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1、微专题7等和线、三角形四心、奔驰定理1.平面向量的等和线平面内一组基底，及任一向量，(，R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.(1)当等和线恰为直线AB时，k1，(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k(0，1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k(1，)；(4)当等和线过O点时，k0.2.三角形“四心”(1)点O是P1P2P3的重心，则有：0，SP2OP3SP1OP3SP1OP2SP1P2P3；(2)点O是P1P2P3的垂心，则有：，tan P1tan P2tan P30，SP2
2、OP3SP2OP1SP1OP2tan P1tan P2tan P3(P1P2P3不是直角三角形)；(3)点O是P1P2P3的内心，则有：abc0，SP2OP3SP3OP1SP1OP2abc(其中a，b，c是P1P2P3的三边，分别对应角P1，P2，P3)；(4)点O是P1P2P3的外心，则有：|，sinP2OP3sinP1OP3sinP1OP20，SP2OP3SP3OP1SP1OP2sin 2P1sin 2P2sin 2P3.3.奔驰定理如图，已知P为ABC内一点，则有SPBCSPACSPAB0.由于这个定理对应的图形和奔驰车的标志很相似，因此我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量
3、解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的作用.类型一利用等和线求基底系数和的值利用等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值. 例1 设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_.答案解析法一(通法)由题意作图如图.在ABC中，()12，1，2.故12.法二(利用等和线)如图，过点A作，连接DF.设AF与BC的延长线交于点H，易知AFFH，AFAH，因此12.训练1 (2022太原模拟)如图，在平行四
4、边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若(，R)，则等于()A.1 B. C. D.答案B解析法一(通法)E为线段AO的中点，()，则.法二(等和线法)如图，AD为值是1的等和线，过E作AD的平行线，设k，则k.由图易知，故选B.类型二利用等和线求基底系数和的最值(范围)求解步骤：(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或点的位置两个方面，计算最大值和最小值. 例2 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若xy(x，yR)，则xy的最大值是_.答案
5、2解析法一(通法)以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B，设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.法二(等和线法)如图所示，设xyk，则直线AB为k1的等和线，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OEAB，OA1，AOB，OE，则k2，即xy的最大值为2.训练2 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD2，点P是BCD内任意一点(含边界)，设，则的取值范围为_.答案解析法一(通法)分别
6、以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则(0，1)，(2，0)，设P(x，y)，(x，y)，(x，y)(0，1)(2，0)(2，)，xy，设zxy，则yxz，所以z是直线yxz在y轴上的截距，由图可知，当该直线过点B(1，1)时，它在y轴上的截距最大，为；和直线CD重合时，在y轴上的截距最小，为1，故z，即.法二(等和线法)如图，设k，则直线CD为k1的等和线，所有与直线CD平行的直线中，过点B的直线离点O最远，此时k的值最大，且此时k，易知ADDE1，故此时k，显然k的最小值为1，即.类型三利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题已知P为ABC内一点，且xyz0(x，y，zR
7、，xyz0，xyz0)，则有(1)SPBCSPACSPAB|x|y|z|；(2)，.例3 (1)已知O是ABC内部一点，满足2m0，且，则实数m等于()A.2 B.3 C.4 D.5(2)已知点A，B，C，P在同一平面内，则SABCSPBC等于()A.143 B.194 C.245 D.296答案(1)C(2)B解析(1)法一(通法)延长CO到点M，使得，因为2m0，所以，即，所以A，B，M三点共线，又因为与反向共线，所以，所以，解得m4.法二(奔驰定理法)由奔驰定理得SBOCSAOCSAOB0，又2m0，SBOCSAOCSAOB12m.m4.(2)法一(通法)，以PQ为底的PQR与PQB的高
8、之比为13，SPQB3SPQR，即SPRB2SPQR，以BR为底的PBR与BCR的高之比为13，SBCR3SPBR6SPQR，SPBC2SPBR4SPQR，同理可得SACPSABQ6SPQR，所以.法二(奔驰定理法)由，得()，整理得，由，得()，整理得，整理得4690，SABCSPBC(469)4194.训练3 设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为_.答案4解析法一(通法)D为AB的中点，则()，又20，O为CD的中点.又D为AB的中点，SAOCSADCSABC，则4.法二(奔驰定理法)因为20，根据奔驰定理，所以4.类型四与三角形四心有关的问题所
9、谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.解题时，要结合题目已知条件，充分利用各“心”的性质，巧妙转化. 例4 过ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，n，则n的值为_.答案解析如图，因为O是重心，所以0，即，().nn()n(1n)，因为P，O，Q三点共线，所以，所以(1n)n，解得n.训练4 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若abc0，则A_.答案解析由G是ABC的重心，则，因此abc()0，又，不共线，所以acbc0，即abc，由余弦定理得cos A，又0A，故A.一、基本技能练1
10、.在ABC中，已知D是AB边上一点，若，则()A. B. C. D.答案A解析由于D是AB边上一点，所以A，B，D三点共线，所以1，.2.在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A. B. C. D.1答案A解析法一(通法)设t，则()()，.法二(等和线法)如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设k，则k.由图易知，故选A.3.已知ABC，平面内一动点P满足，则动点P过ABC的()A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心答案A解析，分别表示， 方向上的单位向量，的方向与BAC的角平分线一致.，的方向与BAC的角平分线一致，一定通过ABC的内心.4.已知ABC和点
11、M满足0，若存在实数m，使得m，则m等于()A.2 B.3 C.4 D.5答案B解析0，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点，又()，()，即3，m3.5.若H为ABC所在平面内一点，且|2|2|2|2|2|2，则点H是ABC的()A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心答案D解析|2|2|2|2，()()，即()0，即()0，同理，故H是ABC的垂心.6.ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若0，且|，则等于()A. B. C.3 D.2答案C解析0，故点O是BC的中点，且ABC是直角三角形，又ABC的外接圆半径为1，|，BC2，AB1，CA，BCA30，23.7.点O
12、为ABC内一点，若SAOBSBOCSAOC432，设，则实数和的值分别为()A.， B.， C.， D.，答案A解析根据奔驰定理，得3240，即32()4()0，整理得，故选A.8.已知O是ABC内一点，0，2且BAC60，则OBC的面积为()A. B. C. D.答案A解析0，O是ABC的重心，SOBCSABC，2，|cosBAC2，BAC60，|4，又SABC|sinBAC，OBC的面积为.9.(2022南宁调研)若M是ABC内一点，且满足4，则ABM与ACM的面积之比为()A. B. C. D.2答案A解析法一(通法)设AC的中点为D，则2，于是24，从而2，即M为BD的中点，于是.法二
13、(奔驰定理法)由4，得20，根据奔驰定理得，.10.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，且ab，则等于()A.1 B. C. D.答案A解析(等和线法)如图，作，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以1.故选A.11.如图所示，在ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设a，b，向量ab，则的值为_.答案解析如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，设k，则k.由题设知O为ABC重心，.12.设O为ABC内一点，且，则SOABSOBC_.答案35解析由可得124()3()，整理得543
14、0，SOABSOBC35.二、创新拓展练13.如图，BCD与ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为()A.0，1 B.0，2C.0，3 D.0，4答案C解析(利用等和线)设k，则直线BC为k1的等和线，所有与BC平行的直线中，过点A时，k0，过点D的距离BC最远，由于BCD与ABC的面积之比为2，故二者的高之比也是2，故k的最大值为3，即0，3.14.已知正三角形ABC的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足|1，且xy，其中xy1，则2xy的最大值为()A.1 B. C.2 D.答案D解析动点P满足|1，P的轨迹为以D为圆心，1为半径的圆及内部，设圆
15、D与边AB交于点B1，连接B1C，则B1CAB，且B1是AB中点，则AB1AB，xy，2xy，xy1，由等和线性质知P点在直线B1C左下方，如图，作直线B1C的平行线l与圆D相切于P，由等和线性质知，此时2xy有最大值，延长AB交l于点B2，(2xy)max.15.设G为ABC的重心，且sin Asin Bsin C0，则角B_.答案60解析G是ABC的重心，0，又sin Asin Bsin C0，sin Asin Bsin C，即abc，则ABC是等边三角形，故B60.16.如图，在正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点，设(，R)，则的取值范围是_.答案3，4解析(等和线法)直线BF为k1的等和线，当P在CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以.设正六边形边长为2，则AN3，AM1，AD4，故3，4.