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1、高三数学试题 第 1 页（共 8 页）参照秘密级管理启用前 淄博市 20232024 学年度高三模拟考试 数数 学学 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、二、选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C D D B B C A BCD BD ACD 三、填空题答案 12 2.13 4048.14.b
2、ca.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 解：（1）ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，在ABC中由余弦定理得2222cosBCABACAB ACCAB，即2264cbb c，2 分 因ABCABPACPSSS，即32323222222bccb，整理得22b cbc,4 分 解得22 65b c，所以31952ABCS 5 分（2）因为2AP，4CP，3PAC，所以在APC中由余弦定理可得2222cosCPAPACAP ACCAP，所以21642ACAC 解得113AC ，7 分 高三数学试题 第 2 页（共 8 页）由正弦定理得
3、sinsinAPPCCCAP，即24sin32C，解得3sin4C，所以213cos1sin4CC 9 分 393sinsin()sincoscossin8BBACCBACCBACC，10 分 ABC中由正弦定理得sinsinACBCBBAC，则113393382BC，解得142 133BC 12 分 所以142 1322 13433PBBCPC 13 分 16.解：(1)当点G为DE中点时，面ABC 面AFG，证明如下：1 分 因为四棱锥ABCDE是正四棱锥，所以ADAE，AGDE 在正方形BCDE中，/DEBC，所以AGBC，2 分 在正方形BCDE中，CDBC，因为/AFCD，所以AFB
4、C，3 分 高三数学试题 第 3 页（共 8 页）因为AFAGA，,AF AG 面，所以BC 面AFG，4 分 因为BC 面ABC，所以面ABC 面AFG 5 分(2)连接BD,CE交于点O，连接,AO OG，则/AFOG，又因为四棱锥ABCDE是正四棱锥，所以AO 面BCDE,所以四边形AOGF为矩形，AFFG，又AFDE，DEFGGAF面DEF，7 分 又3FGAO,A FDEV11 3 2 193 2 333222FDEAF S,设点F到面ADE的距离为h,92F ADEA FDEVV，即2139(3 2)342h,3h.所以，点F到面ADE的距离为3.10 分(3)因为四棱锥ABCDE
5、是正四棱锥，所以,OC OD OA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,3),(0,3,0),(3,0,0),(0,3,0),(1,1,3)ABCDF，11 分 所以(0,3,3),(3,0,3),(1,2,3),BACADF 设平面ABC的法向量为(,)nx y z，则有330330n BAyzn CAxz，高三数学试题 第 4 页（共 8 页）取1z，则1,1yx，故(1,1,1)n，13 分 设直线DF与平面ABC所成角为,则42 42sin|21|143DF nDFn,所以直线DF与平面ABC所成角的正弦值为2 4221.15 分 17 解：（1）当0,x
6、时，cos0 xfxex，f x在区间0,的单调递增.3 分（2）令()cosxH xfxex，则 sinxHxex.4 分 当2x，时，cos0 xfxex，f x单调递增，6 分 又10fe，202fe，7 分 所以 f x在区间2，上恰有 1 个零点.8 分 当02x，时，sinxHxex单调递增，9 分 又2102He ，010H，10 分 所以存在002x，使得00Hx，且当0,2xx 时，0Hx；0,0 xx时，0Hx，高三数学试题 第 5 页（共 8 页）故 fx在0,2x上单调递减，在0,0 x上单调递增.12 分 又202fe，00fx，00f，13 分 所以存在102x，使
7、得 f x在1,2x单调递增，在1,0 x上单调递减,又202fe，00f，所以 f x在区间02，上恰有 1 个零点.综上，函数 f x在区间0，上有且仅有两个零点 15 分 18 解：（1）零假设：0H体育锻炼频率的高低与年龄无关，由题得22列联表如下：青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 2 分 22400125 10575 959.0916.635200 200 220 180，4 分 根据小概率值0.01的独立性检验推断0H不成立，即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01
8、 5 分（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的 8 人中，年龄在30,40)，50,60内的人数分别为 1，2，依题意，的所有可能取值分别为为 0，1，2，6 分 高三数学试题 第 6 页（共 8 页）所以3115238538CC C(0)(0,0)(1,1)CC5206PP XYP XY，212525333888C CC1(1)(0,1)(1,0)(1,2)CCC5631PP XYP XYP XY，1538C5(2)(0,2)C56PP XY，9 分 所以的分布列为：0 1 2 P 2056 3156 556 所以的数学期望为 203154101+2.56565656E .12 分（3）记
9、小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件,A B C，星期天选择跑步为事件D 则 111,333P AP BP C，12,5332,P D AP D BP D C，14 分 所以 P DP A P D AP B P D BP C P D C 111212335331573P D 所以小明星期天选择跑步的概率为715.17 分 19 解：（1）设,P x y，则PF的中点5,22xyG，1分 高三数学试题 第 7 页（共 8 页）根据题意得112OGPF，3 分 即22225151222xyxy，整理得2222|55|2xyxy，4 分 化简整理，得点P的轨迹方程22:14yC x
10、5 分（2）设1122,S x yT xy，由对称性可知直线ST的斜率存在，所以可设直线:ST ymxn，6 分 联立直线ST与曲线C的方程，得2214yxymxn,消元整理，得22242(4)0(2)mxmnxnm，则22040nm，212122224,44mnnxxx xmm，8 分 所以11:11yAS yxx，令0 x，得点M纵坐标111ytx，同理可得点N纵坐标2241ytx ，10 分 故1212411yyxx，11 分 将1122,ymxn ymxn代入上式整理，得 1212244420mx xnmxxn，将代入得22222020mmnnmnmnmn，13 分 高三数学试题 第 8 页（共 8 页）若0mn，则直线:1STym x，恒过1,0A不合题意；14 分 若20mn，则:12STym x，恒过1,2Q，15 分 因为直线ST恒过1,2Q，且与22:14yC x 始终有两个交点，又1,0A，AHST，垂足为 H，所以点 H轨迹是以AQ为直径的圆（不含点A），16 分 设AQ中点为 E，则圆心1,1E，半径为 1，所以121OHOE，当且仅当点 H在线段OE上时，OH取最大值2 1 17 分