《2024年第四届圆梦杯统一模拟考试(四)数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年第四届圆梦杯统一模拟考试(四)数学试题含答案.pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 学科网（北京）股份有限公司 2024 年普通高等学校招生年普通高等学校招生“圆梦杯圆梦杯”统一模拟考试（四）统一模拟考试（四）数数 学学 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必答卷前，考生务必将将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试指定位置上自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试指定位置上 2回答回答选择题选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用动，用橡皮橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡答题卡上写在上写在本
2、试卷上无本试卷上无效效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知集合223Mx xx=，2xNy y=，则MN=（）A()1,1 B()0,+C0,3 D(0,3 2在复平面内，()()1 i23i+对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知直线:(0)l yxm m=+与22:(1)2Cxy+=交于A，B两点，若2AB=，则m=
3、（）A1 B2 C21 D31 4已知命题p：“tan2=”，命题q：“3cos25=”，则命题p是命题q的（）A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5已知2log 3a=，3log 5b=，32c=，则（）Aabc Bacb Cbca Dcba与双曲线22222:1(0)xyCmmb=有公共焦点，记1C与2C在x轴上方的两个交点为A，B，过1C的右焦点作x轴的垂线交2C于M，N两点，若4 33ABMN=，则1C的离心率为（）A37 B23 C45 D32 学科网（北京）股份有限公司 8已知函数()()f xsinx=+（0，2），如图，A，B，C是曲线(
4、)yf x=与坐标轴的三个交点，直线BC交曲线()yf x=于点M，若直线AM，BM的斜率分别为37，3，则=（）A2 B C2 D4 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9在某市高三年级等行的一次数学期末考试中，为了解考生的成绩情况，随机抽取了 50 名考生的成绩，作出的频率分布直方图如图，成绩排在前10%的学生将获得“优秀学生”称号，则（）A估
5、计该市考生的成绩低于 60 分的比例为16%B估计该市考生成绩的众数为 60 C估计该市考生成绩的平均数为 70.6 D估计该市 82 分以上的考生将获得“优秀学生”称号 10记函数()nfx的导函数为()1nfx+，已知()21exfxx=，若数列 na，nb满足()()2exnnnfxxa xb=+，则（）A na为等差数列 B nb为等比数列 C50314849nnb=D82nanb 11已知抛物线2:E yx=，O为坐标原点，过()1,0A作x轴的垂线交直线ykx=于点B，点C满足 学科网（北京）股份有限公司 2OBBC=，过B作x轴的平行线交E于点P（P在B的右侧），若3OPCOBA
6、=，则（）ABCCP=BBPCP=C1sin4COP=DOPC的面积为156 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知向量a，b的夹角为3，若2b=，2 7ab+=，则a=_ 13已知三棱锥PABC的各顶点均在半径为 2 的球O表面上，60AOBAOC=，OBOC，则三棱锥OABC的内切球半径为_；若2 2AP=，则三棱锥OPBC体积的最大值为_ 14已知数列 na满足11enana+=，函数()ln1xf xx=+的极值点为0 x，若()0241lnxaa+=，则12aa+=_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，
7、共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤 15（13 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，111AAAB，ABBC，四边形11BCC B是菱形 （1）证明：11ACBC；（2）若133ABBCBC=，求二面角1BACC的正弦值 16（15 分）已知数列 na的各项均为正数，11a=，221nnnaaa+（1）若23a=，证明：13nna；（2）若10512a=，证明：当4a取得最大值时，121112naaa+，1a）（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x存在极值点0 x，证明：0 x随着a的增大而增大 18（17 分）某游
8、戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得一张卡片，共有“A”和“B”两种卡片，每位玩家的初始分数为 0，每获得一张“A”加 1 分，每获得一张“B”減 1 分已知某位玩家在一局游戏内共点击屏幕i次，设该玩家获得“A”的次数为iX，最终分数为iY（1）若玩家每次点击屏幕时，获得“A”和“B”的概率均为12，求3X的分布列与数学期望，并直接写出()iE X的值；（2）若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得“A”和“B”的概率计数器会记录玩家已经点击屏幕的次数n（初始值为 0），若n为偶数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“A”和“B”的概率均为12，若n为奇数，则玩家下一次点
9、击屏幕时，获得“A”的概率为23，获得“B”的概率为13求()iD Y 附：若随机变量1X和2X的取值是相互独立的，则()()()1212D XXD XD X+=+19（17 分）已知双曲线221:12yCx=与曲戟222:2()()6Cxmyn+=有 4 个交点A，B，C，D（按逆时针排列）（1）当0mn=时，判断四边形ABCD的形状；（2）设O为坐标原点，证明：2222OAOBOCOD+为定值；（3）求四边形ABCD面积的最大值 附：若方程4320 xaxbxcxd+=有 4 个实根1x，2x，3x，4x，则1234xxxxa+=，121 314232434 x xx xx xx xx x
10、x xb+=学科网（北京）股份有限公司 2024 年普通高等学校招生年普通高等学校招生“圆梦杯圆梦杯”统一考试统一考试 B 卷参考答案卷参考答案 一、单选题一、单选题 1D 2A 3C 4B 5C 6C 7D 8B 二、多选题二、多选题 9AC 10ACD 11BCD 三、填空题三、填空题 124 132 26；2 23 142 四、解答题四、解答题 15解：（1）1ABBBABABBC面11BBC CABBC 又111BCBCBC面1ABC，11ACBC（2）1120B BC=，建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,0B，()10,1,3C，()0,2,0C，()2,0,0A，()2
11、,0,0BA=，()12,1,3AC=，()10,1,3C C=，()0,3,1m=，()3,3,1n=，1 37cos72 7=，242 sin1 cos7=16解：（1）211nnnnaaaa+，设1 nnnaqa+=，12 nqqq，23a=，13q=，11112111 3nnnnaa q qqa q=（2）()31011291231512aa q qqq qqa=，129 8q qq，4a最大值为 8，当且仅当123456789q qqqqqqqq=时取等号 学科网（北京）股份有限公司 而12nqqq，129 2qqq=而10n 时，192nnqqq=，1112nnnaa q=，121
12、1 1111122 121212nnnaaa+=17解：（1）()1 1nfxax=+0a，()0fx，1101axa=，（）1a，()f x在1110,aa，111,aa+（）01a时，()1a，1a 时，()1a，即()ln10u aaa=+，而()11u aa=，显然()u a在()0,1，()1,+，()()10u au=成立！综上，0 x随a的增大而增大 18解：（1）3X的可能取值为 0，1，2，3，()311028P X=，()12131131C228P X=，()21231132C228P X=，()333113C28P X=，3X的分标列为 学科网（北京）股份有限公司 3X
13、0 1 2 3 P 18 38 38 18()313313012388882E X=+=，()122iiE Xi=（2）可以将奇数次抽奖和偶数次抽奖看作两个独立的二项分布且()2iiiiYXiXXi=当i为奇数时，第奇数次抽奖共进行12i+次，第偶数次抽奖共进行12i次，121 1,22iiYB+，121 2,23iiZB，而奇数次抽奖和偶数次抽奖相互独立，()()()1122244iiiiiD YDXiD XD YD Z+=+1 111 22171 41122223318 iii+=+=当n为偶数时()()2244iiiiD YD XD YD Z=+1122174112 2223318iii
14、=+=19解：（1）2222xy=，2 482xx=，2226xy+=，由222xy=，ABBCCDDA=且ABBC，ABCD为正方形（2）2222222222()622()64xmynynxmyny n+=+=，将2222yx=代入，由“公式”知12242121314232434224xxxxmx xx xx xx xx xx xm+=+=，22222222222212341234OAOBOCODxxxxyyyy+=+()()()2222234123412131423243438328xxxxxxxxx xx xx xx xx xx x=+=+学科网（北京）股份有限公司()223 42 24816mm=（3）记OAa=，OBb=，OCc=，ODd=当O在内部时，()12341sincsinsinsin2Sabbcdad=+()()12341902abbccdad+=()22222222122222abbccddaabcd+=()2222182abcd=+=当且仅当四边形ABCD为正方形()0mn=取等 当O在外部时，()()11sinsinsinsin822Sabbccdadabbccdad=+综上，四边形ABCD面积最大值为 8