《创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题32 导数的简单应用.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题32 导数的简单应用.doc(26页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、微专题32导数的简单应用高考定位1.考查函数的切线问题.2.考查函数的单调性、极值、最值问题.1.(2020全国卷)若直线l与曲线y和圆x2y2都相切,则l的方程为()A.y2x1 B.y2xC.yx1 D.yx答案D解析易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykxb,则,设直线l与曲线y的切点坐标为(x0,)(x00),则y|xx0xk kx0b. 由可得b,将b,kx代入得x01或x0(舍去).所以kb,故直线l的方程为yx.2.(2022全国甲卷)当x1时,函数f(x)aln x取得最大值2,则f(2)()A.1 B. C. D.1答案B解析因为函数f(x)的定义域为(0,),所以依题意
2、可知而f(x),所以即所以f(x),因此函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,当x1时取最大值,满足题意.所以f(2)1.故选B.3.(2022全国乙卷)函数f(x)cos x(x1)sin x1在区间0,2的最小值、最大值分别为()A., B.,C.,2 D.,2答案D解析f(x)cos x(x1)sin x1,x0,2,则f(x)sin xsin x(x1)cos x(x1)cos x,x0,2.令f(x)0,解得x1(舍去),x或x.因为f()cos (1)sin 12,f()cos (1)sin 1,又f(0)cos 0(01)sin 012,f(2)cos 2(2
3、1)sin 212,所以f(x)maxf()2,f(x)minf().故选D.4.(2021全国乙卷)设a2ln 1.01,bln 1.02,c1,则()A.abc B.bcaC.bac D.ca0时,x1,故当x0时,f(x)0,所以f(x)在(0,)上单调递减,所以f(0.02)f(0)0,即bc.ac2ln 1.011,设g(x)2ln(x1)1,则acg(0.01),g(x),当0xx1,故当0x0,所以g(x)在(0,2)上单调递增,所以g(0.01)g(0)0,故ca,从而有bc0时,曲线yln x过原点的切线方程,设切点为(x0,y0),则由y,得切线斜率为,又切线的斜率为,所以
4、,解得y01,代入yln x,得x0e,所以切线斜率为,切线方程为yx.同理可求得当x0时的切线方程为yx.综上可知,两条切线方程为yx,yx.热点一导数的几何意义1.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux.2.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上,又在曲线上. 例1 (1)(2022河南名校联考)已知f(x)axacos x(aR),则曲线yf(x)在点(0,2)处的切线方程为()A.xy20 B.xy20C.2xy20 D.2xy20(2
5、)(2022兰州诊断)已知f(x)ex1(e为自然对数的底数),g(x)ln x1,则曲线f(x)与g(x)的公切线条数为()A.0 B.1 C.2 D.3(3)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线yln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(e,1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是_.答案(1)A(2)C(3)(e,1)解析(1)因为点(0,2)在曲线上,所以f(0)acos 02,于是a1,所以f(x)xcos x1,则f(x)1sin x,则f(0)1,故所求切线方程为y2x0,即xy20.(2)设直线l与曲线f(x)ex1相切于点(m,em1),与曲线g(x)ln x1相切于点(n
6、,ln n1),对f(x)ex1求导得,f(x)ex,则k1em,则直线l的方程为y1emem(xm),即yemxem(1m)1.对g(x)ln x1求导得,g(x),则k2,则直线l的方程为y(ln n1)(xn),即yxln n.由直线l是曲线f(x)与g(x)的公切线,得可得(1m)(em1)0,即m0或m1.则切线方程为yex1或yx,公切线有两条,故选C.(3)设A(m,n),y,则曲线yln x在点A处的切线方程为yn(xm).又切线过点(e,1),所以有n1(me).再由nln m,解得me,n1.故点A的坐标为(e,1).规律方法求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上,这
7、个点都不一定是切点),应先设切点的坐标,再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.训练1 (1)(2022南平联考)若直线yxm与曲线yex2n相切,则()A.mn为定值 B.mn为定值C.mn为定值 D.mn为定值(2)若直线ykxb是曲线yln x2的切线,也是曲线yln(x1)的切线,则b_.答案(1)B(2)1ln 2解析(1)设直线yxm与曲线yex2n相切于点(x0,ex02n),因为yex2n,所以ex02n1,x02n,所以切点为(2n,1),则12nm,故mn,为定值.(2)直线ykxb与曲线yln x2,yln(x1)均相切,设
8、切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由yln x2,得y;由yln(x1),得y.k,则x1,x21.y12ln k,y2ln k,即A,B.A,B在直线ykxb上,热点二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围,要注意导数等于零的情况. 考向1求函数的单调区间例2 (2022成都一诊改编)已知函数f(x)(x2)exx2ax,aR,讨论函数f(x)的单调性.解f(x)(x2)exx2ax,aR,f(x)(x1)exaxa(x1)(
9、exa).当a0时,令f(x)0,得x0,得x1,f(x)在(1,)上单调递增.当0ae时,令f(x)0,得ln ax0,得x1,f(x)在(,ln a)和(1,)上单调递增.当ae时,f(x)0在xR上恒成立,f(x)在R上单调递增.当ae时,令f(x)0,得1x0,得xln a或x1,f(x)在(,1)和(ln a,)上单调递增.综上所述,当a0时,f(x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增;当0ae时,f(x)在(1,ln a)上单调递减,在(,1)和(ln a,)上单调递增.考向2函数单调性的应用例3 (1)已知f(x)是定义在R上的减函数,其导函数f(x)满足0恒成立B.f(
10、x)0恒成立C.当且仅当x(,1),f(x)0答案A解析依题意f(x)0,且0.令g(x)(x1)f(x),则g(x)f(x)(x1)f(x)0,函数g(x)在R上单调递增.又g(1)0,故当x1时,g(x)0,f(x)0,当x1时,g(x)0.故f(x)0在R上恒成立.(2)(2022遵义二模改编)若函数f(x)xaln x,aR在其定义域内单调递增,求实数a的取值范围.解f(x)的定义域为(0,),f(x)1.由已知得f(x)0在(0,)上恒成立,可得x2ax10,即ax在(0,)上恒成立,又x2,当且仅当x1时等号成立,故实数a的取值范围为(,2.规律方法讨论函数的单调性一般可以归结为讨
11、论含有参数的一元二次不等式的解集(1)在能够通过分解因式求出不等式对应方程的根时,依据根的大小进行分类讨论.(2)在不能通过因式分解求出根的情况时,根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.训练2 (1)定义在(1,)上的函数f(x)满足x2f(x)10(f(x)为函数f(x)的导函数),f(3),则关于x的不等式f(log2x)1logx2的解集为_.答案(8,)解析由x2f(x)10,得f(x)0(x1),构造函数F(x)f(x),x(1,),则F(x)f(x)0,所以F(x)在(1,)上单调递增.不等式f(log2x)1logx2化为f(log2x)1.又F(3)f(3)1,故原不等式化为
12、F(log2x)F(3),从而log2x3,解之得x8.(2)(2022青岛质检)若函数f(x)x2axln x在区间(2,e)上单调递增,则a的取值范围是()A. B.C. D.e21,)答案B解析因为f(x)x2axln x,所以f(x)2xa,因为函数f(x)a2axln x在区间(2,e)上单调递增,所以f(x)2xa0在(2,e)上恒成立,即a2x在(2,e)上恒成立,令g(x)2x,x(2,e),所以g(x)2,x(2,e)时,g(x)0恒成立,所以g(x)2x在(2,e)上单调递增,又g(2),所以a.(3)(2022深圳模拟改编)已知函数g(x)ln x2x(aR),讨论g(x
13、)的单调性.解函数g(x)ln x2x的定义域为(0,),g(x)2(aR),方程2x2xa0的判别式18a.当a时,0,g(x)0,g(x)在(0,)上单调递增;当a时,0,方程2x2xa0的两根为x1,x2.()当a0时,x10,g(x)0,g(x)在(0,)上单调递增;()当a0时,x10x2,令g(x)0,可得0x0,可得xx2.综上所述,当a0时,g(x)在(0,)上单调递增;当a0时,g(x)在(,)上单调递增,在上单调递减.热点三利用导数研究函数的极值、最值1.由导函数的图象判断函数yf(x)的极值,要抓住两点(1)由yf(x)的图象与x轴的交点,可得函数yf(x)的可能极值点.
14、(2)由yf(x)的图象可以看出yf(x)的函数值的正负,从而可得到函数yf(x)的单调性,可得极值点.2.函数在闭区间a,b上一定存在最值,比较函数的极值与f(a),f(b),最大者是最大值,最小者就是最小值. 例4 (2022赣州质检)函数f(x)m(x3x22x1)exex(mR且e为自然对数的底数).(1)当m0时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在x1处取得极大值,求实数m的取值范围.解(1)当m0时,有f(x)exex,则f(x)exe,从而当x(,1)时,f(x)0;故函数f(x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,此时f(x)minf(1)0.(2)由f(x
15、)mexex,得f(x)m(x23x2)exe,记g(x)f(x),则g(x)m(2x3)ex,当m0时,g(x)0在(,1)上恒成立,故g(x)即f(x)在(,1)上单调递增,因为f(1)0,所以f(x)0时,g(x)在R上单调递增,又g(1)me,()当0g(1)0在(1,)上恒成立,故g(x)f(x)在(1,)上单调递增,因为f(1)0,所以f(x)0在(1,)上恒成立,从而函数f(x)在(1,)上单调递增,不合题意,()当me时,此时g(1)me0,故存在唯一x0,使g(x0)0,且当x(,x0)时,g(x)0;当x(1,x0)时,f(x)0,从而函数f(x)在(,1)上单调递增,在(
16、1,x0)上单调递减,即函数f(x)在x1处取得极大值,符合题意.综上,实数m的取值范围为(e,).规律方法已知函数的极值求参数时注意f(x0)0是x0为极值点的必要不充分条件,还要利用函数的单调性才能确定极值.训练3 (2022眉山二诊)已知函数f(x)(x1)exax.(1)当a0时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在0,)上的最小值为a,求a.解(1)当a0时,f(x)(x1)ex,f(x)xex.当x0时,f(x)0时,f(x)0.所以f(x)在x0处取极小值f(0)1,无极大值.(2)由题得f(x)xexa,x0,).当a0时,xex0,a0,故f(x)0,f(x)在0,)上单调递
17、增.所以f(x)minf(0)1a,解得a(舍去).当a0时,f(0)a0,且f(x)在0,)上单调递增,故f(x)在0,)上有唯一零点x0(0,a),且ax0ex0.当x0,x0),f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)minf(x0)(x01)ex0ax0(x01)ax0aa,即1x0,解得x0,a或x02,a2e2.综上,a的值为或2e2.一、基本技能练1.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x,则f(2)的值为()A. B. C. D.答案B解析f(x)x23xf(2)ln x,f(x)2x3f(2),令x2,得f(2)43f(2),解得f
18、(2).2.(2022“四省八校”质检)已知曲线yx在点(1,1)处的切线与直线x2y0垂直,则k的值为()A.1 B.1 C. D.答案A解析y1,由题意得y|x12,即12,解得k1.3.(2022渭南联考)函数f(x)ln x的图象在点(1,f(1)处的切线方程为()A.5x4y120B.5x4y20C.5x4y120D.3x4y40答案A解析法一因为f(x)ln x,所以f(x),所以f(1),f(1),所以切线的斜率为,所求切线方程为y(x1),即5x4y120.故选A.法二因为f(1),所以点在切线上,所以将点代入选项验证,排除BC;因为f(x)ln x,所以f(x),所以f(1)
19、,所以切线的斜率为,排除D.故选A.4.(2022合肥调研)若x2是函数f(x)ax2x2ln x的极值点,则函数f(x)()A.有最小值2ln 2,无最大值B.有最大值2ln 2,无最小值C.有最小值2ln 2,有最大值2ln 2D.无最大值,无最小值答案A解析由题设得,f(x)ax1且f(2)0,2a20,可得a1.f(x)x1且x0,当0x2时,f(x)2时,f(x)0,f(x)单调递增,f(x)有极小值(也是最小值)f(2)2ln 2,无极大值.综上,f(x)有最小值2ln 2,无最大值.故选A.5.已知f(x)为R上的可导函数,且xR,均有f(x)f(x),则以下判断正确的是()A.
20、f(2 023)e2 023f(0)B.f(2 023)f(x),g(x)0,即函数g(x)在(,)上单调递减,g(2 023)g(0),f(2 023)e2 023f(0).6.(2022百师联盟联考)已知点A是函数f(x)x2ln x2图象上的点,点B是直线yx上的点,则|AB|的最小值为()A. B.2 C. D.答案A解析f(x)的定义域为(0,).当与直线yx平行的直线与f(x)的图象相切时,切点到直线yx的距离|AB|最小.令f(x)2x1,解得x1或x(舍去),又f(1)3,所以切点(1,3)到直线yx的距离即为|AB|的最小值,|AB|min.故选A.7.(2022昆明诊断)已
21、知函数f(x)ln(mx)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为yxb,则不等式0f(x1)1的解集是_.答案(1,e)解析由题意可得f(x),因为函数f(x)ln(mx)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为yxb,所以f(0)1,即1,解得m1,所以f(x)ln(x1),则f(x1)ln x,又0f(x1)1,即0ln x1,解得1xe,所以不等式0f(x1)1的解集为(1,e).8.(2022成都蓉城名校联考)函数f(x)xsin xcos x3x2的极值点为_.答案0解析由已知得f(x)sin xxcos xsin x6xx(cos x6),当x0,当x0时,f(x)0,即函数f(x)
22、在(,0)上单调递增,在(0,)上单调递减,函数f(x)在x0处取得极大值.9.(2022广东广雅中学调研改编)已知函数f(x)ln xax在函数g(x)x22xb的单调递增区间上也单调递增,则实数a的取值范围是_.答案0,)解析函数g(x)x22xb的单调递增区间为1,),依题意得,函数f(x)在1,)上也单调递增,则f(x)a0在1,)上恒成立,即a在1,)上恒成立.令m(x),则m(x)在1,)上单调递增,又当x时,m(x)0且m(x)0,所以当x1,)时,1,0),所以a0.10.已知yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为yx1,且f(x)ln x1,则函数f(x)_,函数f(x)
23、的最小值为_.答案xln x解析由f(x)ln x1得f(x)xln xc,又f(1)0,则c0,所以f(x)xln x.又f(x)的定义域为(0,),x时,f(x)0,f(x)单调递增,则f(x)minf.11.(2021北京卷)已知函数f(x).(1)若a0,求yf(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数f(x)在x1处取得极值,求f(x)的单调区间以及最大值和最小值.解(1)当a0时,f(x),则f(x).当x1时,f(1)1,f(1)4,故yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为y14(x1),整理得4xy50.(2)已知函数f(x),则f(x).若函数f(x)在x1处取得极值
24、,则f(1)0,即0,解得a4.经检验,当a4时,x1为函数f(x)的极大值点,符合题意.此时f(x),其定义域为R,f(x),令f(x)0,解得x11,x24.f(x),f(x)随x的变化趋势如下表:x(,1)1(1,4)4(4,)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间为(,1),(4,),单调递减区间为(1,4).极大值为f(1)1,极小值为f(4).又因为x0;x时,f(x)0时,讨论函数的单调性.解函数定义域为(0,),f(x)2x2.(1)由已知得f(1)212a4,得a4.(2)f(x)2x2(x0),记48a,当0时,即a时,f(x)0,函数f(x)在(0,
25、)上单调递增;当0,即a0,故x2x10.当x(0,x1)(x2,)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,当x(x1,x2)时,f(x)0,函数f(x)单调递减.综上所述,当a时,函数f(x)在(0,)上单调递增;当a时,函数f(x)在,上单调递增,在上单调递减.二、创新拓展练13.(2022龙岩模拟)若直线ykxb是曲线y的切线,也是曲线yex1的切线,则kb等于()A. B.C. D.答案D解析设直线ykxb与曲线y相切于点P(x1,y1),yex2,k1ex12;直线ykxb与曲线yex1相切于点Q(x2,y2),yex,k2ex2,l1:yex12xex12x1ex12,l2:yex2
26、xex21x2ex2,x2ln 2,kbex2ex21x2ex21(ln 2).14.(2022太原模拟)已知f(x)ax2ex(a1)x,对任意x1,x2(0,)(x1x2),都有x2,因为a,所以f(x1)f(x2)a(x1x2),即f(x1)ax10),则g(x1)g(x2),所以g(x)在(0,)上单调递减,所以g(x)axex10在(0,)上恒成立.令h(x)g(x),则h(x)aex在(0,)上单调递减,所以h(x)ae0a1.当a1时,h(x)0,所以g(x)在(0,)上单调递减,所以g(x)1时,令h(x)0,得0xa0e010,不符合题意.综上,实数a的取值范围是a1.故选C
27、.法二取a0,得f(x)exx,f(x)ex10),所以函数f(x)exx在(0,)上单调递减,满足0,故排除BD.取a1,得f(x)x2ex2x,f(x)xex2,令h(x)f(x),则h(x)1ex0,所以f(x)在(0,)上单调递减,所以f(x)0),满足0.所以函数(x)在上单调递增,故(x)max(2)2e22.所以a2e22,故选B.16.设函数f(x)ax32x2xc(a0).(1)当a1,且函数f(x)的图象过点(0,1)时,求函数f(x)的极小值;(2)若f(x)在(,)上无极值点,求实数a的取值范围.解f(x)3ax24x1.(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时,有f(0)c1.当a1时,f(x)x32x2x1,f(x)3x24x1,由f(x)0,解得x1;由f(x)0,解得x0,f(x)0恒成立的充要条件是(4)243a10,即1612a0,解得a.显然,f(x)0不恒成立,综上,实数a的取值范围为.