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1、第一章习题答案1 .设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 o试计算累积函数a(t)和第n个时段的利息In。解：把 t = 0 代入得 A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(O)= (t2 + 2t + 3) /3In = A(n) - A(n - 1)= (n2 + 2n + 3) -(n - 1)2 + 2(n - 1) + 3)= 2n + 12 .对以下两种情况计算从t时刻到n(t n)时刻的利息：(l)Ir(O rn); (2)Ir = 2r(0 rn). 解：I = A(n) A = If+ H-It+1=n(n+ l)/2-t(t+ 1)/2I = A(n)
2、-A(t) = 人=2,?+1 -2t+, k=t+l3 .已知累积函数的形式为：a(D = at- + b。若o时刻投入的100元累积到3时刻为172元，试计算：5时 刻投入的100元在10时刻的终值。解:由题意得 a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72= a = 0.08, b = 1 /. A(5) = 100A(10) = A(0) - a(10) = A(5) - a(10)/a(5)= 100 X 3 = 300.4 .分别对以下两种总量函数计算i5和ilO:(l)A= 100 + 5t;人 =10(1 +I).解：(l)i5 =(A(5) - A(4)/A
3、(4)=5120 4.17%i 10 =(A( 10) - A(9)/A(9)=51453.45%i5 =(A(5) - A(4)/A(4)100(1 + 0.1)5-100(1 + 0.1)4=10%100(1 + 0.1)4i10 = (A (10)-A(9)/A(9)= 10。+ 0尸10。(： + Si = 10%10 v 7)100(1 + 0.1)9.A(4)= 1000, i“= O.Oln5 .设 l /n.试计算A(7) o解:Af7) = A(4)(l+i5)(l+i6)(l+i7)= 1000 X 1.05 X 1.06 X 1.07= 1190.916 .试计算500元
4、经过两年半的累积达到615元的对应年单利率？另外，500元以单利率7.8%累积多少时间可以达到630元？解：设年单利率为I500(1 + 2.5i) = 615解得i = 9.2%设500元需要累积t年 500(1 +t X 7.8%) = 630解得t = 3年4个月7 .已知单利率为4% ,问：经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5% ?解：设经过t年后，年利率达到2.5% 1 + 4%xt= (1 + 2.5%)t t心36.3678 .已知：(1 + i)5 = X,(l + i)2 = Y.求(1 + i)ll.解:(1 +i)ll =(1 +i)5+2*3 = XY39 .已知6
5、00元投资两年将产生利息264元(复利方式)，问：2000元以同样的实利率投资3年的终值.解：设实利率为 i 600(1 +i)2- 1 = 264 解得 i = 20% /. A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元10 .已知：第n年底的一个货币单位与第2年底的一个货币单位的现值之和为一个货币单位。计算(1 + i)2n. 解：设实利率为i+_ 小V5 -12 _ 3+ 6(1 + iy1(1 + i)2n秋包2 的 2 ) 2v 7 v 7解得(l+i)-n=乙 所以(l+i)2n= 乙乙解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单
6、位。解:PV=-54/(1 +024 -128| 一4(1 +027(1 +04-1 3+小33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%,求R的表达式。750 750+ 7： =(30i解：设年实利率为i,则(1+2%)2= 1+i。有题意得1 邑0溷解得R= 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。1125解：由题意知91解得i = 20%35 .已知：1元永久期初年金的现值为20,它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。20 =- = 解：由题意得21/ 解得 R = 1.
7、9536 .已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。解：设贴现率为d,则2(1一”厂设递延时间为3由题意得In 20 + ln(l (1 d/)10000 = 2x500K8】解得ln(l d)37.计算:3点)=2喘=45*),计算j。3x 而 4小=2x-ani= 45x-1z解：111 解得:308t =39 .已知：1+,。求“川的表达式。解：“小J 4义 dt = ln(l +n)40.已知一年内的连续年金函数为常数1,计算时刻t, 金的现值相等。使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年解：第一种年金的现值为l-e-s3 第二种年金的现
8、值为泮,则 -St .1t = 1所以41 .已知：5 =0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。解：设季度实利率为八因四则.a +。所以*啊二恤+074030.5342.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该 基金可以维持多少时间？ 解：设年实利率为i,则 = 一一1设基金可维持t年，由两现值相等得4 一 240%，解得t = 28 43.已知某永久期末年金的金额为：1, 3, 5,。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金 的现值。解：由题意：(1 + M HPV = v+ 3v2+ (
9、2-l)u+?= vl +PV+ 2(v + v2+ )V解得:PV = 66= v(l +PV+2) 1-v44.给出现值表达式4为l+ 3(“)可所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次 100元，然后每次减少3元。25行+ 3()。)西解：年金序列：A+nB,A+(nl)B,八+ 286+ 8所求为 25125121 45.某期末年金(半年一次)为：800, 750, 700, ，350。已知半年结算名利率为16%。若记： 10|8% , 试用A表示这个年金的现值。解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有:30，8%+ 500。%8%=300
10、4 +2x(10-71)；(2)=6250-325A47.推。100证明其现值为：4Vi-vd解:把年金分解成:从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金.。从而1= 100v4-v4F= 100v2 i- vd已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类48.十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。16006z-(Z(4)6z)-(4)证明其现值为：10111元证：首先把一年四次的付款折到年初：冽=4,1，R=100疗=1600从而每年初当年的年金现值:。“斓元再
11、贴现到开始时I/”斓元49.从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3%,年利率8%,计算现值。y J=(1 + 8% 上一1 = 3.923%解：半年的实利率：JV f1.03L03217 + 1 +j(1 +J)2=。-惇=112.5950.某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为:6000/跑证：首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12,n = 9/12,R=500m = 6000从而每年初当年的年金现值:6000黑 6000念。球9/121贝占现至I当前：4| 9/12|51.现有如下的永久年金：第一个k年每年底还；第
12、二个k年每年底还2R ；第三个k年每年底还3R；依此 类推。给出现值表达式。解:把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n = 0, 1,2, ):每个年金的值为“益在分散在每个k年的区段里：再按标准永久年金求现值：“R V52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值,20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金:1, 2,3, 的现值。计算贴现率。解：由题意：x=l-Lii + ii i i2X=+Td= = 0.047621 1 U + “解得：i = 0.05 即：1 + 153.四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4 = 0.75,计算现值。与原答案有出入PV
13、=1 + 6v4+ 11v9+=(5- 4)u(4-4)=解：(期初年金)/=,()2+ =64(期末年金)户V = u+ 6v5+ llv10+t. =y.PV= 59.558754.永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t,年利率i,如果：0ki ,计算该年金现值。解：由于。 k i,故下列广义积分收敛：与原答案有出入pv=(i +kye-6tdt = (-ydt = 1 +iln(l +z)-ln(l +k)59.计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%,后n年年利率11%,17% = 34, % “% = 128.(1 + 0.11)= 0.11-1110/+ 1
14、解：由川的表达式有：川11%AV = 5- x(l + O.lir+5-10/=S-ho/ X (0.1 IS-； o/ + 1) + Sh 10/川 7%n1%7川 11%=640.7260.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每年底每股分得红利0.40 元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入 和股票出售的收入进行投资。B股票在前10年没有红利收入，从第U年底开始每年每股分得红利0.80元，如 果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同, 分
15、别对n = 15,20两种情况计算乙的股票出售价格。QAs- + 2 = 0.8s0/+X(1 + 0.06尸7)解：设X为买价，有价值方程：也6%-1016%从而有:X= (0.4s- 0/_ + 2-0.85 0/)(1 + 0.06严)I0|6%n-6/o解得：X=5.22 n= 152.48 n = 2061.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半年结算名利率8%结算利 息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日 要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基
16、金的余额。-12000(1 + 4%)= 109926.021，4%sAV= 100000(1 +4% )2 +5000解：由题意：与14%62 .已知贷款L经过N (偶数)次、每次K元还清，利率i。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为 K1,试比较K1与2K的大小。2KKia- = Ka2-=叫=K1+一!一nit,巾1匚 /|*m解：由题意：U十63 .已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i。如果将每次的还款额增加一倍，比较新的还款次数与N/2 的大小。1 NV2即：M aMi aNi解：由题意：,第三章习题答案1已知某投资的内部回报率为r ,且在该投资中CO = 3000元，C1
17、= 1000元，R2 = 2000元和R3 = 4000元。 计算。解：令 v=U+r,由 P(r) = O 有 CO + CW -R2V2- R3V3 = 0 代入数据，解得：v % 0.8453A r= 18.30%2十年期投资项目的初期投入100, 000元，随后每年年初需要一笔维持费用：第一年3000元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年末30,000元，以后逐年递减4%，计算R6。解：由 i = 6%,j = 4% R6 = 30000(1 - j)5 - 3000(1 + i)5= 30000 X 0.965 - 3000 X 1.065= 20446.60 元3已知以
18、下投资方式：当前投入7000元，第二年底投入1000元；回报为：第一年底4000元，第三年底5500 元。计算：P(0.09)和 P(0.10) o解：净现值 P为：P(i) = -7000 +4000(1 +i)-l- 1000(1 +i)-2 +5500(1 + i)-3P(0.09) = 75.05 元P(0.10) = -57.85 元4计算满足以下条件的两种收益率的差：当前的100元加上两年后的108.15元，可以在第一年底收回208元。 解:设收益率为i ,其满足:-100 + 208v-108.15v2 = 0解得i = 2.03%或6.03%两种收益率的差为4.00%5每年初存
19、款，第10年底余额为1000元，存款利率4% ,每年的利息收入以4%的利率进行再投资。给出 每年存款金额的表达式。解：以第10年底为比较日，有以下的方程10R + 4%R(Is)10p3%= 1000解得R=100010 + 4%(Is)10p3%6现在10000元贷款计划在20年内分年度还清，每年还款1000元。如果贷款方可以将每年的还款以年利率 5%进行投资。计算贷款方的实际年收益率。解：设年收益率为i ,有1000 a20P5%1v20= 10000解得i 6.16%7某投资者购买了如下的五年期金融产品：(1)每年底得到1000元；(2)每年的收入可以按年利率4%投资且 当年收回利息。如
20、果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资，实际年收益率为4%。计算购买价格。 解:设购买价格为 P，有 P(1+i)5= 1000 X 5 + 1000 i (Is)4p3%P x 1.045 = 5000+ 40(Is)4p3%p = 4448.42 元8某投资者连续五年每年期末向基金存款1000元，年利率5% o同时，利息收入可以以年利率4%投资。给 出第十年底的累积余额表达式。解：对现金流进行拆分，第10年底的余额为：P= 1000 X 5 + 5% X 1000 (Is)10p4%-5% X 1000 (Is)5p4%=5000 + 50 - sllp- 114%- 50 - s6
21、p - 64%= 5000 + 50 X 62.159-50 X 15.824= 7316.73 元9甲将2000元投资10年，年利率17% ,利息每年支付，利息的再投资利率为11% ,第10年底的累积利 息为5685.48元；乙在20年内，每年底投资150元，年利率14% ,而且利息以11%的年利率再投资。计算 乙在20年底的累积利息收入。解:PA = 2000 X 17% X s9pll% PB= 150 X 14% X (Is)19pll%由 PA = 5685.48解得(1 + 11 %) 10 = 2.83942 带入 PB 计算得 PB = 8438.71 元另解:PB=150 X
22、 14% X (Is)19pll%直接计算得 PB = 8438.71 元10某人以100000元购得一块土地，每年需交资产税1500元。十年后以260000元卖出，同时交纳8%的销售 税。计算年收益率。解:由净现值公式有 P=-100000- 1500al0pi-+ 260000 X (1 -8%) X (1 +i)-10 = 0 解得：i弋8.075%11 50000元投资，可以在今后六年内每年得税后收入18000元。计算：1) 15%的净现值；2)收益率。解:由净现值公式有 P=-50000+ 18000a6P15% P(15%) = 18120.69 元(2)P =0 解得:i 弋 2
23、7.698% 12某人拥有10000元按月以i(12) = 6%支付利息的债券，其在得到每月的利息后，立即以i(12) = 12%存入 银行，计算其账户在第12次、24次和36次存款后的余额。并对以上三种情况计算其每年平均的i(12) o 解：第n次存款后的余额为P(n)= 10000+ 10000 X i(12)12X s(12)np每年的平均i(12)满足 10000 X (1+i(12)12)n = P(n)把 n= 12,24,36 代入得至U P(12) = 10634.16 , i(12) = 6.16%P(24) = 11348.67 , i(24) = 6.34%P(36) =
24、 12153.84 , i(36) = 6.52%13某基金的年初金额为500000元，年底余额为680000元。投资收入为60000元，投资成本为5000元。用 资本加权法计算年实际收益率。解：由题意，A = 500000, B = 680000 所以，I = 60000 - 5000 = 55000i=2I / A+B-I= 9.78%14某基金的年利率4%,年初余额1000元，如果在第三个月底存入200元，第9个月底取款300元假定 利率按单利计算，计算年底的余额。解：P= 1000 X (1 +0 + 200 X (1 +34i)-300 X (1 +I4i)= 1000 X 1.04
25、 + 200 X 1.03-300 X 1.01=943 15假定：l-tit = (l-t)i,给出1-tiO的表达式；2)假定：l-tiO = ti ,给出l-tit的表达式。解:在考虑福利的前提下有(1 + ti0)(l +1-tit) = 1 + i(1)由 l-tit = (1 - t)i W i 10 =(1 + i) - 1 - (1 - t)il + (1 - t)i=til +(1 -t)i(2)由 itO = ti 得 1-tit =(1 + i)- 1 -(1 -t)il + ti=(l -t)il + ti16在初始时刻和第1年底分别向基金投入1000元，已知基金在第1
26、年底的余额为1200元，第2年底的余 额为2200元。分别用资本加权法和时间加权法计算年收益率。解：资本加权法 1000(1 + i)2 + 1000(1 +i) = 2200 解得 i = 6.52%时间加权法(1+i)2=1200 1000X 22001200+1000 解得 i 弋 9.54%17基金在元旦的余额为A, 6月底的余额为B,年底的余额为C。(1)若一年中没有任何资本的注入，证明：投资额加权法和资本加权法计算的年收益率都是C-A A；(2)如果在6月底计算余额后立即投入资本D ,试分别给出投资额加权法和时间加权法计算收益率的表达式。(3)如果(2)中的投资是在余额计算之前投入
27、的，重新计算(2)中的两种收益率。(4)说明Q)和(3)中投资额加权法的结果相同的原因。(5)试说明(2)中时间加权法的结果大于(3)的结果。解：资本加权法A(1+i) = C i=C-A A时间加权法1+i=BA -CB i=C-AA(2)资本加权法 A(1+i) + D(l+i2) = C C=C-A-D A+ 1 2D时间加权法 l+i=BA -CB+ D i=BCA (B+ D)- 1(3)资本加权法 A(1+i) + D(l+i2) = C C=C AD A+ 1 2D时间加权法 l+i=B - D A - C B i =(B - D) C AB- 1(4)资本加权法主要以资本量为衡
28、量标准，所以在6月底余额计算前投入还是后投入，对收益率没有影响。(5) (2)中时间加权法的结果较大的原因是D从计算余额后投入时，认为这部分资本在下半年产生了利息，而在 计算余额前投入，相比较而言，若这部分资本D是在上半年投入的，则没有产生利息，所以收益率偏大。18 已知：当 t = 1,2, 3, 4,5 且y = 1,2, - - - 10 时，有 1 + iy t = (1.08 + 0.005t)l+0.01y如果在y = 5时投资1000元，持续3年。计算等价的均衡利率。解：设等价的均衡利率为i ,利用投资年方法的计算公式有(1 + i51)(l + i52)(l + i53) =
29、(1 + i)3代入数据得到 i 弋 9.469%19基金X在1991年元旦的单位价值为1.0元，在1991年7月1日的单位价值为0.8元，在1992年元旦 的单位价值为1.0元，如果某投资者在1991年元旦和7月1日分别投入10元。分别用资本加权法和时间加 权法计算该投资者在1991年的收益。解：资本加权法，A= 10,C= 10,B= 10+ 10 X 10.8 = 22.5 得至lj I = 2.5 i =2.5 10+ 1 2X 10= 16.67%时间加权法i =0.8 1 X 1 0.8- 1 = 020某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车：马上付款5000元；或者，现付240
30、0元，然后每年底付款 1500元，两年付清。若某购车者的最小可接受的年收益率为10%,问其选择哪个方式购买？解：以最小可接受的年收益率算得购车者以第二种方式购车的现值为：2400+ 1500(1 +i)-l + 1500(1 +i)-2 = 5003.31 元 5000 所以应该选择第一种方式付款。21如果投资者的可接受利率为12%,说明第3题的项目是否可以接受。解：用Excel规划求解内部收益率得r % 9.56% In 5 = c X ln(l + i)(1) X (2) = ln3 = (a + b) - In (1 + i)故 n = c 一(a + b)13 .已知资本A在一年内产生
31、的利息量为336,产生的贴现量为300。计算A。解： A i = 336 A d = 300 i d= i d = A = 280014 .分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下，计算d5。a -a(4)10%解：(l)d5=a0)= 1 +5x10%=6.67%a-a(2)a-l(t)= 1 -0.1t= a(t) =l-0.1Z = d5 =&()= 16.67%15 .试用i表示d(4),用d(12)表示i(6)o解:由/兴)(1 + )3=(1-)(-4)34/二n) =4口_(1 + )4由；(6)(12)(1 + )6=(1-)(-12)o12/z(6)=6.(l-)-2-11
32、6 .在以下两种情况下计算100元在两年底的终值：季结算名利率6%；每四年结算一次的名贴现率为6%。 解: 终值为 100 X (l+i(4)/4)4*2=U2.65 元 终值为 100 X (1 -4d( 1/4 )1/4 -2 = 114.71 %17 .已知:i(m) = 01844144 和 d(m) = 01802608 计算 m.解：利用 l/d(m)- l/i(m) = l/m= m = 818 .基金A以单利率10%累积，基金B以单贴现率5%累积。计算两个基金的利息力相等的时刻。解:aA(t)= 1 +0.1t = 5 A(t)二黑二。.1aA(t) 1 + 0 Ata(t)
33、= l-0.05/ =3=9:b) = 0-05a B(t)1一皈由 3 A(t)= 6B得t = 519 . 一年期投资的累积函数为二次多项式，前半年的半年名利率为5%,全年的实利率为7%,计算6 0.5。解：依题意，累积函数为 a(t) = at2 + bt + 1 a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025a(0.5)=U.Uooa(l) = a + b+ 1 = 1.07=a = 0.04 b = 0.03 于是 6 0.5 二 a(5)20 .已知：帐户A的累积函数为:1 + t2,帐户B的累积函数为:1 + 2t + t2o计算帐户A的利息力超过帐户B的利
34、息力的时刻。2t_ 22t 2解：依题意，6 A二 l + f2 ,)1 + t 由“(。为(。=1 +t2 l+t=ti21 .已知季结算名贴现率为8%,分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当前的现值：全部采用复贴 现；在最后的不足年份内采用单贴现。解：d(4)= 8%,设复利下月实贴现率为小单利下实利率为do。(l.d)=l 一暨全部采用复利：2PV= 5000(1-d)25= 4225.25前两年用复利:1-3d0=1-8%PV= 5000(1-d)24(l-d0) = 4225.4622 .为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两年每年初
35、投入2000元、 第3年初再投入一部分。已知季结算名利率6%,计算第3年初投入的金额。(原来的答案有误)i(4)= 6%,贝Ii= (1 +)4-1 = 6.14%解：4设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程2000(1 +i)2+ 2000(1 +i) +X= 2000v2 + SOOOv板徂丫 “ 一、解得 X = 504.67 兀23 .在一定的利率下，下面两种付款方式等价：1)第5年底支付200元，第10年底支付500元；2)第5年 底一次性支付400.94元。另外，以同样的利率现在投资100元再加上第5年底投资120元，这些投资在第10 年底的终值为P。试计算P。解：对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：200 + 500丫5 = 400.94解得丫5 = 0,40188所以 P= 100(1 +i)10+ 120(1 +i)5= 917.76224 .经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？解：1。(1+6%)；2