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1、三角函数、平面向量及其应用与复数综合练习(一)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若复数是纯虚数,则( )A. B.2 C. D.42.已知向量,满足,则()A.30B.45C.60D.903.在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,记,则()A. B. C. D.4.将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度,再把得到的曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则( )A. B. C. D.5.已知,在钝角中,则的取值范围是( )A. B. C. D.6.已知函数f(x)=Asin(x+)+k(A0,
2、0,|0,所以=2由f(6)=2sin(26+)+1=3,可得3+=2+2k,kZ,即=6+2k,kZ.因为|2,所以=6,故f(x)=2sin(2x+6)+1,g(x)=2sin(2x6)+1因为x(6,23),所以2x6(6,76),故g(x)(0,3【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点,利用向量的数量积的定义可以证明A正确;利用向量的数量积的运算法则可以即,在一般三角形中易知这是不一定正确的,由此可判定B错误;利用三角形中线的定义,线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确;利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直,从而说明D正确.7.B解析:如图,设AB中点为M,
3、则,故A正确;等价于等价于,即,对于一般三角形而言,是外心,不一定与垂直,比如直角三角形中,若为直角顶点,则为斜边的中点,与不垂直,故B错误;设的中点为,则,E,F,G三点共线,即,故C正确;,与垂直,又,与共线,故D正确.故选B.8.A解析:由,如图设,即是的重心同理可得,所以故选9.BCD 10.BC解析:因为2ac=cosCcosB,b=1,所以2acb=cosCcosB由正弦定理知2sinAsinCsinB=cosCcosB,化简得2sinAcosBsinCcosB=cosCsinB,所以2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sinA.因为A(0,)
4、,所以sinA0,所以cosB=12.又因为B(0,),所以B=3由1tanA+1tanC=23,可得cosAsinC+sinAcosCsinAsinC=23,所以sin(A+C)sinAsinC=sin(B)sinAsinC=sinBsinAsinC=23,所以sin2BsinAsinC=23sinB=3由正弦定理可得b2=3ac,即ac=13.故ABC的面积为12acsinB=121332=312由余弦定理知b2=1=a2+c22accosB=a2+c2ac=(a+c)23ac,所以(a+c)2=2,a+c=2,故ABC的周长为2+111.ABC解析:以为原点,为轴正方向建立平面直角坐标系
5、,设,则,设,则,因为,所以,所以,即,对于选项A,因为为线段上的中点,所以,故,A正确;对于选项B,当时,取最大值为,B正确;对于选项C,因为,所以,的取值范围为,C正确;对于选项D,所以,所以的取值范围为,D错误.故选ABC.12.1113.解析:因为,则,因为,则,所以,则故答案为14.解析:AE,AF,则,令,1,故当t时,max15.解:(1)由得,即 ,所以,得,又,所以;(2)因为,所以所以,则,由得,由与与的夹角为锐角,所以16.解:(1),即,解得故不等式的解集为.(2)由题意可得且,可得,则,故的取值范围为17.解析:(1)设函数的最小正周期为,因为函数的图象过点,所以,所
6、以,又,所以,所以,因为,所以,所以;(2)因为,化简可得,又,所以,令可得,所以函数的单调递增区间为(3)因为,所以,所以,因为,所以,所以,故所以,所以函数,的值域为.18.解析:(1)函数,因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为,所以,可得,所以.(2)将函数的图象向右平移个单位长度,可得的图象,再把横坐标缩小为原来的,得到函数的图象,由方程,即,即,因为,可得,设,其中,即,结合正弦函数的图象,可得方程在区间有5个解,即,其中,即,解得,.所以.所以为5,为.19.解析:(1).的最大值是,由于图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形,所以,由于是的一个对称中心,所以,所以,由于,所以,则,由,解得,由于,所以的单调递减区间是和.(2),所以,依题意,在时有零点,即方程在时有解,即在时有解,所以学科网(北京)股份有限公司