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1、学科网（北京）股份有限公司益阳市益阳市 2024 届高三届高三 4 月教学质量检测月教学质量检测数学数学（时量：（时量：120 分钟满分：分钟满分：150 分）分）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i为虚数单位，若1i2z+=，则z=（）A1i+B1i-C1i-+D1i-2已知 210,2afxaxbx=-，则0 x是方程axb=的解的充要条件是（）A 0,xf xf x$RB 0,xf xf x$RC 0,xf xf x RD
2、 0,xf xf x R3顶角为 36的等腰三角形，常称为“最美三角形”已知15cos364+=，则“最美三角形”的底边长与腰长的比为（）A152+B152-+C154+D154-+4已知数列 na满足*12nnna an+=N且11a=，则9a=（）A128B64C32D165已知双曲线221(0,0)xymnmn-=与椭圆22143xy+=有相同的焦点，则41mn+的最小值为（）A6B7C8D962023 年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小 Y 哥直播间，邀请某“网红”来现场带货在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现
3、生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒 1 瓶 假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365 天）中任何一天（2023 年共 365 天），在n远小于 365 时，近似地1100ln1365365nnkkkk-=-，ln20.693，其中12ninaaaa=L如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于12，那么来到直播间的人数最少应该为（）A21B22C23D247如图所示，4 个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”显然，即使是“最密堆垒”，4 个球之间依然存在着空隙材料学研究发现，某种金属晶体中 4 个原子的“最密堆垒”的空隙中如
4、果再嵌入一个另一种学科网（北京）股份有限公司金属原子并和原来的 4 个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化记原金属晶体的原子半径为Ar，另一种金属晶体的原子半径为Br，则Ar和Br的关系是（）A23BArr=B26BArr=C231BArr=-D262BArr=-8已知 fx的定义域为 0,fx+是 fx的导函数，且 22lnx fxxf xx+=，2ee1f=，则111,sin,tan342fff的大小关系是（）A111sintan342fffB111sintan432fffC111tansin234fffD111sintan423fff=-当时当时当时表示同一函数B函数 222v xxx
5、=-+与 222u ttt=-+是同一函数C函数 yf x=的图象与直线2024x=的图象至多有一个交点D函数 1f xxx=-，则12ff=010如图 1 所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具它由转动杆OP与横杆PQ组成，,P Q为横杆的两个端点在道闸抬起的过程中，横杆PQ始终保持水平如图 2 所示，以点O为原点，水平方向为x轴正方向建立平面直角坐标系若点O距水平地面的高度为 1 米，转动杆OP的长度为1.6 米，横杆PQ的长度为 2 米，OP绕点O在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角学科网（北京）股份有限公司30,90q（）图 1 图 2A则点P运动
6、的轨迹方程为2264(1)25xy+=（其中4 34 80,55 5xy）B则点Q运动的轨迹方程为2264(2)25xy-+=（其中104 34 82,55 5xy+）C 若OP绕点O从与水平方向成30角匀速转动到与水平方向成90角，则横杆PQ距水平地面的高度为135米D若OP绕点O从与水平方向成30角匀速转动到与水平方向成90角，则点Q运动轨迹的长度为135米11在ABC中，角,A B C所对的边依次为,a b c，已知sin:sin:sin2:3:4ABC=，则下列结论中正确的是（）A :5:6abbcca+=：BABC为钝角三角形C若18abc+=则ABC的面积是6 15D若ABC的外接
7、圆半径是R，内切圆半径为r，则516Rr=三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12在平面直角坐标系中，已知点121,0,1,0FF-，若P为平面上的一个动点且122PFPF=，则点P运动所形成的曲线的方程为_13 已 知999929901259(162)(62)xxaa xa xa x+-=+L，且01299,a a aaRL，则 满 足0(kakN且099)k的k的最大值为_14已知函数 fx的定义域为,-+对任意的,x yR恒有 fxy fxyfxfyfxfy+-=+-，且 12,20ff=则20232024ff+=_四、解答题：
8、本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、学科网（北京）股份有限公司证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）已知,a b为正实数，构造函数 lnxfxaxb=+若曲线 yf x=在点 1,1f处的切线方程为12yaxb=-（1）求ab+的值；（2）求证：211fxxx-+16（本小题满分 15 分）新鲜是水果品质的一个重要指标。某品牌水果销售店，为保障所销售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄水果销售店以每箱进货价 50
9、 元、售价 100 元销售该种水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与特别处理等费用 30 元这样才能保障第二天特价水果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录了在连续 50 天中该水果的日销售量 x（单位：箱）和天数 y（单位：天）如下表所示：日销售量 x（单位：箱）2223242526天数 y（单位：天）10101596（1）为能减少打折销售份额，决定 70%地满足顾客需求（即在 100 天中，大约有 70 天可以满足顾客需求）请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量 t 的值。（以箱为单位，结果保留一位小数）（2）
10、以 这 50 天 记 录 的 日 需 求 量 的 频 率 作 为 日 需 求 量 的 概 率，设（1）中 所 求t的 值 满 足*000,1tn nn+N，请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是0n箱划算还是01n+箱划算？17（本小题满分 15 分）如图所示，四边形ABCD为梯形，,2,1ABCD ABADDCCB=，以AC为一条边作矩形ACFE，且1CF=，平面ACFE 平面ABCD（1）求证：BCAF；（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为090aa与椭圆22:143xyC+=相交于点,P Q，点P在第一象限内，12,F F分别为椭圆的左、
11、右焦点（1）设点Q到直线12,PF PF的距离分别为12,d d，求12dd的取值范围；（2）已知椭圆C在点00,P xy处的切线为l（1）求证：切线l的方程为00143x xy y+=；（2）设射线1QF交l于点R，求证：1FRP为等腰三角形19（本小题满分 17 分）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组12,a a表示；三维空间向盘可用三元有序数组123,a a a表示 一般地，n维空间向量用n元有序数组12,na aaL表示，其中1,2,kakn=L称为空间向量的第k个 分 量，k为 这 个 分 量 的 下 标 对 于3n n 维 空 间 向 量12,na aaL，定 义 集 合,1,2,kA mk am kn=L记 A m的元素的个数为 A m（约定空集的元素个数为 0）（1）若空间向量12345678,6,3,2,5,3,7,5,5a a a a a a a a=，求 5A及 5A；（2）对于空间向量12,na aaL若12111nnA aA aA a+=L，求证：,1,2,i jnL，若ij，则ijaa；（3）若空间向量123,na a aaL的坐标满足 2112,1kkA aakaa-+=，当3n 时，求证：2221212nnnaaaaa-+L