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1、三角函数、平面向量及其应用与复数综合练习（二）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.欧拉公式ei=cos+isin把自然对数的底数e、虚数单位i和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数z=ei20221i1+i，则|z|=()A.22B.2C.12D.12.已知是半径为1的圆上的两个动点，则的夹角的余弦值为（）A. B.C. D.3.在中，若，则角C等于（）A. B.C. D.4.如图是函数的部分图像，则（ ）A. B. C. D.5.已知平面向量，若是直角三角形，则的可能取值是（ ）A.2 B
2、. C.5 D.6.已知函数，下列说法不正确的是（ ）A.在区间上单调递减B.的最小正周期为C.图象关于对称D.的最小正周期为7.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足若为锐角三角形，且a=3，则当面积最大时，其内切圆面积为（）A.B.C.D.8.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（ ）函数的最小正周期为；是函数图象的一个对称中心；函数图象的一个对称轴方程为；函数在区间上单调递增A.1B.2C.3D.4二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部
3、分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知平面向量，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则向量在上的投影向量为D.若，则向量与的夹角为锐角10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是A.若acosAbcosB，则ABC一定是等腰三角形B.若AB，B45，AC3，则满足条件的三角形有且只有一个C.若ABC不是直角三角形，则tanAtanBtanCtanAtanBtanCD.若，则ABC为钝角三角形11.已知函数，下列关于该函数结论正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的一个周期是C.的最小值是D.在区间是减函数三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共1
4、5分）12.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值等于_13.已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为_.14.窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形，且E，F，G，H分别是，的中点，则的值为_.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）在锐角中，角
5、所对的边分别是，满足.(1)求证：；(2)求的取值范围.16.（15分）一年之计在于春，春天正是播种的好季节小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些计划如图，是边长为米的正方形菜园，扇形区域计划种植花生，矩形区域计划种植蔬菜，其余区域计划种植西瓜分别在上，在弧上，米，设矩形的面积为（单位：平方米）（1）若，请写出（单位：平方米）关于的函数关系式；（2）求的最小值17.（15分）已知函数f(x)=2sin(12x)cos(12x+)，0，|2(1)当=2，=3时，求f(x)的单调递增区间;当x0,2时，关于x的方程10f(x)2(10m+1)f(x)+m=0恰有4个不同的实数根，求m的取值范围(
6、2)函数g(x)=f(x)+sin，x=4是g(x)的零点，直线x=4是g(x)图象的对称轴，且g(x)在(18,536)上单调，求的最大值18.（17分）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足(1)求角A；(2)若，求面积的最大值；(3)求的取值范19.（17分）已知是定在上的函数，且满足.（1）设，若，求的值域；（2）设，讨论（为常数，）在上所有零点的和.参考答案：1.B2.C3.A4.B解析：有图可知：；，且，附近函数是递减的；当时，当时，为减函数，附近函数是递减的；，故选B.5.A解析：，则，当是直角顶点时：，；当是直角顶点时：，无解；当是直角顶点时：，；综上所述：或.故选
7、A6.C解析：，作出函数图象：可得，该函数的最小正周期为，选项B正确；图像不关于对称，选项C错误；在区间上单调递减，选项A正确；因为，所以是函数的周期，选项D正确；故选C7.D解析：，则，整理得，则，为锐角三角形，则，故，由面积为，可得当面积取到最大值，即为取到最大值，即，即，当且仅当，即为等边三角形时等号成立，故当为等边三角形时，面积取到最大值，设的内切圆半径为，则，解得，故内切圆面积为.故选D.8.B解析：函数的图象向右平移 个单位, 得到 的图象,再将函数 的图象上的所有点的横坐标变成 原来的, 得到的函数关系式对于函数 的最小正周期为, 故错误;对于当 时, 故 是函数图象的一个对称中
8、心，故正确;对于令, 整理得, 函数 图象的对称轴 方程不为, 故错误；对于由于, 所以, 故函数 在区间 上单调递增, 故正确. 故选B.9.AB解析：若，根据平面向量共线性质可得，即，所以A正确；若，可得，即，解得，所以B正确；若，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，即C错误；若，则，所以；但当时，即此时向量与的夹角为零角，所以D错误.故选AB10.BC解析：若acosAbcosB，则sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，AB或AB，ABC是等腰三角形或直角三角形，A错误；因为3，满足条件的三角形有且只有一个，B正确；tanAtanBtanC tanAtanBtan
9、C，故C正确；，B是锐角，故无法判断ABC是否为钝角三角形，故D错误11.BD解析：对于A，故选项A错误；对于B，故选项B正确；对于C，若f(x)最小值为2，则此时1cosx1，也即，故选项C错误；对于D，在上是减函数，且，在区间上是减函数，在区间上是增函数，且，在区间上是减函数，故选项D正确故选BD12.1解析：由题可得，.故答案为1.13. 解析：因为，所以.又因为为的外心，所以为直角三角形且为斜边的中点，过作的垂线，垂足为.因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量为，而，所以，因为，所以，即的取值范围为.14.0解析：如图所示，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立直角坐标系.
10、延长与交于点I，故I为中点.直线，同理可得：直线，直线；解得：，故，.故答案为0.15.解析：（1）由及余弦定理得，由正弦定理得：，又，都是锐角，即.（2）令，由（1）得，在锐角三角形中，即，解得，令，又函数在上单调递增，故的取值范围是.16.解析：（1）延长交于，则米，米，则米，米，.（2）由（1）得：，令，则，当时，即当时，矩形面积的最小值为平方米17. 解析：(1)f(x)=2sinxcos(x+3)=2sinx(12cosx32sinx)=12sin2x+32cos2x32=sin(2x+3)32令2k22x+32k+2，kZ，解得k512xk+12，kZ.故f(x)的单调递增区间为k
11、512,k+12(kZ)当x0,2时，f(x)在0,12上单调递增，在12,2上单调递减，f(0)=0，f(12)=132，f(2)=3，故当t0,132)时，f(x)=t有2个不同的实数根由10f(x)2(10m+1)f(x)+m=0，可得f(x)=110或m因为f(x)=110有2个不同的实数根，所以f(x)=m有2个不同的实数根，且m110故m的取值范围为0,110)(110,132).(2)由题意可得f(x)=sin(x+)sin，g(x)=sin(x+).因为x=4为g(x)的零点，直线x=4为g(x)图象的对称轴，所以4+=k1，4+=k2+2，k1，k2Z.得，2=(k2k1)+
12、2，所以=2(k2k1)+1因为k1，k2Z，所以=2n+1(nN)，即为正奇数因为g(x)在(18,536)上单调，则53618=12T2，即T=26，解得12当=11时，114+=k，kZ.因为|2，所以=4，此时g(x)=sin(11x4).当x(18,536)时，(11x4)(1336,2318)，所以当x(18,344)时，g(x)单调递增，当x(344,536)时，g(x)单调递减，即g(x)在(18,536)上不单调，不满足题意当=9时，94+=k，kZ.因为|2，所以=4，此时g(x)=sin(9x+4).当x(18,536)时，(9x+4)(34,32)，此时g(x)在(18
13、,536)上单调递减，符合题意故的最大值为918.解析：（1）由，根据正弦定理得：，又，代入上式得：，又，所以，又，所以；（2）由余弦定理得：代入得：根据基本不等式得：当且仅当时，等号成立，的面积为：故面积的最大值为.（3）根据正弦定理得：,令，得：，令，则将原式化为：，根据二次函数的图像性质得到，当时，原式取得最小值，当时，原式取得最大值，故的取值范围为19.解析：（1）由题意，所以，当时，在上单调递增，且，则；当时，在上单调递增，在上单调递减，且，则.综上，时，的值域为.（2）由题意，所以，因为，所以函数是以为周期的周期函数.设化为.由于必有两个实数根，设为，由得无解，即至少一个在内.当只有一个在内时，解得或.若，则，得，在内，有两个根，且，故在上所有零点的和为；若，则，得，在内，有两个根，且，所以在上所有零点的和为.当时，此时.在内，共有三个根，且，则在上所有零点的和为.当时，此时.在内，共有三个根，且，则在上所有零点的和为.当时，得.在内，有两个根且有两个根且，则在上所有零点的和为.综上，当时，在上所有零点的和为；当时，在上所有零点的和为；当时，在上所有零点的和为；当时，在上所有零点的和为；当时，在上所有零点的和为学科网（北京）股份有限公司