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1、 第六章 计数原理6.16.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.推广:完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.1|分类加法计数原理知识点必备知识 清单破第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本
2、概念第六章计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.推广:完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.2|分步乘法计数原理知识点第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理3|分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较知识点分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是求完成一件事的不同方法种数不同点分类完成,类类相加分步完成,步步相乘每一类中的方法都能独立完成这件事每一步中的方法都不能独立完
3、成这件事注意点类类互斥,不重不漏步步连续,过程完整第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理知识辨析1.要完成一件事,如何选择用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理?2.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同吗?3.在分步乘法计数原理中,第2步的方法数是否受第1步不同方法的影响?4.在一次运动会上有四项比赛,冠军仅在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有43种还是34种?第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理一语破的一语破的1.看每一种方法是否能够独立完成这件事,如果每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事,那么应该用分类加法计数原理;
4、如果每类方案中的每一种方法只能完成这件事的一部分,那么应该用分步乘法计数原理.2.不可以.在分类加法计数原理中,分类的要求为互斥,即两类不同方案中的方法是不同的,若相同,则它只能在同一类方案中且只能算是一种方法.3.否.无论第1步采用哪种方法,与之对应的第2步都有相同的方法数.4.34种.要完成的一件事是“给比赛项目找冠军获得者”,因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况,所以根据分步乘法计数原理知共有34种不同的夺冠情况.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理关键能力 定点破1.合理选择两个计数原理求解利用两个计数原理解决计数问题时,首先要理解题意,弄清“完成哪件事”,怎
5、样做才算完成这件事,然后决定是分类还是分步.“类”用“+”连接,“步”用“”连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的完成,“步”则缺一不可.2.类中有步,步中有类从AD共有m1(m2+m3+m4)m5种方法.1|两个计数原理的选择与应用定点第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理从AB共有(m1m2m3+m4m5)种方法.3.两个计数原理的应用原则及方法(1)当涉及元素数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法.(2)当涉及元素数目很大时,一般有如下两种方法:直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理求解.间接法:先去掉限制条件,计算方法总数,然后
6、减去所有不符合条件的方法数即可.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理典例1 有6名同学报名参加3个智力竞赛项目.(1)若每人恰好参加一个项目,每个项目人数不限,则有多少种不同的报名方法?(2)若每个项目限报一人,且每人至多参加一个项目,则有多少种不同的报名方法?(3)若每个项目限报一人,但每人参加的项目个数不限,则有多少种不同的报名方法?第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理解析(1)根据题意得,每名同学都可以从3个智力竞赛项目中选1个参加,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为36=729.(2)根据题意得,第1个项目有6种选法,第2个项目有
7、5种选法,第3个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为654=120.(3)根据题意得,每个项目都可以从6名同学中选出1名参加,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为63=216.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理典例2 若从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字作为方程Ax+By=0中A,B的值,求该方程所表示的不同直线的条数.思路点拨思路一:思路二:第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理解析解法一:该方程所表示的不同直线的条数为1+1+43=14.解法二(间接法):根据分步乘法计数原理,A,B的值共有54=2
8、0种情况.当A=0,B=1,2,3,5时,表示同一条直线:y=0;当B=0,A=1,2,3,5时,表示同一条直线:x=0,即有6种情况是重复计数的.故该方程所表示的不同直线的条数为20-6=14.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理主编点评若问题从正面考虑情况比较多,而从反面考虑情况较少且容易计算时,宜采用间接法,即先求出方法总数,再减去不符合条件或重复计数的方法数,间接法体现了“正难则反”的思想.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理涂色问题是两个计数原理应用的典型问题,一般是指求用几种不同颜色给已知图形的不同区域(或点)涂色,共有几种涂法的问题
9、.涂色时需要关注的图形特征有区域的个数、区域的相邻情况、图形形状等.这些特征都有可能使分类的标准、分步的过程不同.涂色问题大致有两种解决方案:(1)选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,应用分步乘法计数原理进行计算;(2)先根据涂色时所用颜色种数进行分类处理,再在每一类的涂色方法数的计算中应用分步乘法计数原理,最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和,即得到最终的涂色方法数.2|涂色问题定点第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理典例 用红、黄、绿、黑四种颜色给如图所示的五个区域涂色,若要求相邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法?第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理思路点拨思路一(按区域涂色):思路二(按颜色种数涂色):第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理解析解法一:当B与D同色时,不同的涂色方法有43212=48(种);当B与D不同色时,不同的涂色方法有43211=24(种).故共有48+24=72种不同的涂色方法.解法二:第一类,用四种颜色,此时A,E同色或B,D同色,则有243211=48种不同的涂色方法;第二类,用三种颜色,此时A,E同色,且B,D同色,有43211=24种不同的涂色方法.由分类加法计数原理知,共有48+24=72种不同的涂色方法.