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1、切线的性质39（2023泸州）如图，在RtABC中，C90，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE若AC8，BC6，则DE的长是（）A4109B8109C8027D83【考点】切线的性质；勾股定理【分析】首先求出AB10，先证BOE和BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进而可求出CE的长和AE的长，然后再证BDE和BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出DE【解答】解：在RtABC中，C90，AC8，BC6，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=10，连接AE，OE，设O的半径为r，则OAOEr，OBABOA10r，BC与半圆相切，
2、OEBC，C90，即ACBC，OEAC，BOEBAC，BEBC=BOAB=OEAC，即：BE6=10r10=r8，由10r10=r8得：r=409，由BE6=10rr得：BE=103，CE=BCBE=6103=83，在RtACE中，AC8，CE=83，由勾股定理得：AE=AC2+CE2=8103，BE为半圆的切线，BEDBAE，又DBEEBA，BDEBEA，BEAB=DEAE，DEABBEAE，即：DE10=1038103，DE=8109故选：B【点评】此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角
3、形的性质和勾股定理进行计算切线的性质46（2023眉山）如图，AB切O于点B，连结OA交O于点C，BDOA交O于点D，连结CD，若OCD25，则A的度数为（）A25B35C40D45【考点】切线的性质；圆周角定理【分析】连接OB，由切线的性质得到ABO90，由平行线的性质得到DOCD25，由圆周角定理得出O2D50，因此A90O40【解答】解：连接OB，AB切O于B，半径OBAB，ABO90，BDOA，DOCD25，O2D50，A90O40故选：C【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到O2D，由切线的性质定理得到ABO90，由直角三角形的性质即可求出A的度数切线的性质4
4、2（2023重庆）如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于点C，连接AC，若ACD50，则BAC的度数为（）A30B40C50D60【考点】切线的性质【分析】连接OC，根据切线的性质得到OCD90，求得ACO40，根据等腰三角形的性质得到AACO40【解答】解：连接OC，直线CD与O相切于点C，OCD90，ACD50，ACO905040，OCOA，BACACO40，故选：B【点评】本题考查了切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键43（2023重庆）如图，AC是O的切线，B为切点，连接OA，OC若A30，AB23，BC3，则OC的长度是（）A3B23C13D6【考点】切线的性质【分析】根据切线
5、的性质得到OBAC，求得ABOCBO90，得到OB=33AB2，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：连接OB，AC是O的切线，OBAC，ABOCBO90，A30，AB23，OB=33AB2，BC3，OC=BC2+OB2=32+22=13，故选：C【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键切线的性质30（2023泸州）如图，AB是O的直径，AB210，O的弦CDAB于点E，CD6过点C作O的切线交AB的延长线于点F，连接BC（1）求证：BC平分DCF；（2）G为AD上一点，连接CG交AB于点H，若CH3GH，求BH的长【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定
6、理菁优网版权所有【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OCCF，即OCF90，根据直角三角形的性质得到CEDE=12CD3，BEC90，求得BCE+OBC90，等量代换得到BCEBCF，根据角平分线的定义得到BC平分DCF；（2）连接OC，OG，过G作GMAB于M，根据圆周角定理CDAB，得到CE=12CD3，OCOG=12AB=10，根据勾股定理得到OE=OC2CE2=1，根据相似三角形性质得到GM1，设MHx，则HE3x，根据勾股定理即可得到即可【解答】（1）证明：如图，连接OC，CF是O的切线，点C是切点，OCCF，即OCF90，OCB+BCF90，CDAB，AB是直径，CEDE=1
7、2CD3，BEC90，BCE+OBC90，OBOC，OCBOBC，BCEBCF，即BC平分DCF；（2）解：连接OC，OG，过G作GMAB于M，AB是O的直径，CDAB，CE=12CD3，OCOG=12AB=10，OE=OC2CE2=1，GMAB，CDAB，CEGM，GMHCEH，GHCH=GMCE=MHHE，CH3GH，13=GM3=MHHE，GM1，设MHx，则HE3x，HO3x1OM4x1，在RtOGM中，OM2+GM2OG2，（4x1）2+12（10）2，解得x1（负值舍去），BHOH+OB311+10=2+10【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理
8、，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键31（2023南充）如图，AB与O相切于点A，半径OCAB，BC与O相交于点D，连接AD（1）求证：OCAADC；（2）若AD2，tanB=13，求OC的长【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）连接OA交BC于点F，根据切线的性质和圆周角定理得ADC=12AOC45，进而可以解决问题；（2）过点A作AEBC于点E，得ADE是等腰直角三角形，根据锐角三角函数和勾股定理即可解决问题【解答】（1）证明：连接OA交BC于点F，AB是O的切线，OAB90，OCAB，AOCOAB90，COOA，OCA45，ADC=12AOC45，OC
9、AADC；（2）解：过点A作AEBC于点E，ADE45，ADE是等腰直角三角形，AEDE=22AD=2，tanB=AEBE=13，BE3AE32，AB=BE2+AE2=18+2=25，在RtABF中，tanB=AFAB=13，AF=13AB=253，OCAB，OCFB，tanOCF=OFOC=13，设OCr，则OFOAAFr253，3 （r253）r，解得r=5，OC=5【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质41（2023邵阳）如图，AD是O的直径，AB是O的弦，BC与O相切于点B，连接OB，若A
10、BC65，则BOD的大小为 50【答案】50【分析】利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可【解答】解：BC与O相切于点B，OBBC，OBC90ABC65，OBAOBCABC25OBOA，OABOBA25，BOD2OAB50故答案为：50【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键42（2023滨州）如图，PA，PB分别与O相切于A，B两点，且APB56，若点C是O上异于点A，B的一点，则ACB的大小为 62或118【答案】62或118【分析】由切线的性质求得PAOPBO90，由多边形内角和定理求得AO
11、B124，根据圆周角定理即可求得答案【解答】解：如图，连接CA，BC，PA、PB切O于点A、B，PAOPBO90，AOB+PAO+PBO+APB，AOB360PAOPBOAPB360909056124，由圆周角定理知，ACB=12AOB62当点C在劣弧AB上时，由圆内接四边形的性质得ACB118，故答案为：62或118【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关定理是解决问题的关键43（2023广元）如图，ACB45，半径为2的O与角的两边相切，点P是O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设tPE+2PF，则t的取值范围是 22t4+22【答案】22t4+22【
12、分析】设半径为2的O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，求得CNDOMD90，根据等腰直角三角形的性质得到CDN45，求得OD22，得到CNDN2+22，如图1，延长EP交BC于Q，推出ECQ与PFQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到CEEQ，FQ=2PF，求得tPE+2PFPE+FQEQ，当EQ与O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，根据正方形的性质得到ENOP2，求得t4+22；如图2，当EQ与O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t22，于是得到结论【解答】解：设半径为2的O与角的两边相切于M，N，连接
13、OM，ON，延长NO交CB于D，CNDOMD90，ACB45，CND是等腰直角三角形，CDN45，ONOM2，OD22，CNDN2+22，如图1，延长EP交BC于Q，EQAC，PFBC，CEQPFQ90，ACB45，EQC45，ECQ与PFQ是等腰直角三角形，CEEQ，FQ=2PF，tPE+2PFPE+FQEQ，当EQ与O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，ENOP2，tPE+2PFPE+FQEQCECN+EN2+22+2=4+22；如图2，当EQ与O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得tPE+2PFPE+FQEQCECNEN22，故t的取值范
14、围是22t4+22，故答案为：22t4+22【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键切线的性质37（2023福建）如图，已知ABC内接于O，CO的延长线交AB于点D，交O于点E，交O的切线AF于点F，且AFBC（1）求证：AOBE；（2）求证：AO平分BAC【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据切线的性质得到AFOA，求得OAF90，根据圆周角定理得到CBE90，求得OAFCBE，根据平行线的性质得到BAFABC，于是得到OABABE，根据平行线的判定定理即可得到AOBE；（2）根据圆周角定理得到ABEACE，根据
15、等腰三角形的性质得到ACEOAC，等量代换得到ABEOAC，由（1）知，OABABE，根据角平分线的定义即可得到结论【解答】证明：（1）AF是O的切线，AFOA，即OAF90，CE是O的直径，CBE90，OAFCBE，AFBC，BAFABC，OAFBAFCBEABC，即OABABE，AOBE；（2）ABE 与ACE 都是EA所对的圆周角，ABEACE，OAOC，ACEOAC，ABEOAC，由（1）知，OABABE，OABOAC，AO平分BAC【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、熟练掌握切线的性质是解题的关键切线的性质33（2023绍兴）如图，AB
16、是O的直径，C是O上一点，过点C作O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AECD于点E（1）若EAC25，求ACD的度数；（2）若OB2，BD1，求CE的长【答案】（1）115；（2）253【分析】（1）由垂直的定义得到AEC90，由三角形外角的性质即可求出ACD的度数；（2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到CDCE=ODOA，代入有关数据，即可求出CE的长【解答】解：（1）AECD于点E，AEC90ACDAEC+EAC90+25115；（2）CD是O的切线，半径OCDE，OCD90，OCOB2，BD1，ODOB+BD3，CD=OD2OC2=5OCDAEC90，OCA
17、E，CDCE=ODOA，5CE=32，CE=253【点评】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长34（2023广元）如图，AB为O的直径，C为O上一点，连接AC，BC，过点C作O的切线交AB延长线于点D，OFBC于点E，交CD于点F（1）求证：BCDBOE；（2）若sinCAB=35，AB10，求BD的长【答案】（1）见解析；（2）BD的长为907【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OCD90，求得OCB+BCD90，根据等腰三角形的性质得到OCB
18、OBC，等量代换得到BCDBOE；（2）过B作BHCD于H，根据圆周角定理得到ACB90，根据三角函数的定义得到BC6，根据平行线的性质得到BOECAB，根据三角函数的定义得到BH=185，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：连接OC，CD是O的切线，OCD90，OCB+BCD90，OFBC，BEO90，BOE+OBE90，OCOB，OCBOBC，BCDBOE；（2）解：过B作BHCD于H，AB为O的直径，ACB90，sinCAB=BCAB=35，AB10，BC6，OFBC，ACOF，BOECAB，BCDBOE，BACBCD，sinCABsinDCB=BHBC=35，BH=18
19、5，OCCD，BHCD，BHOC，BDHODC，BHOC=BDOD，1855=BDBD+5，解得BD=907，故BD的长为907【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键切线的性质42（2023天津）在O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，AOC60，E为弦AB所对的优弧上一点（1）如图，求AOB和CEB的大小；（2）如图，CE与AB相交于点F，EFEB，过点E作O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA3，求EG的长【答案】（1）120，30；（2）3【分析】（1）由垂径定理得到AC=BC，因此BOCAOC60，得到AOBA
20、OC+BOC120，由圆周角定理即可求出CEB的度数；（2）由垂径定理，圆周角定理求出CEB的度数，得到C的度数，由三角形外角的性质求出EOG的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长【解答】解：（1）半径OC垂直于弦AB，AC=BC，BOCAOC60，AOBAOC+BOC120，CEB=12BOC，CEB30；（2）如图，连接OE，半径OCAB，AC=BC，CEB=12AOC30，EFEB，EFBB75，DFCEFB75，DCF90DFC15，OEOC，COEC15，EOGC+OEC30，GE切圆于E，OEG90，tanEOG=EGOE=33，OEOA3，EG=3【点评】本题考查垂径定理，圆周
21、角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质求出C15，由三角形外的性质求出EOG的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长43（2023湖北）如图，ABC中，以AB为直径的O交BC于点D，DE是O的切线，且DEAC，垂足为E，延长CA交O于点F（1）求证：ABAC；（2）若AE3，DE6，求AF的长【答案】（1）证明见解析；（2）9【分析】（1）连接OD，由切线的性质得到半径ODDE，又DEAC，因此ODAC，推出CODB，由等腰三角形的性质得到BODB，故BC，即可证明ABAC；（2）连接DF，DA，由圆周角定理
22、得到FB，而BC，得到FC，推出DFDC，因此CEFE，由DAECDE，得到DE：CEAE：DE，即可求出CE12，于是得到AFEFAE1239【解答】（1）证明：连接OD，DE是O的切线，半径ODDE，DEAC，ODAC，CODB，ODOB，BODB，BC，ABAC；（2）解：连接DF，DA，FB，BC，FC，DFDC，DECF，FEEC，AB是圆的直径，ADB90，ADC90，ADE+CDE90，DEAC，C+CDE90，CADE，AEDCDE90，DAECDE，DE：CEAE：DE，AE3，DE6，6：CE3：6，CE12，EFEC12，AFEFAE1239【点评】本题考查切线的性质，圆
23、周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由切线的性质推出ODAC；由等腰三角形的性质得到EFCE，由DAECDE，求出CE的长切线的性质45（2023河南）如图，PA与O相切于点A，PO交O于点B，点C在PA上，且CBCA若OA5，PA12，则CA的长为 103【答案】103【分析】连接OC，根据切线的性质可得OAP90，然后利用SSS证明OACOBC，从而可得OAPOBC90再在RtOAP中，利用勾股定理求出OP13，最后根据OAC的面积+OCP的面积OAP的面积，进行计算即可解答【解答】解：连接OC，PA与O相切于点A，OAP90，OAOB，OCOC，CACB，OA
24、COBC（SSS），OAPOBC90，在RtOAP中，OA5，PA12，OP=OA2+AP2=52+122=13，OAC的面积+OCP的面积OAP的面积，12OAAC+12OPBC=12OAAP，OAAC+OPBCOAAP，5AC+13BC512，ACBC=103，故答案为：103【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键切线的性质25（2023武汉）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADAB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若ABCD=13，则sinC的值是（）A23B53C34D74【答案】B【分析】连接DB、D
25、E，设ABm，由ABCD=13得CD3AB3m，再证明AB是D的切线，而D与BC相切于点E，则BCOE，由切线长定理得EBABm，CBDABD，由ABCD，得ABDCDB，则CBDCDB，所以CBCD3m，CE2m，由勾股定理得DE=CD2CE2=5m，即可求得sinC=DECD=53，于是得到问题的答案【解答】解：连接DB、DE，设ABm，ABCD=13，CD3AB3m，AD是D的半径，ADAB，AB是D的切线，D与BC相切于点E，BCOE，EBABm，CBDABD，ABCD，ABDCDB，CBDCDB，CBCD3m，CECBEB3mm2m，CED90，DE=CD2CE2=(3m)2(2m)
26、2=5m，sinC=DECD=5m3m=53，故选：B【点评】此题重点考查切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键切线的性质36（2023黑龙江）如图，AB是O的直径，PA切O于点A，PO交O于点C，连接BC，若B28，则P34【答案】34【分析】根据切线的性质可得OAP90，然后利用圆周角定理可得AOC2B56，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答【解答】解：PA切O于点A，OAP90，B28，AOC2B56，P90AOC34，故答案为：34【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线
27、的性质，以及圆周角定理是解题的关键37（2023大连）如图1，在O中，AB为O的直径，点C为O上一点，AD为CAB的平分线交O于点D，连接OD交BC于点E（1）求BED的度数；（2）如图2，过点A作O的切线交BC延长线于点F，过点D作DGAF交AB于点G若AD235，DE4，求DG的长【答案】（1）90；（2）210【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可【解答】解：（1）AB为O的直径，ACB90，AD为CAB的平分线，BAC2BAD，OAOD，BADODA，BODBAD+ODA2BAD，B
28、ODBAC，ODAC，OEBACB90，BED90；（2）连接BD，设OAOBODr，则OEr4，AC2OE2r8，AB2r，AB为O的直径，ADB90，在RtADB中，BD2AB2AD2，由（1）得，BED90，BEDBEO90，BE2OB2OE2，BE2BD2DE2，BD2AB2AD2BE2+DE2OB2OE2+DE2，(2r)2(235)2=r2（r4）2+42，解得r7或r5（不合题意舍去），AB2r14，BD=AB2AD2=142(235)2=214，AF是O的切线，AFAB，DGAF，DGAB，SABD=12ADBD=12ABDG，DG=ADBDAB=23541414=210【点评
29、】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键切线的性质39（2023嘉兴、舟山）如图，点A是O外一点，AB，AC分别与O相切于点B，C，点D在BDC上已知A50，则D的度数是 65【考点】切线的性质；圆周角定理【分析】连接OC，OB，根据切线的性质得到ACOABO90，求得COB360AACOABO130，根据圆周角定理即可得到结论【解答】解：连接OC，OB，AB，AC分别与O相切于点B，C，ACOABO90，A50，COB360AACOABO130，D=12COB=65，故答案为：65【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键