圆锥曲线二级结论应用.docx

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1、目录00 大招1： 椭圆焦点三角形面积 大招2： 双曲线焦点三角形面积 大招 3: 椭圆的两个最大张角 大招 4: 椭圆的第三定义 大招5： 点差法 大招 6: 椭圆中的垂径定理 大招7： 焦点弦比例模型 大招8： 椭圆斜率之和为0模型 大招9： 椭圆斜率之和 (积)为定值模型 大招 10: 椭圆和圆结合模型 大招 11: 椭圆中的仿射变换 大招 12: 椭圆中互相垂直的弦过定点问题大招 13: 椭圆焦半径秒杀公式 大招 14: 抛物线焦半径秒杀公式 大招 15: 抛物线焦点弦定值模型大招 16: 抛物线角平分线模型大招 1: 椭圆焦点三角形面积【结论】已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=

2、1 的两个焦点，P是椭圆上的动点，则 PF1F2 的面积为。【解析】如图，设Px,y,由椭圆的对称性，不妨设Px,y,由椭圆的对称性，不妨 设P在第一象限.由余弦定理知：由椭圆定义知： |PF1|+|PF2|=2a.则2-得PF1PF2=2b21+cos. 故SF1PF2=12PF1PF2sin=122b21+cossin=b2tan2.【例1】若P是椭圆x2100+y264=1上的一点，F1、F2是其焦点，若F1PF2=60,则F1PF2 的面积为_ 答案6433 解析】在椭圆x2100+y264=1中，b2=64,m=60. SF1PF2=b2tan2=64tan30=6433.【例2】已

3、知P是椭圆x225+y29=1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若 =12, 则 F1PF2 的面积为 A.33 B.23 C. 3D.33【答案】A 解析设F1PF2=,则 =60,SF1PF2=b2tan2=9tan30=33,故选答案 A.大招 2: 双曲线焦点三角形面积【结论】已知F1,F2为双曲线x2a2y2b2=1 的两个焦点，M是双曲线上的动点，则 MF1F2 的面积为S=c|yM|=b2tan2=b2cot2=F1MF2 【证明】由余弦定理可知|F1F2|2=MF12+MF222MF1MF2cos 假设M在双曲线的左支上，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，由双曲线定义

4、有 MF2MF1=2,可得MF12+MF222MF2MF1=42, 故 4c2=2MF2MF1+4a22MF1MF2cosMF1MF2=2b21cos, 则 SMF1F2=12MF1MF2sin=122b2sin1cos=b22sin2cos22sin22=b2tan2=b2cot2. 【例1】已知F1、F2为双曲线x24y2=1 的两个焦点，P 在双曲线上，若 F1PF2 的面积是 1, 则PF1PF2的值是_答案0 【解析】SF1PF2=b2cot2=cot2=1,2=45,即“=90. PF1PF2,从而PF1PF2=0. 【例2】已知F1、F2为双曲线C:x2y2=1 的左、右焦点，点

5、P在C上，F1PF2=60,则 PF1PF2= A.2 B.4 C.6 D.8答案B 【解析】由焦点三角形面积公式得：SF1PF2=b2cot2=l2cot602=3=12|PF1|PF2|sin60=12|PF1|PF2|32,PF1PF2=4大招 3: 椭圆的两个最大张角【结论1】如图：已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1ab0 的两个焦点，P为椭圆上任意一点，则当点 P 为椭圆短轴的端点时，F1PF2 最大. 【分析】F1PF20, 而y=cosx 在(0, ) 为减函数， 只要求y=cosx 的最小值，又知PF1+PF2=2a,F1F2=2c, 利用余弦定理可得. 【证明】如图，

6、由已知： PF1+PF2=2a,F1F2=2c,所以PF1PF2PF1+PF222=a2,当PF1=PF2时取等号 ) 由余弦定理得:cosF1PF2=PF12+PF22F1F222PF1PF2=4a24c22PF1PF21=4b22PF1PF212b2a21=12e2(当PF1=PF2时取等号) 所以当PF1=PF2时，cosF1PF2的值最小，因为F1PF20,所以此时F1PF2最 大. 即点 P 为椭圆短轴的端点时 F1PF2 最大. 【结论 2】如图： 已知 A, B 为椭圆x2a2+y2b2=1ab0 长轴上的两个顶点，O 为椭圆上 任意一点，则当点 为椭圆短轴的端点时，AQB 最大

7、， 【分析】当 AQB 最大时，AQB 一定是钝角， 而y=tanx 在2,上是增函数，利用点 Q 的坐标， 表示出tanAQB,再求 tan AQB 的最大值.【证明】如图，不妨设Qx,y0xa,0b0, 长轴两端点为A, B, 如果椭圆上存在一点满足AQB=120, 求这个椭圆的离心率的取值范围.分析】由结论 2 知： 当点 P0为椭圆短轴的端点时，AP0B 最大， 因此只要最大角不小于 120 即可.解析】由结论 2 知： 当点 P0为椭圆短轴的端点时，AP0B 最大， 因此只要AP0B120,则一定存在点Q,使AQB=120, 12AQB60即AP0O60,所以aa2c23,得e63,

8、 故椭圆的离心率的取值范围是e63,1.大招 4: 椭圆的第三定义【结论】已知M, N 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 上的两动点，P 是椭圆上异于 M, N 的一点，则【例1】设M,N为椭圆x24+y23=1的长轴的两个端点，点P在椭圆上，则kpMkpN为A.34 B.43 C.34 D. 43 答案A 【解析】由前面所述的圆锥曲线第三定义易得kpMkpN=b2a2=34. 故选 A. 【例2】椭圆C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值 范围是-2,-1,那么直线PA1斜率的取值范围是 A.12，34 B.38，34 C.12，1D.

9、 34，1 答案B 【解析】设点Px,y,则直线 PA1 的斜率为 k1=y0x2=yx+2, 直线PA2的斜率为k2=y0x2=yx2, k1k2=yx+2yx2=y2x24.点Px,y满足x24+y23=1,x2+4y23=4,即x24=4y23, k22,1,k1=341k, 是增函数， 应选 B.大招 5: 点差法设Ax1,y1, Bx2,y2 是圆x2a2+y2b2=1ab0 上两个不重合的两点，则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1, 两式相减得x1+x2x1x2a2+y1+y2y1y2b2=0,y1y2x1x2是直线 AB 的斜率x1+x22,y1+y22是线段

10、 AB 的中点，此种方法称为代点作差法，简称点差法，【例 1】已知椭圆x22+y2=1, 求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程。【解析】设弦的两个端点分别为Px1,y1,Qx2,y2,PQ 的中点为Mx,y. 则x122+y12=1, x222+y22=1,-得:x12x222+y12y22=0,x1+x22+y1y2x1x2y1+y2=0. 又x1+x2=2x,y1+y2=2y,y1y2x1x2=2,x+4y=0. 弦中点轨迹在已知椭圆内， 所求弦中点的轨迹方程为x+4y=0(在已知椭圆内 ).【例 2】已知椭圆x225+y29=1 上不同的三点 Ax1,y1,B4,95,Cx2,y2 与焦

11、点 F4,0 的距离成等差数列，若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T, 求直线 BT 的斜率 k.【解析】x1+x2=8, 设线段AC的中点为D4,y0. 又A、C在椭圆上， -得：x12x2225=y12y229,y1y2x1x2=9x1+x225y1+y2=92582y0=3625y0.直线 DT 的斜率 kDT=25y036, 直线 DT 的方程为 yy0=25y036x4. 令y=0,得x=6425,即T(6425,0)直线 BT 的斜率 k=95046425=54.大招 6: 椭圆中的垂径定理 【结论】已知AB 是椭圆x2a2+y2b2=1ab0 不垂直于 x 轴的任意一

12、条弦，P 是AB 的中点，O为椭圆的中心，求证： 直线AB 和直线OP的斜率之积是定值b2a2. 【证明】设Ax1,y1,Bx2,y2且x1x2, 则-得：x12x22a2=y12y22b2,y1y2x1x2=b2x1+x2a2y1+y2,kAB=y1y2x1x2=b2x1+x2a2y1+y2.【例1】已知A,B,C 是椭圆W:x24+y2=1上的三个点，O 是坐标原点(1) 当点B是W的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由.【解析】(1)椭圆W:x24+y2=1的右顶点B 的坐标为(2,0), 因为

13、四边形 OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 相互垂直平分， 所以可设A1,m,代人椭圆方程得14+m2=1, 即m=32 所以菱形 OABC 面积是(2)四边形 OABC 不可能为菱形，理由如下： 假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B不是W 的顶点，且直线 AC 不过原点， 所以可设 AC 的方程为 y=kx+mk0,m0.由x2+4y2=4,y=kx+m消去并整理得1+4k2x2+8kmx+4m24=0. 设Ax1,y1,Cx2,y2,则x1+x22=4km1+4k2,y1+y22=kx1+x22+m=m1+4k2. 所以AC的中点为M4km1+4k2,m1+4k2. 因为M为AC

14、和OB的交点，所以直线OB 的斜率为14k. 因为k14k1,所以AC 和OB不垂直. 所以四边形 OABC 不是菱形、与假设矛盾。所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形.【例2】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为32,点3,12在椭圆C上，(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若直线 l:y=kx+m(k0, m0) 与椭圆 C 交于 A 、B 两点，线段 AB 中点为M,点O 为坐标原点. 证明： 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 【解析】(1)由题意得e=ca=32,3a2+14b2=1,a2=b2+c2.解得a2=4,b2=1

15、. 所以椭圆 C 的方程为x24+y2=1. (3) 法一：设Ax1,y1,Bx2,y2,MxM,yM. 将y=kx+m 代人x24+y2=1,得4k2+1x2+8kmx+4m24=0, =8km244k2+14m240,x1+x2=8km4k2+1, 故xM=x1+x22=4km4k2+1,yM=kxM+m=m4k2+1. 于是直线 OM 的斜率 kOM=yMxM=14k , 即 kOMk=14.所以直线 OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值 14. 法二： 设Ax1,y1,Bx2,y2,MxM,yM.则xM0， x1-x20所以直线 OM 的斜率与 l的斜率的乘积为定值 14.大招 7:

16、焦点弦比例模型【结论】设圆锥曲线 C 的焦点 F 在 x 轴上，过点 F 且斜率为 k 的直线 l 交曲线 C 于 A , B 两点，若AF=FB0, 则e=1+k21+1 【证明】如下图所示，过A,B分别作准线的垂线，垂足为A1,B1, 过B作BCAA1,垂足为C. 由圆锥曲线的第二定义可知AA1=AFe,BB1=BFe,从而AC=AA1BB1=AFBFe, 又因为AF=1+AB,BF=11+AB,所以AC=1e+11+1AB, 在 RtABC 中，BC=kAC. 由勾股定理AB2=AC2+BC2, 可得 e=1+k21+1,若倾斜角为 ,(注】如果已知直线的倾斜角 ,则ecos=1+1.

17、当曲线的焦点在y 轴上时，e= 【注】要利用公式 e=1+k21+1求解，需要注意对应 的值，实际上，无论是 AF= FB 中的 , 还是FB=AF 中的 , 1+1的值都是一样的. 所以只需要知道其中任一个的值即可.【注】根据圆锥曲线的第二定义，可以知道抛物线的离心率 e=1.方法总结： 在圆锥曲线中，当涉及模型中的情形，即过焦点的直线与曲线相交的A, B 两点且满足 AF=FB 或 FB=AF 时，一定要注意“e=1+k21+1”等结论的应用.(例 1】已知双曲线 C:x2a2y2b2=1a0,b0 的右焦点为 F, 过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于A, B 两点，若AF=4FB,

18、则 C 的离心率为A. 65 B. 75C. 58 D. 95 答案A 【解析】由结论得 e=1+32414+1=65, 故选 A. 【例2】已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为32, 过右焦点 F 且斜率为 kk0 的 直线与C 相交于A、B 两点，若AF=3FB,则k= A.l B. 2 C. 3 D.2答案B 【解析】由结论得32=1+k2313+1,解得k=2,故选 B.大招 8: 椭圆斜率之和为 0 模型【结论】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0 及定点 Ax0,y0, E , F 是 C 上的两个动点如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线

19、 EF 的斜率为定值. 【解析】设Ex1,y1、Fx2,y2,设直线 AE 的方程为 y=kxx0+y0, 令m=y0kx0,联立方程整理得 k2a2+b2x2+2a2kmx+a2m2a2b2=0 , 则 x0x1=a2m2a2b2a2k2+b2 则直线 EF 的斜率 kEF=y2y1x2x1=2kx0kx2+x1x2x1=b2a2x0y0 为定值， 【注】实际上， kOA=y0x0 , 故kOAkEF=b2a2 显然成立.【例1】已知椭圆C: x2a2+y2b2=1( a b 0) 过点(0,2), 且满足a+b=32(1) 求椭圆 C 的方程； (2)斜率为12的直线交椭圆C 于两个不同点

20、A,B,点M的坐标为(2,1),设直线MA 与MB 的斜率分别为k1,k2. 若直线过椭圆 C 的左顶点，求此时 k1,k2 的值：试探究 k1+k2 是不是定值，并说明理由.【解析】(1)由椭圆过点(0,2),则b=2. 又a+b=32, 故a=22. 所以椭圆 C 的方程为 x28+y221. (2)若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是l:y=12x+2,故k1=212,k2=212. k1+k2为定值，且 k1+k2=0. 设直线的方程为y=12x+m.消y, 得x2+ 2mx+ 2m2- 4= 0. 当=4m28m2+160,即2m0,x1+x2=2kma2k2a2+b2,x1x2=a

21、2m2b2k2a2+b2,1kpAkpB=ty1bx1y2bx2=tkx1+mbx1kx2+mbx2=t,k2tx1x2+kmbx1+x2+mb2=0k2ta2m2b2a2k2+b2+kmb2a2kma2k2+b2+mb2=0 ,a2k2m+a2k2ba2mta2bt2a2k2m+a2k2m+b2ma2k2bb3=0m=b2+a2tb2a2tb,所以直线AB过定点0,b2+a2tb2a2tb.2kpA+kpB=ty1bx1+y2bx2=tkx1+mbx1+kx2+mbx2=t2k+mbx1+x2x1x2=tk=tm+b2by=tm+b2bx+m2bytbx=tx+2bmx=2bt,y=b,所以

22、直线AB过定点2bt,b. 推论： 设P0x0,y0为椭圆x2a2+y2b2=1上一点，P1P2为椭圆的动弦，且弦P0P1,P0P2斜率 存在，记为k1,k2, 若k1+k2= m, 则直线 P1P2 通过定点 Mx02y0m,2b2x0a2my0【例1】已知椭圆x2a2+y2b2=1,四点P11,1,P20,1,P31,32,P41,32中恰有三点在椭圆上. (1) 求椭圆方程；(2) 设直线 l 不经过点 P2 且与椭圆相交于 A , B 两点，若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率之和为-1, 证明： l 过定点. 【解析】(1)x24+y2=1(3) 当直线l斜率不存在时，设 l:x=

23、m , Am,yA,Bm,yA. kP2A+kP2B=yA1m+yA1m=2m=1,得m=2, 此时直线l过椭圆右顶点，无两个交点，故不满足. 当直线 l 斜率存在时，设 l:y=kx+mm1,Ax1,y1,Bx2,y2, 联立y=kx+m,x24+y2=11+4k2x2+8kmx+4m21=0,又m1m=2k1,此时=164k2+1m2=64k, 存在k 使得 0, 所以直线 l 的方程为： y=kx2k1y+1=kx2,l 过定点 (2, -1).【例 2】已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上一点 A23,1 到两焦点距离之和为 8. 若点 B 是椭圆 C 的上顶

24、点，点 P, Q 是椭圆 C 上异于点 B 任意两点，(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若BPBQ,且满足 3PD=2DQ 的点D 在y 轴上，求直线 BP 的方程； (3)若直线 BP 与 BQ 的斜率之积为常数 b0, 根据椭圆的定义可得 2a=8, 所以 a=4, 因为点A23,1在椭圆C上， 所以12a2+1b2=1, 所以解得 b2=4, 所以椭圆 C 的方程为 x216+y24=1.(2)因为BPBQ,B、P、Q在椭圆C上， 所以直线 BP 的斜率存在且不为 0, 设直线 BP 的斜率为 kk0, 则直线 BQ 的斜率为1k, 所以直线 BP 的方程为 y=kx+2, 联立得到(

25、 4k2+ 1) x2+ 16kx= 0, 所以得到xp=16k4k2+1, 用1k代替xp中的k,得到x=16kk2+4, 因为 3PD=2DQ 且点D 在y轴上， 所以3xp=2xQ, 所以48k4k2+1=32kk2+4, 因为k0,所以 24k2+1=3k2+4, 解得 k=2. 所以直线 BP 的方程为 y=2x+2.(3)设直线 PQ 的方程为 y=mx+n, 联立x216+y24=1,y=mx+n得到4m2+1x2+8mnx+4n216=0, 所以 =64m2n244m2+14n216=256m216n2+640, 即 16m2n2+40,设Px1,y1,Qx2,y2,所以x1+

26、x2=8mn4m2+1,x1x2=4n2164m2+1, 所以kBPkBQ=y12x1y22x2 =y1y22y1+y2+4x1x2 =mx1+nmx2+n2mx1+n+mx2+n+4x1x2 =m2x1x2+mn2mx1+x2+n24n+4x1x2=, 所以 m2x1x2+mn2mx1+x2+n22=0,所以 m24n2164m2+1+mn28mn4m2+1+n22=0, 所以 4m2n2n+28m2nn2+n224m2+1=0, 若 n=2, PQ 与椭圆的一个交点为 B, 而点P,Q是椭圆C上异于点B 的任意两点，矛盾，所以n2, 所以可以继续化简为 4m2n+28m2n+n24m2+1

27、=0, 整理可得 4n8+n2=0,所以n=8+241(为定值), 所以直线P过定点0,8+241.大招 10: 椭圆和圆结合模型设点Mx0,y0 是椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0 上任意一点，从原点O 向圆C:xx02+ yy02=a2b2a2+b2作两条切线分别与椭圆C 交于点P,Q,直线OP,OQ 的斜率分别记为k1,k2.1k1k2为定值b2a2; 2OP2+OQ2为定值a2+b2.【例1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 Rx0,y0 是椭圆 C:x224+y212=1 上的一点从原点O 向圆R:xx02+yy02=8 作两条切线，分别交椭圆于P, Q.(1) 若直线

28、OP, OQ 的斜率存在，并记为k1,k2, 求k1,k2 的值； (2)试问OP2+OQ2是不是定值？ 若是，求出该值： 若不是，说明理由.【解析】(1)因为直线 OP:y=k1x 和 OQ:y=k,x 都与圆 R 相切， 化简得k1k2=y028x028, 因为点Rx0,y0在椭圆C上，所以x0224+y0212=1,即y02=1212x02, 所以k1k2=412x02x028=12.(2) 方法一：当直线 OP、OQ不落在坐标轴上时，设 Px1,y1,Qx2,y2, 由知2k1k2+1=0,所以2y1y2x1x2=1,故y12y22=14x12x22, 因为Px1,y1,Qx2,y2在

29、椭圆 C 上，即y12=1212x12,y22=1212x22,所以1212x121212x22=14x12x22, 整理得x12+x22=24,所以y12+y22=1212x12+1212x22=12, 所以 OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=36. 方法二： 当直线 OP、OQ 不落在坐标轴上时，设 Px1,y1,Qx2,y2,联立y=kx,x224+y212=1,解得x12=241+2k12,y12=24k121+2k12,x12+y12=241+k121+2k12.同理，得x22+y22=241+k221+2k22,由知2k1k2+1=0,

30、得k1k2=12. 所以 OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22=241+k121+2k12+241+k221+2k22(2)当直线 OP、OQ 落在坐标轴上时，显然有 OP2+OQ2=36. 综上： OP2+OQ2=36.【例2】如图，O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为32,以椭圆C的长轴长、短轴长分别为两邻边长的矩形的面积为 8. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若P,Q,M是椭圆上的点，且圆M与直线OP、OQ 相切，kOPkOQ=1A, 求M的半径r.【解析】(1)依题意可知a2b2a=32,2a2b=8, 解得a2=4,b2=1. 椭圆 C 的方程

31、为x24+y2=1.设Mx0,y0,由条件可得直线OP的方程为y=kOPx,由直线OP与圆M相切， 可得由此可得( x02-r2) kOP2- 2x0y0kOP+ y02- r2= 0. 同理可得 x02r2kOQ22x0y0kOQ+y02r2=0, 所以kop,ko是方程x02r2k22x0y0k+y02r2=0 的两个不相等实根， 由根与系数的关系得kopko=y02r2x02r2, 又kOPkOQ=14,由此得y02r2x02r2=14, 即x02+4y02=5r2,结合x024+y02=1,得 5r2=4,r=255.大招 11: 椭圆中的仿射变换定义压缩变换 xOy 平面上的所有点横

32、坐标不变，纵坐标变为原来的ab,即x=x,y=aby,xOy 平面上的椭圆C:x2a2+y2b2=1 在压缩变换下变为.xOy平面上的圆C:x2+y2=a2. 1. 研究直线的斜率在压缩变换 下，xOy 平面上直线的斜率 k 变为原来 xOy 平面上对应直线斜率 k 的ab倍，即k=abk.【例 1】北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC, BD, 设内层椭圆方程为x2a2+y2b2= 1ab0,外层椭圆方程可设为x2ma2+y2mb2=1ab0,m1,若AC与BD 的斜率之积为916,求椭圆的离心率。【解析】定义

33、伸缩变换： :x=bx,y=ay, 则在 的作用下内外层椭圆分别对应圆 x2+y2=a2b2 和圆x2+y2=mab2,点A,B,C,D分别对应点A,B,C,D. 由题知AC, BD 是圆x2+y2=a2b2的切线.由已知kACkBD=916,由圆的性质易知ACBD,即kACkBD=1得kACkBD=abkAC abkBD, 从而1=916a2b2,可得离心率 e=1b2a2=74.2. 研究横坐标(或纵坐标)之间的关系. xOy 平面上对应点 P 与原来 xOy 面上点 P 的横坐标相同，即 xp=xp。纵坐标变为原来的ab,即yp=abyp(例 2】如图所示，过(0,1)作直线 l 与椭圆

34、 x2+y22=1 交于 C, D 两点，与 x 轴交于点 P, AC 与 BD 交于点 . 求证 xpxQ 为定值.【解析】先把 xOy 平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的12,得到 xOy 平面，于是得到问题：“如图，在xOy平面内，过0,12作直线l与圆x2+y2=1 交于C,D两点，与x轴交于点P,AC与BD交于点Q。求证xpxQ为定值，”证明： 事实上，过0,12是一个多余条件，只要l与圆相交即可 作QMAB于M,连接BC,再连接OC,CM, 设弧AD为弧度，弧BC为弧度， 则 CPO=2,CQB=+2, 又Q,C,B,M四点共圆，所以 CMB=CQB=+2, 所以 OCM=C

35、MBBOC=+2=2, 所以 OCMOPC, 所以OC2=OMOP, 所以xpxQ=OPOM=r2=1.由于，在压缩变换中横坐标不变，所以在 xOy 平面上，xpxQ=1.大招 12: 椭圆中互相垂直的弦过定点问题【结论】过椭圆x2a2+y2b2=1 的长轴上任意一点 S(s, 0)(-as0,y1+y2=2msb2m2b2+a2,y1y2=b2s2a2m2b2+a2,由中点公式得M(a2sb2m2+a2 , -b2smb2m2+a2) , 将m用代换1m，得到N的坐标(a2sm2a2m2+b2 ,b2sma2m2+b2), MN 的直线方程为 y+b2smb2m2+a2=a2+b2ma2m2

36、1xa2sb2m2+a2,令y=0,得x=a2sa2+b2, 所以直线MN恒过定点a2sa2+b2,0.【例1】已知F11,0,F21,0是椭圆x24+y23=1的左右焦点，过F2作两条互相垂直的直线l1与l2(均不与x轴重合)分别与椭圆交于A、B、C、D 四点、线段 AB, CD 的中点分别是M,N,求证： 直线 MN 过定点，并求出该定点坐标.【解析】设直线AB:y=kx1, 联立椭圆方程 3x2+4y2=12 得： 4k2+3x28k2x+4k212=0,xM=128k24k2+3=4k24k2+3,yM=3k4k2+3 xN=4k24k2+3=43k2+4,yN=1kxN1=3k3k2

37、+4. 由结论可知该点必在x轴上. 设该定点坐标 t,0,yMtxM=yNyMxNxMt=xMyNyMxNyNyM,代人 M, N坐标化简得 t=47 , 所以过定点(47 , 0) .【例2】已知椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为12, 过右焦点 F1,0 作两条互相垂直 的直线l1,l2,分别交椭圆E于A、B 和 C、D 四点，设AB、CD 的中点为M、N. (1)求椭圆 E 的方程. (2)直线 MN 是否经过定点？ 若是，求出定点坐标； 若否，请说明理由.【解析】(1)因为椭圆E 的离心率为 e=ca=12,c=1, 所以a=2,b=a2c2=3, 所以椭圆 E 的方程为

38、x24+y23=1.(2)当直线l1或直线l2的斜率不存在时，若直线 1 的斜率不存在， 则M1,0,N0,0, 此时直线 MN 为 y=0; 若直线 l2 的斜率不存在，则 M0,0,N1,0, 此时直线MN为y=0; 当直线 1 和直线 2 的斜率均存在时，设直线 l1:y=kx1,Ax1,y1,Bx2,y2, 联立直线l1:y=kx1与椭圆E:x24+y23=1 并化简得： 3+4k2x28k2x+4k212=0, 由韦达定理得x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2123+4k2, 所以M4k23+4k2,3k3+4k2, 因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率为1k,同理可求出设直线 MN 与 x 轴的交点为 (a, 0),化简得 a=4k2+47k2+7=47, 所以直线 MN 经过定点47,0.大招 13: 椭圆焦半径秒杀公式【结论】如下图所示，F 是椭圆x2a2+y2b2=1ab0 的左焦点，AB 是过焦点的弦且直线AB 的倾斜角为 ,点A 在x 轴上方，则AF