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1、一次函数综合题27（2023黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，AOC60，OC的长是一元二次方程x24x120的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动两点同时出发，设运动时间为t秒（1）求直线AD的解析式；（2）连接MN，求MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1
2、）y=33x43；（2）S=32t29t123(0t23)32t29t123(23t43)；（3）存在，点Q的坐标是 (32，332) 或（6，43）【分析】（1）过点A作AHOC于H，解方程可得OC6，然后解直角三角形求出CD、OH和AH的长，得到点A、D的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；（2）首先证明EOD是等边三角形，求出DODF43，然后分情况讨论：当点N在DF上，即0t23时，过点M作NPOB于P，当点M在DE上，即23t43时，过点M作NTOB于T，分别解直角三角形求出NP和NT，再利用三角形面积公式列式即可；（3）分情况讨论：当AN是直角边时，则CNEF，过点M作NKCF于
3、K，首先求出CN，然后解直角三角形求出CK和NK，再利用平移的性质得出点Q的坐标；当AN是对角线时，则ACN90，过点M作NLCF于L，证明NCFNFC，可得CLFL3，然后解直角三角形求出NL，再利用平移的性质得出点Q的坐标【解答】（1）解：解方程x24x120得：x16，x22，OC6，四边形AOCB是菱形，AOC60，OAOC6，BOC=12AOC30，CDOCtan30633=23，D（6，23），过点A作AHOC于H，AOH60，OH=12OA3，AHOAsin60632=33，A（3，33），设直线AD的解析式为ykxb（k0），代入A（3，33），D（6，23 ）得：3kb=33
4、6kb=23，解得：k=33b=43，直线AD的解析式为y=33x43；（2）解：由（1）知在RtCOD中，CD=23，DOC30，OD=2CD=43，EOD90DOC903060，直线y=33x43与y轴交于点E，OE=43，OEOD，EOD是等边三角形，OEDEDOBDF60，ED=OD=43，OFE30DOF，DO=DF=43，当点N在DF上，即0t23 时，由题意得：DM=ODOM=43t，DN=432t，过点N作NPOB于P，则NPDNsinPDNDNsin60（432t）32=63t，S=12DMNP=12（432t）（63t）=32t29t123；当点N在DE上，即 23t43
5、时由题意得：DMODOM=3t，DN2t43，过点N作NTOB于T，则NTDNsinNDTDNsin60（2t43）32=3t6，S=12DMNT=12(43t)(3t6)=32t29t123；综上，S=32t29t123(0t23)32t29t123(23t43)；（3）解：存在，分情况讨论：如图，当AN是直角边时，则CNEF，过点N作NKCF于K，NFC30，OE=43，NCK60，OF=3OE=12，CF1266，CN=12CF=3，CKCNcos60312=32，NKCNsin60332=332，将点N向左平移32个单位长度，再向下平移332个单位长度得到点C，将点A向左平移32个单位
6、长度，再向下平移332个单位长度得到点Q，A(3，33)，Q（32，332）；如图，当AN是对角线时，则ACN90，过点N作NLCF于L，OAOC，AOC60，AOC是等边三角形，ACO60，NCF180609030NFC，CLFL=12CF3，NLCLtan30333=3，将点C向右平移3个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到点N，将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到点Q，A(3，33)，Q（6，43）；存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是 (32，332) 或（6，43）【点评】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数
7、法的应用，等边三角形的判定和性质，含30直角三角形的性质，二次函数的应用，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用各知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键一次函数综合题19（2023河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的
8、解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）其中，按甲方式移动了m次用含m的式子分别表示x，y；请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式【答案】（1）直线l1的解析式为yx+6；直线l2的解析式为yx+15；（2）xm+10，y20m；直线l3的解析式为yx+30；图象
9、见解析过程；（3）a，b，c之间的关系式为5a+3c8b【分析】（1）由待定系数法可求直线l1的解析式；由平移的性质可求直线l2的解析式；（2）由题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），再得出点（2m，m），按照乙方式移动（10m）次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；由的结果可得直线l3的解析式，进而可画出函数图象；（3）由题意可得点A，点B，点C的坐标，由待定系数法可求直线AB的解析式，即可求解【解答】解：（1）设l1的解析式为ykx+b，由题意可得：4k+b=22k+b=4，解得：k=1b=6，l1的解析式为yx+6，将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解
10、析式为yx+15；（2）点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，点P按照乙方式移动了（10m）次，点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），点（2m，m）按照乙方式移动（10m）次后得到的点的横坐标为2m+10mm+10，纵坐标为m+2（10m）20m，xm+10，y20m；x+ym+10+20m30，直线l3的解析式为yx+30；函数图象如图所示：（3）点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，点A（a，a+6），点B（b，b+15），点C（c，c+30），设直线AB的解析式为ymx+n，由题意可得：ma+n=a+6mb+n=b+15，解得：m=1+9ban=69a
11、ba，直线AB的解析式为y（1+9ba）x+69aba，点A，点B，点C三点始终在一条直线上，c（1+9ba）+69aba=c+30，5a+3c8b，a，b，c之间的关系式为5a+3c8b【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质和一次函数的性质是解题的关键一次函数综合题21（2023广东）综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为（045），AB交直线yx于点E，BC交y轴于点F（1）当旋转角COF为多少度时，OEOF；（直接写出结果，不要求写解答过程）（2）若点A（4，3），求
12、FC的长；（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线yx于点N，连接FN将OFN与OCF的面积分别记为S1与S2设SS1S2，ANn，求S关于n的函数表达式【答案】（1）当旋转角为22.5时，OEOF；（2）FC的长为154；（3）S关于n的函数表达式为S=12n2【分析】（1）如图2中，当OEOF时，得到RtAOERtCOF，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可；（2）在图2中，过点A作AGx轴于点G，利用三角形相似，可得结论；（3）过点N作直线PQBC于点P，交OA于点Q，利用四点共圆，得出三角形FON是等腰直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公
13、式解决问题【解答】解：（1）当OEOF时，在RtAOE和RtCOF中，OE=OFOA=OC，RtAOERtCOF（HL），AOECOF（即AOE旋转角），2AOE45，COFAOE22.5，当旋转角为22.5时，OEOF；（2）过点A作AGx轴于点G，则有AG3，OG4，OA=OG2+AG2=5，四边形OABC是正方形，OCOA5，AOCC90，又COF+FOA90，AOG+FOA90，COGGOA，RtAOGRtFOC，OCOG=FCAG，FC=OCAGOG=534=154，FC的长为154；（3）过点N作直线PQBC于点P，交OA于点Q，四边形OABC是正方形，BCAOCA45，BCOA，
14、又FON45，FCNFON45，F、C、O、N四点共圆，OFNOCA45，OFNFON45，FON是等腰直角三角形，FNNO，FNO90，FNP+ONQ90，又NOQ+ONQ90，NOQFNP，NOQFNP（AAS），NPOQ，FPNQ，四边形OQPC是矩形，CPOQ，OCPQ，S1=SOFN=12ON2，=12(OQ2+NQ2)=12(PN2+NQ2)=12PN2+12NQ2，S2=SCOF=12CFOC，=12(PCPF)(PN+NQ)，=12(PNNQ)(PN+NQ)=12(PN2NQ2)，=12PN212NQ2，S=S1S2=NQ2，又ANQ为等腰直角三角形，NQ=22AN=22n，S=NQ2=(22n)2=12n2，S关于n的函数表达式为S=12n2【点评】本题属于一次函数综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题