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1、东北三省四市联考暨沈阳市2024届高三下学期数学质量检测（二）东北三省四市联考暨沈阳市2024届高三下学期数学质量检测（二）#QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=#QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=#1 2024 年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学（参考答案）一、一、单项单项选择题选择题：1D 2B 3.A 4C 5.A 6C 7.B 8.C 二、多项选择题二、多项选择题:9.ABD 10.BD 11.ACD 三、填空题三、填空题:本题共本
2、题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.12.8116 13.5 14.40；2121313 9122nnnA+=（或）部分部分参考答案参考答案：6()662163264P A=，事件AB=“取出的重卦中有 3 阳 3 阴或 4 阳 2 阴或 5 阳 1 阴”则()345666641264CCCP AB+=，则()()()4163P ABP B AP A=【答案】C 7.直线1PA，1PB，1PC，1PD与平面1111ABC D所成角大小分别为1，2，3，4等价于直 线1PA，1PB，1PC，1PD与直线1AA，1BB，1CC，1DD成角大小分别为12，22，32,4
3、2，由13=，可知P在线段BD上，又24，则2422，1PB与 1BB成角更小，则点P在线段OB上【答案】B 8.由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()yfx=，实线部分为()yf x=，则 A，B 显然错误，对于 C，D 而言，()2()e()e()()eexxxxfxf xfxf xy=，由图像可知(),0 x，()exf xy=单调递增，()0,x+，()exf xy=单调递减，所以函数()exf xy=在0 x=处取得最大值为1【答案】C 9.由实系数一元二次方程求根公式知iziz2321,232121=+=，21,
4、zz是 1 的两个立方虚根，则222123212321ziiz=+=(与21,zz顺序无关），A 正确；因为13231=zz，所以03231=zz，B正确；0122221=zzzz，C 错误；21 21111z zz zz=，D 正确.【答案】ABD 10已知所有棱长都相等，不妨设为 1.A：过 S 作直线 lAD，则 l为平面 SAD与平面 SBC的交线，取 AD中点 E，BC 中点 F，连接 ES，FS，则ESF 为二面角 A-l-B的平面角，连接 EF，在EFS 中，cosESF=(32)2+(32)212(32)2=13 0 所以平面 SAD与平面 SBC 不垂直，故 A 错；B：取
5、SB 中点 G，SC中点 H，连接 OGH，可知平面 OGH平面 SAD，所以当 PGH时，OP平面 SAD，这样的点 P 有无穷多，故 B正确；C：由已知可知当 Q在正方形 ABCD各边中点时，SQ 与底面 ABCD所成的角最大，cosSEO=1232=3312，所以SEO 0 所以(+1 )2+1 ()2+1 所以|+1|，即数列|na单调递减，故 A 正确；B：1=1(1)2+1|4|,3+4 0,如下图 当 c 3.6时，会有|3|0,如下图 即 c靠近偶数时，na的最大项与最小项之和为正数，临界值为*1122,22kckk+N，故 D正确.【答案】ACD#QQABZQwUggggQI
6、AAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=#3 12.3381log16333313log2,161118181loglog2log22log31616161616ffff =+=+=13.设点),(yxP，由PAPB2=得422=+yx，若该圆上有且只有 3 个点直线:340lxym+=的距离为 1，则圆心到直线的距离15=md，解得5=m.14.根据乘法原理和加法原理得到133444C240C2A=+=.奇数维向量，范数为奇数，则1ix=的个数为奇数，即 1 的个数为1,3,5,21n+，根据乘法原理和加法原理得到123225242102121212121
7、2222nnnnnnnnnACCCC+=+，()2121021122222102121212132 12222nnnnnnnnnnCCCC+=+=+()21021122222102121212112 12222nnnnnnnnnCCCC+=+两式相减得到2121313 9122nnnA+=（或）四、四、解答题解答题:15（1）因为sin3 cosaBbA=，由正弦定理可得sinsin3sincosABBA=3分 sin0B，所以sin3cosAA=，故tan3A=，23A=6 分（2）由题意可知ABDACDABCSSS+=，即111sin60sin60sin120222cbbc+=，化简可得b
8、cbc+=，9分 在ABC中，由余弦定理得()2222221cos222bcbcabcaAbcbc+=从而()2220122bcbcbc=，解得5bc=或4bc=（舍）12 分 所以11sin5sin120225 34ABCSbcA=13 分 16.（1）当0a=时，()exxf x=，则1()exxfx=，(1)0f=，1(1)ef=，所以切线方程为1ey=3 分（2）当1a=时，()eexxf xx=，21e()(1)eeexxxxxfxx=4 分 令2()1exg xx=，2()12e0 xg x=故()g x在R上单调递减，而(0)0g=，因此0是()g x在R上的唯一零点 即：0是(
9、)fx在R上的唯一零点 6分 当x变化时，()fx，()f x的变化情况如下表：x(,0)0(0,)+()fx+0 ()f x 极大值 ()f x的单调递增区间为：(0,)+；递减区间为：(,0)8分 ()f x的极大值为(0)1f=，无极小值.9分（3）由题意知1xxxeaexe，即xxxeexea1，即eexax12，#QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=#4 设()eexxmx12=，则()()xxxxexexeexm22222212=，11 分 令()0=xm，解得21=x，当()()xmxmx,0,21,单调递增，当
10、()()xmxmx,0,21+单调递减，所以()eeemxm2112121max=，14 分 所以ea21.15 分 17（1）方法一：ABBA2111=,1122 222AA ABAA AD=1 分 1121AAADAD=()()111121211AAADABAPADPD+=+=2 分()()()ADABAAADABACPD+=11121211 ()()()11221121211AAADAAABADAB+=()()0142121818=+=,1ACPD即.1ACPD 5 分（1）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有()2,2,0A，()2,2,0B，()2,2,0C
11、，()2,2,0D，122,22Ah，122,22Ch，122,22Dh，()0,2,0M()2 2,2 2,0AC=()()1223 23 2(1)0,2 2,02 2,0,0,0,2 2,22222APh=+=13 22,22D Ah=113 23 23 23 2,2222D PD AAPhh=+=+4 分 故10AC D P=，所以1D PAC 5 分（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法）取OC中点E,则ABCDEC平面1，作AMEF，垂足为F，连结FC1，由三垂线定理得AMFC1，所 以FEC1为 平 面1AMC与 平 面ABCD所 成 二 面 角 的 平 面 角，因 为22=AB，
12、2324343=AMCAMESS,7 分 10103,2321=EFAMEF 8分#QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=#5 ,3102tan,73cos11=FECFEC即2,310211=ECEFEC 11分 方法二：确定正四棱台的高（空间向量）设平面ABCD的法向量为()0,0,1n=设平面1AMC的法向量为(),mx y z=，()2,2 2,0AM=，13 2 3 2,22ACh=则有100AM mACm=，即22 203 23 2022xyxyhz+=+=，令2 2xh=，则()2 2,2,3mhh=8 分 又题意
13、可得2233cos,7829m nhh=+，可得2h=11 分 因为23=，经过计算可得40,0,3P，122,222D，142,2,3D P=13分 将2h=代入，可得平面1AMC的法向量()4 2,2 2,3m=14 分 设直线DP与平面1AMC所成角的为 84424 13sincos,91162232899DP m+=+17分 18.（1）设(),B x y，POP=，则cos6cossin3sinxOPyOB=，3分 消去得22163xy+=所以B点轨迹的方程22163xy+=5分（2）方法一：设()11,M x y，()22,N xy，直线MN的方程为ykxm=+22163xyykx
14、m+=+消去y可得：()222124260kxkmxm+=()()()2222244 1226488240kmkmkm=+=+，即2263mk+从而12241 2kmxxk+=+，21222612mx xk=+1212121211112222AMANyykxmkxmkkxxxx+=()()()()2212121212111242k x xk mxxmx xxx+=+整理得24210kkmm+=，即()()()()2412121210kmkkkm+=+=8 分 当210k+=时，直线MN的方程为12yxm=+当210km+=时，直线MN的方程为()21yk x=+，恒过()2,1A点，不合题意
15、10 分 设(),GGG xy，将()11,M x y，()22,N xy#QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=#6 将MN、两点代入到椭圆中22112222163163xyxy+=+=，两式相减得22221212063xxyy+=，即()()()()()()1212121212121212032602yyyyyyyyxxxxxxxx+=+，12MNOGkk=，故1OGk=14分 设OG与y轴负半轴所形成的夹角为，因为1OGk=，所以4=设OA与x轴正半轴所形成的夹角为，因为()2,1A，所以5sin5=，2 5cos5=co
16、scos2AOG=+()()sinsincoscos1si300n1=+=+=17分 方法二：设()11,M x y，()22,N xy，直线AM的方程为()21yk x=+()2221163yk xxy+=+消去y可得：()()222212848840kxkk xkk+=从而21288412Akkxxk=+，故21244212kkxk=+，将1x代入直线AM的方程可得21244112kkyk=+，所以222244244,11212kkkkMkk+又12AMANkk=，将上式点M中的k换成12k得到22224424,11212kkkNkk+212112MNyykxx=，下面同方法一 方法三：以
17、()2,1A为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程()()2221163xy+=，在新坐标系下设()11,M x y，()22,N xy，直线MN的方程为1mxny+=将椭圆方程变形可得：224240 xxyy+=将直线MN的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得()()224240 xx mxnyyy mxny+=整理得()()()2242441 40nynm xym x+=即：()()()24244140yynnmmxx+=，所以1212141422AMANyymkkxxn+=+，故2nm=，直线MN的方程为21mxmy+=，12MNk=，下面同方法一 方法四：设()11,M x
18、y，()22,N xy，直线MN的方程为ykxm=+#QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=#7 22163xyykxm+=+消去y可得：()222124220kxkmxm+=因为1x，2x是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212kxkmxmkxxxx+=+又1212111222AMANyykkxx=整理得：()()()()121222211xxyy ()()21212112220mmxxkxxkk=+=在式中 令2x=得：()()()()222124 128221222kkmmkxx+=+令1
19、 mxk=得：()()()222212211111242212mmmmkkmmkxxkkkk+=+()22k 可得：整理得24210kkmm+=，下面同方法一（以上方法可酌情给分）19.（1）剔除第 10 天数据的()9112.2 100.42.499iiyy=新，()12959t+=新 101118.73 10 0.4114.73iiit y=新；10221385 10285iit=新 所以12221114.739 5 2.46732859 56000niiiniibx ynxyxnx=故67322072.4560001200a=，所以673220760001200yx=+.4 分（以上每个
20、新数据求解正确，可给 1 分）（2）由题意可知()1223355nnnPPPn=+，其中125P=，22231955525P=+=6 分 将此式变形可得112123232525555nnnnnnPPPPPP=+=+令3525=，解得1=或35=8 分 方法一：当35=时，则()11233355nnnnPPPPn+=+，所以135nnPP+为常数列 首项为2131932152555PP+=+=，故()13125nnPPn+=，将()13125nnPPn+=变形可得()15352858nnPPn=#QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABA
21、A=#8 所以58nP是以首项为1525985840P=，公比为35的等比数列 故15938405nnP=，即19354058nnP=+12 分 方法二：当1=时，则()()112335nnnnPPPPn=，所以1nnPP是以首项为21192925525PP=，公比为35的等比数列，故()21932255nnnPPn=成立 ，则有21312021932559325593255nnnnnnPPPPPP=成立，累加可得 0121933325555nnPP=+213319139553254054015nn+=+故1113940540nnPP=+，即1935533=4058885nnnP=+12 分（3）解答：当 n 为偶数时，53353 3088588 5nnnP=+=+单调递减，最大值为21925P=；当 n为奇数时，53353 3088588 5nnnP=+=单调递增，最小值为125P=；综上：数列 nP的最大值为1925，最小值为25.14 分 证明：对任意0总存在正整数0358log13N=+，（其中 x表示取整函数）当358log13n+时，17 分#QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=#