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1、板块五函数与导数微专题29函数的图象与性质高考定位1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性.2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题.3.函数与方程思想、数形结合思想是重要的思想方法.1.(2022北京卷)已知函数f(x)，则对任意实数x，有()A.f(x)f(x)0 B.f(x)f(x)0C.f(x)f(x)1 D.f(x)f(x)答案C解析函数f(x)的定义域为R，f(x)，所以f(x)f(x)1，故选C.2.(2022全国甲卷)函数f(x)(3x3x)cos x在区间，的图象大致为()答案A解析法一(特值法)取x1，则y(3)
2、cos 1cos 10 ；取x1，则y(3)cos(1)cos 10.结合选项知选A.法二令yf(x)，则f(x)(3x3x)cos(x)(3x3x)cos xf(x)，所以函数y(3x3x)cos x是奇函数，排除B，D；取x1，则y(3)cos 1cos 10，排除C.故选A.3.(2020新高考山东卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A.1，13，)B.3，10，1C.1，01，)D.1，01，3答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0.又f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，画出函数f(x)的
3、大致图象如图(1)所示，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1，01，3.故选D.4.(2022新高考卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(xy)f(xy)f(x)f(y)，f(1)1，则f(k)()A.3 B.2 C.0 D.1答案A解析因为f(1)1，所以在f(xy)f(xy)f(x)f(y)中，令y1，得f(x1)f(x1)f(x)f(1)，所以f(x1)f(x1)f(x)， 所以f(x2)f(x)f(x1). 由相加，得f(x2
4、)f(x1)0，故f(x3)f(x)0，所以f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(xy)f(xy)f(x)f(y)中，令y0，得f(x)f(x)f(x)f(0)，所以f(0)2.令y1，x1，得f(2)f(0)f(1)f(1)，所以f(2)1.由f(x3)f(x)，得f(3)f(0)2，f(4)f(1)1，f(5)f(2)1，f(6)f(3)2，所以f(1)f(2)f(6)1121120，根据函数的周期性知，f(k)f(1)f(2)f(3)f(4)11213，故选A.5.(2022全国乙卷)若f(x)lnb是奇函数，则a_，b_.答案ln
5、2解析f(x)ln|a|b，若a0，则函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，不具有奇偶性，所以a0.由函数解析式有意义可得：x1且a0，所以x1且x1.因为函数f(x)为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，所以11，解得a，所以f(x)lnb，定义域为x|x1且x1.由f(0)0，得lnb0，所以bln 2，即f(x)lnln 2ln，在定义域内满足f(x)f(x)，符合题意.热点一函数的概念与表示复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为m，n，则在f(g(x)中，由mg(x)n，解得x的范围即为f(g(x)的定义域.(2)若f(g(x)的定义域为m，n，则由mxn得到g(x)的范
6、围，即为f(x)的定义域. 例1 (1)(2022南昌模拟)已知f(x)若f(a3)f(a2)，则f(a)()A.2 B. C.1 D.0(2)已知函数f(x)，则函数的定义域为()A.(，1)B.(，1)C.(，1)(1，0)D.(，1)(1，1)答案(1)B(2)D解析(1)作出函数f(x)的图象，如图所示，f(x)在(，0，(0，)上分别单调递增，由f(a3)f(a2)，得解得a2，则f(a)f(2).(2)令12x0，即2x1，即x0.f(x)的定义域为(，0).函数中，有解得x1且x1.故函数的定义域为(，1)(1，1).易错提醒(1)形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原
7、则.(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.训练1 (1)(2022银川调研)函数y的定义域为()A. B.C. D.(2)(2022山东名校联考)设函数f(x)则不等式f(x)2的解集为()A.0，3 B.(，3)C.(0，) D.0，13，)答案(1)A(2)A解析(1)要使函数有意义，则log0.5(4x23x)0log0.51，可得04x23x1，即解得x0或1时，由f(x)1log(x1)2得log(x1)1，即0x12，解得12，所以x5不符合题意，排除CD；因为f(3)1log(31)112，所以x3符合题意，排除B.选A.热点二函数的图象
8、1.作函数图象的方法：(1)描点法；(2)图象变换法.2.利用函数的图象可以判断函数的单调性、奇偶性，解不等式，求解函数的零点等问题. 例2 (1)(2022鄂东南名校联考)函数f(x)的大致图象为()(2)已知函数f(x)2xx1，则不等式f(x)0的解集是()A.(1，1)B.(，1)(1，)C.(0，1)D.(，0)(1，)答案(1)A(2)D解析(1)法一函数f(x)的定义域是(，0)(0，)，f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数，显然，选项BD不满足.令g(x)ex2x2x(x1)，g(x)ex2xln 22xln 2ex2xln 22x0，则g(x)ex2x2x在(1，)上单
9、调递增，即当x1时，g(x)e0，则有ex2x2x(x1)，因此当x1时，xln(2x2x)ln exln(2x2x)0，则当x1时，xln(2x2x)，从而得0，0b0，1b0C.a0，1b0 D.a0，0b1答案(1)A(2)D解析(1)对于选项B，当x1时，y0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x3时，ysin 30，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0x时，0cos x1，故y1，与图象不符，所以排除C.故选A.(2)由题图可知，f(0)2120，故0，故a0，函数f(x)2的图象关于直线xb对称，由题图可知，0bba B.bcaC.acb D.abc(2)(2022柳州三模)已
10、知函数f(x)是定义域为(，0)(0，)的奇函数，若对任意的x1，x2(0，)且x1x2，都有2x的解集为()A.(，1)(1，)B.(，1)(0，1)C.(1，0)(1，)D.(1，0)(0，1)答案(1)D(2)B解析(1)因为f(x)是定义域R的偶函数，afff(log23)f(log23)，bfff(log32)f(log32)，cf(3)f(3).又log231，log33log32log331，0331，即3log32bc.(2)由0，得x1x20，故g(x)f(x)在(0，)上单调递减，又f(x)是(，0)(0，)上的奇函数，y也是(，0)(0，)上的奇函数，故g(x)是(，0)
11、(0，)上的偶函数，不等式f(x)2x可化为或又f(1)g(1)2，则或因为偶函数g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)在(，0)上单调递增，则或即0x1或x1.考向2奇偶性、周期性、对称性例4 (1)设函数f(x)的定义域为R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当x1，2时，f(x)ax2b.若f(0)f(3)6，则f()A. B. C. D.(2)(2022全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)g(2x)5，g(x)f(x4)7.若yg(x)的图象关于直线x2对称，g(2)4，则f(k)()A.21 B.22 C.23 D.24答案(1)D(2)D解析(1
12、)由于f(x1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)f(2x)0，所以f(1)f(21)0，得f(1)0，即ab0.由于f(x2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x2对称，即有f(x)f(4x)0，所以f(0)f(3)f(2)f(1)4abab3a6.根据可得a2，b2，所以当x1，2时，f(x)2x22.根据函数f(x)的图象关于直线x2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以fff22.(2)由yg(x)的图象关于直线x2对称，可得g(2x)g(2x).在f(x)g(2x)5中，用x替换x，可得f(x)g(2x)5，可得f(x)f
13、(x).在g(x)f(x4)7中，用2x替换x，得g(2x)f(x2)7，代入f(x)g(2x)5中，得f(x)f(x2)2，可得f(x)f(x2)2，所以f(x2)f(x4)2，所以f(x4)f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.由f(x)g(2x)5可得f(0)g(2)5，又g(2)4，所以可得f(0)1，又f(x)f(x2)2，所以f(0)f(2)2，f(1)f(1)2，得f(2)3，f(1)f(1)1，又f(3)f(1)1，f(4)f(0)1，所以f(k)6f(1)6f(2)5f(3)5f(4)6(1)6(3)5(1)5124.故选D.规律方法(1)若f(xa)f(x)，其
14、中f(x)0，则f(x)的周期为2|a|.(2)若f(x)的图象关于直线xa和xb对称，则f(x)的周期为2|ab|.(3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线xb对称，则f(x)的周期为4|ab|.训练3 (1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1x)f(1x)，若f(1)9，则f(2 023)()A.0 B.9 C.3 D.9(2)(2022郑州二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，yf(x3)为偶函数，若f(x)在(0，3)内单调递增.记af(2 023)，bf(e1)，cf(ln 2)，则a，b，c的大小关系为()A.bca B.cbaC.acb D.ab2
15、时，f(x)exx2mx，则m的取值范围为()A.(，e48 B.(，e24C.e48，) D.e24，)答案(1)D(2)A(3)A解析(1)f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)，又由f(1x)f(1x)，得f(x)f(2x)，则有f(x2)f(x)，变形可得f(x4)f(x2)f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(2 023)f(15064)f(1)f(1)9.故选D.(2)因为f(x6)f(x)，所以函数的周期为6，因此af(2 023)f(33761)f(1)，ln elnlnln 21，因为0，所以0e1，所以0e1ln 21，而若f(x)在(0，3)内单调
16、递增，所以bc2时，f(x)exx2mx，所以f(x)exx2mx在(4，)上单调递增，所以f(x)ex2xm0在(4，)上恒成立，即m(ex2x)min，易知yex2x在(4，)上单调递增，所以ex2xe424e48，所以me48，所以m的取值范围为(，e48，故选A.一、基本技能练1.(2022重庆八中质检)已知函数f(x)的定义域为(0，)，则函数F(x)f(x2)的定义域为()A.(2，3 B.2，3C.(0，3 D.(0，3)答案A解析函数F(x)f(x2)有意义需满足解得20，排除A；f(2)0，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)ln xx B.f(x)x2xC.f(x)1x
17、2x D.f(x)2x2x答案D解析由题意可知，满足条件的f(x)在R上单调递增.因为f(x)ln xx的定义域为(0，)，f(x)x2x在R上有增有减，f(x)1x2x在R上单调递减，f(x)2x2x在R上单调递增，所以只有D符合题意.6.已知a0.50.2，blog0.50.2，clog52，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.bacC.cab D.cba答案C解析函数y0.5x在R上单调递减，而00.21，则0.510.50.20.50，即0.50.21，函数ylog0.5x在(0，)上单调递减，0.2log0.50.51，函数ylog5x在(0，)上单调递增，2，则0log52
18、log5，于是a1，0c，即ca0，则当3x1时，不等式xf(x)0的解集为()A.1，0)(0，1B.3，2)(0，1C.(2，1)(0，1D.(2，0)(0，1答案D解析当x1，x20，1，且x1x2时，0，f(x)在区间0，1上是增函数.f(x)是R上的奇函数，f(0)0，且f(x)在区间1，0上是增函数.当1x0时，f(x)0，当00.f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，且f(x)在区间1，3上是减函数.又f(x)f(x)f1(1x)f1(1x)f(2x)，f(4x)f2(2x)f(2x)f(x)，即函数f(x)的周期为4.f(x)在区间3，1上是
19、减函数，且f(2)0.综上所述，当3x1时，不等式xf(x)0的解集为(2，0)(0，1.10.(2022南平联考)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(2x)，当2x0时，f(x)单调递增，则()A.ff(2 023)fB.fff(2 023)C.ff(2 023)fD.fff(2 023)答案A解析因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，又f(x)f(2x)，所以f(x)f(2x)，所以f(x)f(x4)，即f(x)是周期为4的函数，则f(2 023)f(50543)f(1)f(1).因为，所以1tan ，ff(log32)f(log32)，0log321.因为f(x)为偶函数
20、，且当2x0时，f(x)单调递增，所以当0x2时，f(x)单调递减，故ff(1)f(log32)，即ff(2 023)0时，f(x)x22x3，则下列结论正确的个数是()|f(x)|2；当x0时，f(x)x22x3；直线x1是f(x)图象的一条对称轴；f(x)在(，1)上单调递增.A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析当x0，所以f(x)(x)22x3f(x)，所以f(x)x22x3，所以f(x)作出f(x)的图象如图所示.由图象可知f(x)(，22，)，所以|f(x)|2，故正确；当x0时，f(x)0，则实数a的取值范围为()A.2，0) B.1，)C.(1，0 D.0，1答案B解析设g(
21、x)x2axb，h(x)ln x，则h(x)在(0，)上为增函数，且h(1)0，若当x0时f(x)0，则满足当x1时，g(x)0，当0x0，a0，即a的取值范围是(，0.16.(2022郑州质检)黎曼函数是由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其基本定义为：R(x)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2x)f(x)0，当x0，1时，f(x)R(x)，则ff(lg 30)_.答案解析因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(2x)f(x)f(x2)f(x)0，即f(x2)f(x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.所以ff(lg 30)ff(2(1lg 3)ff(1lg 3)f.