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1、菱形的判定与性质32（2023云南）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是BAD、BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AEAF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若ABC60，ABE的面积等于43，求平行线AB与DC间的距离【考点】菱形的判定与性质；平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质【分析】（1）根据平行四边形对角相等得到BADBCD，再根据AE、CF分别是BAD、BCD的平分线，可得到DAEBCF，再根据平行四边形对边平行得到DAEAEB，于是有BCFAEB，得出AEFC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形AECF是平行四边形，最后根据一组
2、邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；（2）连接AC，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得ABEB，结合已知ABC60得到ABE是等边三角形，从而求出ABAEEBEC4，BAE60，再证得EAC30，即可得到BAC90，根据勾股定理求出AC的长，从而得出平行线AB与DC间的距离【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BADBCD，ADBC，AE、CF分别是BAD、BCD的平分线，BAE=DAE=12BAD，BCF=DCF=12BCD，DAEBCF，ADBC，DAEAEB，BCFAEB，AEFC，四边形AECF是平行四边形，AEAF，四边形AECF是菱形；（2）解：连接AC，四边形A
3、BCD是平行四边形，ADBC，DAEAEB，AE平分BAD，BAEDAE，BAEAEB，ABEB，ABC60，ABE是等边三角形，BAEAEBABEA60，ABE的面积等于43，34AB2=43，AB4，即ABAEEB4，由（1）知四边形AECF是菱形，AECE4，EACECA，AEB是AEC的一个外角，AEBEAC+ECA60，EACECA30，BACBAE+EAC90，即ACAB，由勾股定理得AC=BC2AB2=(4+4)242=43，即平行线AB与DC间的距离是43【点评】本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定