5)5(5)ADaa，2222222(8)3(3)5(5)aaa，解得
31、214a，0a，12a，2(1,4)P综上可得，P点的坐标为1(1,4)P，226 7(1,)7P2.（2018 锦江区一诊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212yxbxc=+的图象与 x 轴交于点 A（2，0）、B（4，0），与 y 轴交于点 D（1）求抛物线的解析式；（2）连接 BD，点 P 在抛物线的对称轴上，以 Q 为平面内一点，以点 P、B、D、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由；【解答】解：（1）由题意220840bcbc，解得14bc，抛物线的解析式为2142yxx（2）如图 1 中，当BD为矩形的边时，直线BD的解析式为4yx ，直
32、线BP的解析式为4yx，直线DP的解析式为4yx，可得(1,3)P，(1,5)P 当BD为矩形的对角线时，设(1,)Pm，BD的中点(2,2)N，由BNP N，可得2221(2)(2 2)m，解得27m 或27，(1,27)P ，或(127)，要使四边形PBQD能成为矩形，满足条件的点P坐标为(1,27)或(127)综上所述，满足条件的P的坐标为(1,3)或(1,5)或(1,27)或(127)（3）设21(,4)2M mmm，设直线AM的解析式为ykxb，则有214220mkbmmkb，解得424mkbm，直线AM的解析式为442myxm，(0,4)Cm点M在第二象限显然不可能，当点M在第三象
33、限时，如图 2 中，作MNOB于NMBNBCO，90MNBBOC，MNBBOC，MNBNOBOC，2144244mmmm，2m 或 0(2,4)M或(0,4)（舍弃）当点M在y轴上时，可得(0,4)M；当点M在第一象限时，同法可得2144244mmmm，整理得：22160mm，117m 或117（舍弃），(117M，4)，当点M在第四象限时，不存在，综上所述，满足条件的点M坐标(2,4)或(0,4)或(117，4)题型 2：固定一个点，其他两个点或者三个点有限制条件固定一个点，其他两个点或者三个点有限制条件例 2.（2020武侯区模拟）已知抛物线214yxbxc 经过点(4,3)A，顶点为B，
34、对称轴是直线2x（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；（2）如图 1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作ADx轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；()i若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分，求点E的坐标；()ii如图 2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线214yxbxc 经过点(4,3)A，对称轴是直线2x，214434212()4bcb，解得：13bc，抛物线的函数表达式为：2134yxx，22113(2)444y
35、xxx ，顶点B的坐标为(2,4)；（2）21()34iyxx，0 x时，3y，则C点的坐标为(0,3)，(4,3)A，/ACOD，ADx，四边形ACOD是矩形，设点E的坐标为(,3)m，直线BE的函数表达式为：ykxn，直线BE交x轴于点M，如图 1 所示：则243knmkn，解得：12462kmmnm，直线BE的函数表达式为：14622myxmm，令146022myxmm，则46xm，点M的坐标为(46,0)m，直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分，点M在线段OD上，点M不与点O重合，(0,3)C，(4,3)A，(46,0)Mm，(,3)E m，3OC，4AC，46OMm，C
36、Em，3 412ACODSOC AC 矩形，111518463222ECOMmSOMECOCmm梯形，分两种情况：14ECOMACODSS梯形矩形，即151812124m，解得：85m，点E的坐标为：8(5，3)；34ECOMACODSS梯形矩形，即151832124m，解得：125m，点E的坐标为：12(5，3)；综上所述，点E的坐标为：8(5，3)或12(5，3)；()ii存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，过点F作FNAC于N，则/NFCG，如图 2 所示：设点F的坐标为：21(,3)4aaa，则22113(3)44N
37、Faaaa，NCa，四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，90DAEDEFN ，EFDG，/EFDG，/ACOD，NEFODG，EMCDGO，/NFCG，EMCEFN，EFNDGO，在EFN和DGO中，NEFODGEFDGEFNDGO ，()EFNDGO ASA，4NEODAC，ACCENECE，即AENCa，90DAEDEFN ，90NEFEFN，90NEFDEA，EFNDEA，ENFDAE，NENFADAE，即21443aaa，整理得：2304aa，解得：43a 或 0，当0a 时，点E与点A重合，0a舍去，43AENCa ，当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为43
38、过关检测过关检测1.已知：直线26yx与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线2yxbxc 经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点（1）求抛物线的解析式及B的坐标；（2）在（1）的条件下，直线12yxa与抛物线交于M、N两点，问：平面内是否存在一点Q，使得以O、M、N、Q四点构成的四边形是以MN为对角线的矩形，若存在，求a的值；若不存在，请说明理由2.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0,4)、(1,0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形A B OC（1）若抛物线经过点C、A、A，求此抛物线的解析式；（2）在（1）的情况下，点M是第一象
39、限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）在（1）的情况下，若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1,0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标解：（1）平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形A B OC，且点A的坐标是(0,4)，点A的坐标为：(4,0)，点A、C的坐标分别是(0,4)、(1,0)，抛物线经过点C、A、A，设抛物线的解析式为：2yaxbxc，041640abccabc，解得：134abc，此抛物线的解析式为：234yxx；（2）连接AA
40、，设直线AA的解析式为：ykxb，440bkb，解得：14kb，直线AA的解析式为：4yx ，设点M的坐标为：2(,34)xxx，则22214 34(4)282(2)82AMASxxxxxx ，当2x 时，AMA的面积最大，最大值8AMAS，M的坐标为：(2,6)；方法二：过M点做x轴垂线和AA交于一点(,4)E xx，把AMA分成两个共底三角形，然后以ME为底，可以得出ME的长就是M点纵坐标减去E点纵坐标，即题目当中的234(4)xxx ，另外两个三角形的高之和就等于 4，这是一种面积问题的常用方法（3）设点P的坐标为2(,34)xxx，当P，N，B，Q构成平行四边形时，平行四边形ABOC中
41、，点A、C的坐标分别是(0,4)、(1,0)，点B的坐标为(1,4)，点Q坐标为(1,0)，P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，当BQ为边时，/PNBQ，PNBQ，4BQ，2344xx，当2344xx时，解得：10 x，23x，1(0,4)P，2(3,4)P；当2344xx 时，解得：33412x，43412x，3341(2P，4)，4341(2P，4)；当BQ为对角线时，/BPQN，BPQN，此时P与1P，2P重合；综上可得：点P的坐标为：1(0,4)P，2(3,4)P，3341(2P，4)，4341(2P，4)；如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：(0,0)或(3,0)声
42、明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/12/10 15:53:37；用户：18215595478；邮箱：18215595478；学号：28029671题型 3：矩形相关的代数问题矩形相关的代数问题例 1（2019 青羊区二诊）如图，抛物线2yxbxc 与x轴交于(7,0)A，(1,0)B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，顶点坐标为M（1）求抛物线的表达式和顶点M的坐标；（2）如图 1，点(,)E x y为抛物线上一点，点E不与点M重合，当72x 时，过点E作/EFx轴，交抛物线的对称轴于点F，作EHx轴与点H，得到矩形EHDF，求矩形EHD
43、F的周长的最大值；解：（1）抛物线x轴交于(7,0)A，(1,0)B两点22(7)(1)67(3)16yxxxxx 抛物线表达式为：267yxx，顶点M坐标(3,16)（2）点(,)E x y为抛物线上一点，且72x 267EHyxx 对称轴为直线3x ，/EFx轴(3,)Fy|3|EFx 当73x 时，E在F左边，3EFx 22765223672()22EHDFCEFEHxxxx 矩形当72x 时，最大值652C 当32x 时，E在F右边，3EFx22565223672()22EHDFCEFEHxxxx 矩形当52x 时，最大值652C 综上所述，矩形EHDF周长的最大值是652（3）存在满
44、足条件的点P若90PAC，则PAAC点(7,0)A，(0,7)C直线AC解析式为：7yx直线PA解析式为：7yx 当3x 时，374y (3,4)P若90PCA，则PCAC直线PC解析式为：7yx 当3x 时，3710y(3,10)P若90APC，取AC中点G，连接PG7 7(,)2 2G，22117 2222PGACOAOC设(3,)Pm2222777 2(3)()()222PGm 解得：17972m，27972m797(3,)2P或797(3,)2综上所述，使以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形的点P坐标有(3,4)，(3,10)，797(3,)2，797(3,)2过关检测过关检测1.
45、如图 1，在平面直角坐标系xoy中，直线l：34yxm与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,1)，抛物线212yxbxc经过点B，且与直线l的另一个交点为(4,)Cn（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(04)t/DEy轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图 2）若矩形DFEG的周长为，求p与t的函数关系式以及p的最大值.解：（1）直线3:4l yxm经过点(0,1)B，1m，直线l的解析式为314yx，直线3:14l yx经过点(4,)Cn，34124n，抛物线212yxbxc经过点(4,2)C和点(0,1)B，2144221bcc，
46、解得541bc ，抛物线的解析式为215124yxx；（2）令0y，则3104x ，解得43x，点A的坐标为4(3，0)，43OA，在Rt OAB中，1OB，222245()133ABOAOB，/DEy轴，ABODEF，在矩形DFEG中，3cos5OBEFDEDEFDEDEAB，4sin5OADFDEDEFDEDEAB，43142()2()555pDFEFDEDE，点D的横坐标为(04)tt，215(,1)24D ttt，3(,1)4E tt，223151(1)(1)24242DEttttt，22141728(2)5255ptttt ，2728(2)55pt，且705，当2t 时，p有最大值2
47、85；学习任务学习任务1.如图，已知点A(2,0)、B(1,0)，C是y轴的负半轴上一点，且OAOC，抛物线经过A、B、C三点（1）此抛物线的关系式抛物线解析式：22yxx（2）P是对称轴右侧的抛物线上一点，Q是平面内一点，是否存在这样的点P、Q使以B、C、P、Q所构成的四边形是以BC为边的矩形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（1）解：(2,0)A、(1,0)B，又2OAOC，即(0,2)C设抛物线关系式为(2)(1)ya xx，解得：1a，2(2)(1)2yxxxx（2）在对称轴右侧的抛物线上是存在点P，使PBC为直角三角形，理由如下：（如图1)(0,2)C，(
48、1,0)B，直线BC的关系式为22yx 当90PBC时，PBBC，设直线PB为12yxb，(1,0)B，12b，即1122yx，解方程211222xxx得11x （舍去），252x 15(2P，7)4当90PCB时，PCBC，设直线PC为112yxb(0,2)C，12b 即122yx解方程21222xxx得10 x（舍去），232x 23(2P，5)4以BC为直径画圆，与抛物线没有交点，BPC不可能为直角，综上所述，存在15(2P，7)4、23(2P，5)4使得PAC为直角三角形（3）解：（如图2)当QBDOBC 时，又90QDBBOC QDBCOB，此时，QB与与BA重合，即1(2,0)Q当
49、QBDOCB 时，又90QDBBOC QDBCOB，设BQ交y轴于点F，QBDOCB，BFCF，设CFBFm，则222(2)1mm54m，34OF3(0,)4F直线BF的表达式为3344yx，解方程233244xxx得，54x或1（舍去），2335(,)416Q当点Q在第一象限，BQDOCB 时，同法可得314(5Q，76)25综上所述，共有 3 个Q点符合题意，分别为1(2,0)Q，2335(,)416Q，314(5Q，76)252.如图 1，已知直线l，22yx分别与x轴、y轴交于点A、B两点，C为l在一象限内的一点，且2 5AC，抛物线28yaxbx过A、C两点，且与x轴的另一交点为D（
50、1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，若抛物线28yaxbx的顶点为E，P为直线AC上的一动点，当|PDPE值最大时，求此时点P的坐标及|PDPE的最大值；（3）如图 3，若点M为x轴上一点，点N为平面内一点，且满足以点B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N的坐标【解答】解：（1）设C点坐标为(,22)mm，当0y 时，220 x，解得1x，即(1,0)A，由2 5AC，得222(1)(22)(2 5)mm，解得3m，1m （舍)，224m，即(3,4)C，将A，C点坐标代入函数解析式，得938480abab，解得210ab，抛物线的解析式为22108yxx；（2）配方，得2592