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1、二次根式的双重非负牲在解题中的运用式子五表示非负数。的算术平方根，它是一个非负数，而。是被开方数，它也是一个 非负数，这就是二次根式的双重非负性,这种双重非负性在数学中占有极其重要的位置，所 以在解题中一定要注意这两个隐含条件.现列举这一性质在几类试题中的运用，以供大家参 考.一、确定自变量的取值范围例1若下列式子有意义，试确定X的取值范围.(4) (J2x 5 - 5)解(1)依题意，得不等式组了一4x-30解这个不等式组，得工之3且xw4, 所以，x的取值范围为x23且x。4;fx+3 0依题意，得不等式组4,解这个不等式组得X2.所以x的取值范围为：x2;依题意，得不等式组,2一 x-4
2、w0解这个不等式组，得x2;2x-50(4)依题意，得不等式组1 W5解这个不等式组，得且xwl5;评注 初中数学中，对字母的取值有要求的主要有三种情况：(1)分式中的分母不能为 零;(2)二次根式中被开方数要大于等于零;(3)零指数幕的底数不能为零.抓住这三点就能准确 地求出自变量的取值范围.通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显形形态而成为 一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成.例2 (1)若等式求。的取值范围;若，f -2x+1+，%2一8%+16 =3,求x的取值范围；(3)若Jd +3f = -xJx+3 ,试求x的取值范围解(1)Q = 2O,又/0, a/. 1-6/0
3、, :.al.又 Q。w 0,/. a的取值范围为:a且aw0;(2) Q Jx2 - 2x +1 + dx- - 8x+16 yl(xI)2 + yj(x4) x + x4当光1时，原式=1 x+4x = 5 2 光；当lx4时，原式=x1+x4 = 2x5;.x的取值范围为1X-3,x的取值范围为一3x0解这个不等式组，得工=,，.,.y = 3, 21 a.7=（）-3 = 8 .2原方程可以变形为Jl + X + J（1 -）3 = 0,l + x = 0,.x = -l, y = l,1y = 0/U y20U = _2.评注 解决此类题用到了 “几个非负数的和为零，那么每一个加数一
4、定为零”和“如果 被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为 零”.三、化简对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形：L默认条件例 4 & 8/b2c = 3abyac.这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数.2 .给定条件例 5 若x2,化简:-8x+16- J/ -4九+4解 原式=Jq_4)2 _ J(x_2)2=k_4卜4_2 .Q x 2 ,则 x-4v0, x-2 0,/0,原式=1y（-y） = y J-y = yy/y 评注 由于受思维定势的影响，学生见惯了被开方数是没有带负号正数的情况，而对于 被开方数是
5、-Q这种形式的正数不习惯，这就需要教师注重发挥学生想象力，不断积累经验. 解决这类问题关键一定要抓住二次根式的双重非负性质来解决，才能找到突破口，从而化难 为易.四、分类讨论例 7 化简:|2x-4|- /x2 -6x+ 9.解 原式= |2x_4|_|x 3当x42时，原式=4 2x (3 x) = 4 2x 3 + x = l x ;当2Vx3时，原式= 2x-4-(x-3) = 2x-4-x+3 = x-1.例8化简:J-al .解原式=b yj-ab.当。0时，原式=-/-0, a0时，原式= )Ja .评注 分类的思想方法是初中数学中一种重要的数学思想方法.我们要按照新课程标准 的要求，巧妙地借助数轴进行分区间讨论，那么复杂抽象的问题也能化难为易，顺利得解.