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1、高二数学周练 2 第 1页(共 4页)2023-2024 学年第二学期第一次调研考试高二数学学年第二学期第一次调研考试高二数学2024.4.8注意事项：注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设等差数列an的前 n 项和为 Sn若 a2a12，S5S49，则 a50()A.99B.101C.2500D.92
2、5452在四面体 OABC 中，OAa，OBb，OCc，点 M 在 OA 上，且 OM2MA，N 为 BC中点，则MN()A.12a23b12cB.23a23b12cC.12a12b12cD.23a12b12c3若(x12)n的展开式中第 3 项的二项式系数是 15，则展开式中所有项系数之和为()A.164B.1128C.164D.1324直线 y5xb 是曲线 yx32x1 的一条切线，则实数 b()A.1 或 1B.1 或 3C.1D.35(x1x2)4展开式中的常数项为()A.70B.70C.16D.646在四棱锥 PABCD 中，AB(2，1，3)，AD(2，1，0)，AP(3，1，4
3、)，则该四棱锥的高为()#QQABDQgEogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#江苏省南京市六校联合体学校江苏省南京市六校联合体学校2023-2024学年高二下学期四月联考数学试卷学年高二下学期四月联考数学试卷高二数学周练 2 第 2页(共 4页)A.2 55B.15C.25D.557数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 3 门，大一到大三三学年必
4、须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有()A.144 种B.84 种C.78 种D.60 种8已知 ae0.41，b0.42ln1.2，c0.2，则 a，b，c 的大小关系为()A.abcB.acbC.bacD.cba二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0 分9已知 f(x)x2xln x2，g(x)f(x)ex，则()A.函数 f(x)在14，1上的最大值为 3B.x0，f(x)2C.函数 g(x)在(3，4)上没有零点D.函数 g(x)的极值点有 2 个10
5、在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列 1，2 进行构造，第一次得到数列 1，3，2；第二次得到数列 1，4，3，5，2；第 n(nN*)次得到数列 1，x1，x2，x3，xk，2，记 an1x1x2x3xk2，数列an的前 n 项和为 Sn，则()A.a4123B.k12nC.an32(n23n)D.Sn34(3n12n3)11在正四棱锥 PABCD 中，AB 2，PA 3，点 Q 满足PQPAABAD，其中0，1，0，1，则下列结论正确的有()A.|PQ|的最小值是 2B.当1 时，三棱锥 PADQ 的体积为定值#QQABDQg
6、EogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#高二数学周练 2 第 3页(共 4页)C.当时，PB 与 PQ 所成角可能为3D.当1 时，AB 与平面 PAQ 所成角正弦值的最大值为306.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12在(1x)(1x)2(1x)3(1x)10的展开式中，含 x3项的系数为_.(用数字作答)13 椭圆x2my2n1 的焦点在 y 轴上，离心率大于22，且 m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7,8,9，则满足题意的椭圆的个数为_.14设函数 f(x)e2xa，g(x)exx，若存在 x1
7、，x2，x20241，1，使得i=12023f(xi)g(x2024)i=12023g(xi)f(x2024)成立，则实数 a 的最大值为_.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本小题满分 13 分)已知空间中三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 aAB，bAC(1)若|c|6，且 cBC，求向量 c；(2)已知向量 kab 与 b 互相垂直，求 k 的值；(3)若点 P(1，1，m)在平面 ABC 上，求 m 的值16(本小题满分 15 分)设(3x1)9a0a1xa2x2a3x3a9x9(1)求 a12a23a39
8、a9的值；(用数字用数字作作答答)(2)若(3x1)9b0b1(x1)b2(x1)2b3(x1)3b9(x1)9，试求下列的值b1b2b3b9(用数字用数字作作答答)2b14b28b329b9(用数字用数字作作答答)#QQABDQgEogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#高二数学周练 2 第 4页(共 4页)17(本小题满分 15 分)已知数列an的前 n 项和 Sn满足 2Snan3(1)求an的通项公式；(2)设数列bn满足 bn(n1)an，记数列bn的前 n 项和为 Tn，若存在 nN*使得Tn154an成立，求的取值范围18(本小题
9、满分 17 分)如图 1，ABC 是边长为 3 的等边三角形，点 D，E 分别在线段 AC，AB 上，AE1，AD2，沿 DE 将ADE 折起到PDE 的位置，使得 PB 5，如图2.(1)求证：平面 PDE平面 BCDE；(2)若点 F 在线段 BC 上，且直线 DF 与平面 PCD 所成角的正弦值为217，求 BF；(3)在线段 PC 上是否存在点 M，使得 DM平面 PBE，若存在，求出PMPC的值；若不存在，请说明理由.19(本小题满分 17 分)已知函数 f(x)lnx(xa)2，a 为常数.(1)若 a0，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 f(x)在(0，a)上单调递增，求实数
10、 a 的取值范围；(3)若 a1，设函数 f(x)在(0，1)上的极值点为 x0，求证：f(x0)2.#QQABDQgEogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2023-20242023-2024 学年第二学期第一次调研考试学年第二学期第一次调研考试高二数学高二数学答题卡答题卡请在各题目的答题
11、区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16.（15 分）17.（15 分）一一、单选题单选题（共共 40 分分）二二、多选题多选题（共共 18 分分）1592610371148三、三、填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.13.14.四、解答题（共四、解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程及演算步骤）分，解答题应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15、（13 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！姓姓名：名：_准考证号准考证号：贴条形码区考生禁填：缺考标记以上标志由监考人员用 2B 铅笔铅笔填涂选择题填涂样例：
12、正确填涂错误填涂1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。注意事项#QQABDQgEogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区
13、域的答案无效！18.（17 分）19.（17 分）此区域不能答题请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！#QQABDQgEogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#高二数学周练 2 第 1页(共 5页)2023-2024 学学年年第第二二学学期期第第一一次次调调研研考考试试高高二二数数学学答答案案一、选择题：本题共 8 小题，每小题
14、5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 A2 D3 C4 B5A6D7C8B12 33二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0 分9 AC10 ABD 11 AD三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分013 1614e2e12022四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本小题满分 13 分)(1)解：BC(2，1，2)，设 cBC，则|c|3，而|BC|3，所以2；故 c(4
15、，2，4)或 c(4，2，4)4 分(2)解：aAB(1，1，0)，bAC(1，0，2)，ab1，由 kab 与 b 互相垂直得：(kab)b0,k58 分(3)解：点 P(1，1，m)在平面 ABC 上，APABAC，(1，1，m2)(1，1，0)(1，0，2)，解得：m213 分16(本小题满分 15 分)解：(1)对式子(3x1)9a0a1xa2x2a3x3a9x9两边求导得：27(3x1)8a1a2xa3x2a9x8，令 x1 可得 a12a23a39a9272869127 分(2)令 x1 可得 b049，令 x0 可得 b0b1b2b3b91，所以 b1b2b3b949126214
16、311 分令 x1 可得 b02b14b28b329b929，b049，所以 2b14b28b329b929495125122512262144262656.15 分注：没没有有用用数数字字作作答答，每每个个结结果果扣扣 1 分分17(本小题满分 15 分)#QQABDQgEogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#高二数学周练 2 第 2页(共 5页)解：(1)2Snan3，当 n1 时，a11，当 n2 时，2Snan3，2Sn1an13，两式相减得：3anan1(n2)，anan113(n2)为非零定值，a11，即an是以 1 为首项，公比
17、q13的等比数列，an(13)n1；5 分(2)bn(n1)an(n1)(13)n1，所以 Tn2(13)03(13)4(13)25(13)3(n1)(13)n1，13Tn2(13)3(13)24(13)35(13)4n(13)n1(n1)(13)n，两式相减：(113)Tn213(13)2(13)3(13)4(13)n1(n1)(13)n，Tn154(32n154)(13)n11 分由 Tn154an得，(12n54)，即存在 nN*使(12n54)成立，随着 n 增大，(12n54)在减小，当 n1 时，74，故求的取值范围是(，74.15 分18(本小题满分 17 分)解：(1)在PDE
18、 中，PE1，PD2，EPD60，由余弦定理得 DE2PE2PD22PEPDcos60 3，所以 PE2DE2PD2，所以 DEPE2 分在PBE 中，PE1，BE2，PB 5，所以 PE2BE2PB2，所以 BEPE4 分又因为BEDEE，BE、DE 平面 BCDE，所以 PE平面 BCDE，又PE 平面 PDE，所以平面 PDE平面 BCDE6 分#QQABDQgEogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#高二数学周练 2 第 3页(共 5页)(2)由(1)可知 EB，ED，EP 两两互相垂直，以 E 为原点，EB，ED，EP 所在直线分别为
19、 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，3，0)，B(2，0，0)，P(0，0，1)，C(12，3 32，0)8 分所以PC(12，3 32，1)，DC(12，32，0)，设平面 PCD 的法向量为 n(x，y，z)，则nPC0，nDC0令 y1，得 n(3，1，3)10 分设BFBC(01)，则DFDBBFDBBC(232，33 32，0).因为直线 DF 与平面 PCD 所成角的正弦值为217，所以|cos|217，即|3(232)(33 32)|7|DF|217，解得23，即 BF2 13 分(3)设PMPC(01)，DMDPPMDPPC(12，33 32，1).平面
20、 PBE 的法向量 n(0，1，0)，由 nDM0 得，23，此时PMPC23。17 分19(本小题满分 17 分)已知函数 f(x)lnx(xa)2中 a 为常数.(1)若 a0，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 f(x)在(0，a)上单调递增，求实数 a 的取值范围；#QQABDQgEogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#高二数学周练 2 第 4页(共 5页)(3)若 a1，设函数 f(x)在(0，1)上的极值点为 x0，求证：f(x)2.解：(1)当 a0 时，f(x)lnxx2，定义域为(0，)，f(x)12lnxx3，令 f(x
21、)0，得 x ex(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值12e当 x e时，f(x)的极大值为12e，无极小值.3 分(2)f(x)1ax2lnx(xa)3，由题意 f(x)0 对 x(0，a)恒成立.x(0，a)，(xa)30，1ax2lnx0 对 x(0，a)恒成立.a2xlnxx 对 x(0，a)恒成立.令 g(x)2xlnxx，x(0，a)，则 g(x)2lnx1，若 0a1e，则 g(x)2lnx10 对 x(0，a)恒成立，g(x)2xlnxx 在(0，a)上单调递减，则 a2(a)ln(a)(a)，ln(a)0，a1 与 a1e矛盾，舍去；若a1e，令 g(x)2lnx10
22、，得 x1e，当 0 x1e时，g(x)2lnx10，g(x)2xlnxx 单调递减，当1exa 时，g(x)2lnx10，g(x)2xlnxx 单调递增，当 x1e时，g(x)的最小值 g(1e)21e，a21e综上，实数 a 的取值范围为(，21e。9 分(3)当 a1 时，f(x)lnx(x1)2，f(x)x12xlnxx(x1)3，令 h(x)x12xlnx，x(0，1)，则 h(x)12lnx，令 h(x)0，得 x1e，#QQABDQgEogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#高二数学周练 2 第 5页(共 5页)当1ex1 时，h
23、(x)0，h(x)x12xlnx 单调递减，h(x)(0，21e1f(x)x12xlnxx(x1)30 恒成立，f(x)lnx(x1)2单调递减，且 f(x)f(1e)当 0 x1e时，h(x)0，h(x)x12xlnx 单调递增，h(12)ln4e0,又 h(e2)e212 e2ln(e2)5e210，存在唯一 x0(e2，12)，使得 h(x0)0，f(x0)0，当 0 xx0时，f(x)0，f(x)lnx(x1)2单调递增，当 x0 x1e时，f(x)0，f(x)lnx(x1)2单调递减，且 f(x)f(1e)，由和可知，f(x)lnx(x1)2在(0，x0)单调递增，在(x0，1)上单调递减，当 xx0时，f(x)lnx(x1)2取极大值.h(x0)x012x0lnx00，lnx0 x01x0，f(x0)lnx0(x01)212x0(x01)12(x012)212，又 x0(0，1e)，所以 2(x012)212(12，0)，f(x0)12(x012)212217 分#QQABDQgEogCAAJAAARhCAQXQCkMQkBCCAAoGgBAMMAAByAFABAA=#