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1、Matlab模拟点电荷系的电场线和等势面一、背景电场线和等势面是描述电场性质的重要的物理量，在物理教学中，通常需要 绘制点电荷系的电场线和等势面，因此研究用计算机绘制电场线和等势面具有重 要的现实意义。Matlab是一种广泛应用于科研、工程计算和数值分析的高级语言。利用 MATLAB可以方便实现空间点电荷电场线及等势面的求解及绘制。二、问题描述若平面真空中存在若干点电荷，记为Ql、Q2、Q3Qn,根据电势叠加原 理，可得到这个点电荷系所激发的电场中某点P的电势为式中:ri为点电荷Qi到p点的距离。建立平面直角坐标系，设p点坐标为 (x, y), Qi所在位置的坐标为(Xi, yi),对于某一确
2、定的p点，可令Up=c, c为某一定值，那么上式可改写为7 , 二二Cj=i J(%)2+(y_y.)2实际上，满足上式的p点不止一个，因此方程是点电荷系产生电场中电势 恒为c的一个等势面方程。如果c取不同的值，可以得出不同的等势面。根据 等势面的画法要求，一般按等差数列的变化对c取值，并由上式得到一系列的 等势面方程。结合等势面方程，用Matlab编写程序绘出等势面，再根据电场线垂直于等 势面，对电势求梯度，即可描绘出电场线。以三个点电荷为例，电荷量分别为QI、Q2、Q3,对应坐标为(xl, yl)(x2, y2)、(x3, y3),于是，由上 式得到某一点p(x, y)的电势为Up - k
3、Q，+J(x 西尸十一%)2(.一丁2)2 + (y _.)2J(%X3)2+(y - %)2三、MATLAB实现过程程序主要用到如下MATLAB函数linspace：用法：Iinspace(xl,x2/N)功能：linspace是Matlab中的一个指令，用于产生xl,x2之间的N点行矢量。 其中xl、x2、N分别为起始值、终止值、元素个数。若缺省N,默认点数为 100 omeshgrid：meshgrid (x, y)的作用是分别产生以向量x为行，向量y为列的两个大小相同的矩 阵。gradient：Fx,Fy=gradient(x),其中Fx为其水平方向上的梯度，Fy为其垂直方向上的梯度，
4、Fx 的第一列元素为原矩阵第二列与第一列元素之差，Fx的第二列元素为原矩阵第三列与 第一列元素之差除以2,以此类推:Fx(i5j)=(F(i,j4-1)-F(iJ-1)/2o最后一列则为最后两列 之差。同理，可以得到Fy。streamline：streamline(X,Y,Z,U,V,W,startx,starty,startz)绘制三维向量(U,V,W)的流线型矢量场。(X,Y,Z)定义了矢量(U,V,W)的坐标，而且(X,Y,Z) 必须是三维的数据网格。(startx,starty,startz)定义了这些流线的起点。代码如下：cicclear%第一个点的横纵坐标x1=-1;yi=o；%第
5、二个点的横纵坐标x2=1;y2=o；%第三个点的横纵坐标x3=0;y3=i;%三个点电荷的带电量q1=1；q2=1；q3=1;k=9e10; %静电常量xm=5;ym=5;x=linspace(-xm,xm,100);y=linspace(-ym,ym,100);X Y=meshgrid(x,y);U=k*q1 ./sqrt(X-x1 ).A2+(Y-y1 ).A2)+k*q2./sqrt(X-x2).A2+(Y-y2).A2)+k*q3./sqrt(X-x3).A2+(Y-y3).A2);colormap(0 0 0);contour(x,y,U,100)axis equalhold onE
6、x Ey=gradient(-U);dth1=20/abs(q1);th1 =(dth1 :dth1:360)*2*pi/360;r0=0.1;x1=r0*cos(th1)+x1;y1=rO*sin(th1)+y1;x2=r0*cos(th1)+x2;y2=r0*sin(th1)+y2;x3=r0*cos(th1)+x3;y3=r0*sin(th1)+y3;streamline(X,Y,Ex,Ey,x1 ,y1)streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2)streamline(X,Y,Ex,Ey,x3,y3)四、运行结果1）三个电荷都是+1的时候，电场线和等势面如图所示3) 一个电荷都是+1,两个是-1的时候，电场线和等势面如图所示