圆锥曲线146二级结论.pdf

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1、圆锥曲线圆锥曲线 1 14646 个相关结论个相关结论 结论结论 1：过圆2222+=xya上任意点P作圆222xya+=的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论结论 2：过圆2222xyab+=+上任意点P作椭圆()22221,0 xyabab+=的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论结论 3：过圆2222xyab+=上任意点P作双曲线()22221,0,0=xyabab的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论结论 4：点00(,)M x y在椭圆()()()22221,0,xmynabm nab+=上，过点M作椭圆的切线方程为()()()()00221xmxmynynab+=

2、.结论结论 5：点00(,)M x y在椭圆()()()22221,0,xmynabm nab+=外，过点M作椭 圆 的 两 条 切 线，切 点 分 别 为,A B，则 切 点 弦AB的 直 线 方 程 为()()()()00221xmxmynynab+=.结论结论 6：点00(,)M x y在椭圆()()()22221,0,xmynabm nab+=内，过点M作椭圆的弦 AB（不过椭圆中心），分别过,A B作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线()()()()00221xmxmynynab+=.结论结论 7：点00(,)M x y在双曲线()()()22221,0,0,xmyn

3、abm nab=上，过点M作双曲线的切线方程为()()()()00221xmxmynynab=.结论结论 8：点00(,)M x y在双曲线()()()22221,0,0,xmynabm nab=外，过点M作 双 曲 线 的 两 条 切 线，切 点 分 别 为,A B，则 切 点 弦 AB 的 直 线 方 程 为()()()()00221xmxmynynab=.结论结论 10：点00(,)M x y在双曲线()()()22221,0,0,xmynabm nab=内，过点M作双曲线的弦 AB（不过双曲线中心），分别过,A B作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()()00

4、221xmxmynynab=.结论结论 11：点00(,)M x y在抛物线()()22,(0,)ynp xmpm n=上，过点 M 作抛物线的切线方程为()()()002ynynp xxm=+.结论结论 12：点00(,)M x y在抛物线()()22,(0,)ynp xmpm n=外，过点M作抛物 线 的 两 条 切 线，切 点 分 别 为,A B，则 切 点 弦AB的 直 线 方 程 为()()()002ynynp xxm=+.结论结论 13：点00(,)M x y在抛物线()()22,(0,)ynp xmpm n=内，过点M作抛物线的弦 AB，分别过,A B作双曲线的切线，则两条切线的

5、交点 P 的轨迹方程为直线()()()002ynynp xxm=+.结论结论 14：过椭圆准线上一点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 的所在的直线必过相应的焦点 F，且 MF 垂直切点弦 AB.结论结论 15：过双曲线准线上一点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 的所在的直线必过相应的焦点 F，且 MF 垂直切点弦 AB.结论结论 16：过抛物线准线上一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 的所在的直线必过相应的焦点 F，且 MF 垂直切点弦 AB.结论结论 17：AB 为椭圆的焦点弦，则过 A,B 的切线的交点 M

6、 必在相应的准线上.结论结论 18：AB 为双曲线的焦点弦，则过 A,B 的切线的交点 M 必在相应的准线上.结论结论 19：AB 为抛物线的焦点弦，则过 A,B 的切线的交点 M 必在准线上.结论结论 20：点 M 是椭圆准线与长轴的交点，过点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 就是通径.结论结论 21：点 M 是双曲线准线与实轴的交点，过点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 就是通径.结论结论 22：点 M 是抛物线准线与对称轴的交点，过点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为A,B，则切点弦 AB 就是通径.结论结论 23：过抛物线22(0

7、)ypx p=的对称轴上任意一点(,0)(0)Mmm作抛物线的两条切线，切点分别为,A B，则切点弦AB所在的直线必过(,0)N m.结论结论 24：过椭圆22221(0)xyabab+=的对称轴上任意一点(,)Mm n作抛物线的两条切线，切点分别为,A B.（1）当0nma=，时，则切点弦AB所在的直线必过点2,0aPm.（2）当0mnb=，时，则切点弦AB所在的直线必过点20bPn，.结论结论 25：过双曲线22221(0,0)xyabab=的实轴上任意一点(,0)()M mma作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为,A B，则切点弦AB所在的直线必过2,0aPm.结论结论 26：过抛物线

8、22(0)ypx p=外任意一点M作抛物线的两条切线，切点分别为,A B，弦,A B的中点为N，则直线MN必与其对称轴平行.结论结论 27：若椭圆22221(0)xyabab+=与双曲线22221(0,0)xymnmn=共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直.结论结论 28：过椭圆外一定点P作其一条割线，交点为,A B，则满足|AP BQAQ BP=的动点Q的轨迹就是过P作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论结论 29：过双曲线外一定点P作其一条割线，交点为,A B，则满足|AP BQAQ BP=的动点Q的轨迹就是过P作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论结论 30：过抛物线外

9、一定点P作其一条割线，交点为,A B，则满足|AP BQAQ BP=的动点Q的轨迹就是过P作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论结论 31：过双曲线外一定点P作其一条割线，交点为,A B，过,A B分别作双曲线的切线相交于点Q，则动点Q的轨迹就是过P作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论结论 32：过椭圆外一定点P作其一条割线，交点为,A B，过,A B分别作椭圆的切线相交于点Q，则动点Q的轨迹就是过P作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论结论 33：过抛物线外一定点P作其一条割线，交点为,A B，过,A B分别作抛物线的切线相交于点Q，则动点Q的轨迹就是过P作抛物

10、线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论结论 34：从椭圆22221(0)xyabab+=的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222xya+=.结论结论 35：从双曲线22221(0,0)xyabab=的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222xya+=.结论结论 36：F 是椭圆22221(0)xyabab+=的一个焦点，M 是椭圆上任意一点，则焦半径,MFac ac+.结论结论 37：F 是双曲线22221(0,0)xyabab=的右焦点，M 是双曲线上任意一点.（1）当 M 在双曲线右支上，则焦半径MFca；（2）当 M 在双曲线左支上，则焦半径MFca+.结

11、论结论 38：F 是抛物线22(0)ypx p=的焦点，M 是抛物线上任意一点，则焦半径022ppMFx+.结论结论 39：（椭圆的光学性质）（椭圆的光学性质）椭圆上任一点 M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说 M 处的切线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）.结论结论 40：（双曲线的光学性质）（双曲线的光学性质）双曲线上任一点 M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说 M 处的法线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）.结论结论 41：（抛物线的光学性质）（抛物线的光学性质）抛物线上任一点 M 处的切线平分该点的两条焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角.结论结论 42：椭圆的准

12、线上任一点 M 处的切点弦 PQ 过其相应的焦点 F，且 MFPQ.结论结论 43：双曲线的准线上任一点 M 处的切点弦 PQ 过其相应的焦点 F，且 MFPQ.结论结论 44：抛物线的准线上任一点 M 处的切点弦 PQ 过其焦点 F，且 MFPQ.结论结论 45：椭圆上任一点 P 处的切线交准线于 M，P 与相应的焦点 F 的连线交椭圆于 Q，则MQ 必与该椭圆相切，且 MFPQ.结论结论 46：双曲线上任一点 P 处的切线交准线于 M，P 与相应的焦点 F 的连线交双曲线于Q，则 MQ 必与该双曲线相切，且 MFPQ.结论结论 47：抛物线上任一点 P 处的切线交准线于 M，P 与焦点 F

13、 的连线交抛物线于 Q，则MQ 必与该椭圆相切，且 MFPQ.结论结论 48：焦点在 x 轴上的椭圆（或焦点在 y 轴）上三点 P,Q,M 的焦半径成等差数列的充要条件为 P,Q,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论结论 49：焦点在 x 轴上的双曲线（或焦点在 y 轴）上三点 P,Q,M 的焦半径成等差数列的充要条件为 P,Q,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论结论 50：焦点在 x 轴上的抛物线（或焦点在 y 轴）上三点 P,Q,M 的焦半径成等差数列的充要条件为 P,Q,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论结论 51：椭圆上一个焦点 F2关于椭圆上任一点 P 处的切线的对称点为

14、Q，则直线 PQ 必过该椭圆的另一个焦点 F1.结论结论 52：双曲线上一个焦点 F2关于双曲线上任一点 P 处的切线的对称点为 Q，则直线 PQ必过该双曲线的另一个焦点 F1.结论结论 53：椭圆上任一点 P（非顶点），过 P 的切线和法线分别与短轴相交于 Q,S，则有 P,Q,S及两个焦点共于一圆上.结论结论 54：双曲线上任一点 P（非顶点），过 P 的切线和法线分别与短轴相交于 Q,S，则有P,Q,S 及两个焦点共于一圆上.结论结论 55：椭圆上任一点 P（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点 A,A的切线相交于 M,M，则必得到以 MM为直径的圆经过该椭圆的两个焦点.结论结论 56：双曲

15、线上任一点 P（非顶点）处的切线与过实轴两个顶点 A,A的切线相交于 M,M，则必得到以 MM为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论结论 57：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆 结论结论 58：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆 结论结论 59：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切 结论结论 60：焦点在 x 轴上的椭圆（或焦点在 y 轴上）上任一点 M（非短轴顶点）与短轴的两个顶点 B,B的连线分别交 x 轴（或 y 轴）于 P,Q，则2PQx xa=（或2PQy ya=）.结论结论 61：焦点在 x 轴上的双曲线（或焦点在 y 轴上）上任一点

16、 M（非顶点）与实轴的两个顶点 B,B的连线分别交 y 轴（或 x 轴）于 P,Q，则2PQy yb=（或2PQx xb=）.结论结论 62：P 为焦点在 x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则12PFF与边21PFPF（或）相切的旁切圆与 x 轴相切于右顶点 A（或左顶点 A）.结论结论 63：P 为焦点在 x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则12PFF与的内切圆与 x轴相切于右顶点 A（或左顶点 A）.结论结论 64：AB 是过椭圆22221(0)xyabab+=的焦点 F 的一条弦（非通径），弦 AB 的中垂线交 x 轴于 N，则|2|ABNF=e.；结论结论 65：AB 是过双

17、曲线22221(0,0)=xyabab的焦点 F 的一条弦（非通径，且为单支弦），弦 AB 的中垂线交 x 轴于 N，则|2|ABNFe=.结论结论 66：AB 是过抛物线22(0)=ypx p的焦点 F 的一条弦（非通径），弦 AB 的中垂线交x 轴于 N，则|2|ABNF=.结论结论 67：AB 是抛物线的焦点弦，分别过 A，B 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 在其准线上.结论结论 68：AB 是椭圆的焦点弦，分别过 A，B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 在其相应的准线上.结论结论 69：AB 是双曲线的焦点弦，分别过 A，B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 在其相应的准

18、线上.结论结论 70：AB 是过抛物线焦点 F 的焦点弦，以 AB 为直径的圆必与其准线相切.结论结论 71：AB 是过椭圆焦点 F 的焦点弦，以 AB 为直径的圆必与其相应的准线相切，与另一条准线相离.结论结论 72：AB 是过双曲线焦点 F 的焦点弦，以 AB 为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为12arccose.结论结论 73：以圆锥曲线的焦点弦 AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线；若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论结论 74：以圆锥曲线的焦点弦 AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，且此时截得的

19、圆弧度数为定值，且为12arccose.结论结论 75：AB 为过抛物线22(0)=ypx p焦点 F 的焦点弦，()()1122,A x yB xy则12|ABxxp=+.结论结论 76：AB 为过椭圆22221(0)+=xyabab焦点 F 的焦点弦，()()1122,A x yB x y则12|2ABae xx=+.结论结论 77：AB 为过双曲线22221(0,0)=xyabab焦点 F 的焦点弦，()()1122,A x yB x y若AB 为单支弦，则12|2ABe xxa=+；若 AB 为双支弦，则12|2ABe xxa=+.结论结论 78：F 为抛物线的焦点，A，B 是抛物线上

20、不同的两点，直线 AB 交其准线 l 于 M，则FM 平分AFB 的外角.结论结论 79：F 为椭圆的一个焦点，A，B 是椭圆上不同的两点，直线 AB 交其相应的准线 l 于M，则 FM 平分AFB 的外角.结论结论 80：F 为双曲线的一个焦点，A，B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线 AB交其相应的准线 l 于 M，则 FM 平分AFB.结论结论 81：F 为双曲线的一个焦点，A，B 是双曲线上不同的两点（同一支上），直线 AB 交其相应的准线 l 于 M，则 FM 平分AFB 的外角.结论结论 82：AB 是椭圆22221(0)xyabab+=过焦点 F 的弦，点 P 是椭圆上

21、异于 A，B 的任一点，直线 PA、PB 分别交相应于焦点 F 的准线 l 于 M、N，则点 M 与点 N 的纵坐标之积为定值，且为42bc.结论结论 83：AB 是双曲线22221(0,0)=xyabab过焦点 F 的弦，点 P 是双曲线上异于 A，B 的任一点，直线 PA、PB 分别交相应于焦点 F 的准线 l 于 M、N，则点 M 与点 N 的纵坐标之积为定值，且为42bc.结论结论 84：AB 是抛物线2(0)=ypx p过焦点 F 的弦，点 P 是抛物线上异于 A，B 的任一点，直线 PA、PB 分别交准线 l 于 M、N，则点 M 与点 N 的纵坐标之积为定值，且为2p.结论结论

22、85：A，B 是椭圆22221(0)xyabab+=的长轴顶点，()(,0),(,0)0EmF mma，点 P 是椭圆上任一点（非长轴顶点），若直线 PA、PB 分别交直线2axm=于 M、N，则有如下定值关系 EM FNEN FM、()()222222amambm+FM FN()()222222amambm EM EN()()2222222ambamm+BM FN()()22222amaam bm+AM FN()()22222amaam bm AM BN()()22222amabm MNyy()2222bmam APBPAMBNANBMkkkkkk 21e ANAMkk ()21ameam+

23、BNBMkk()21ameam+FNEMENFMkkkk 222bam+结论结论86：A，B是双曲线22221(0,0)=xyabab的实轴顶点，()(,0),(,0)EmF mma，点 P 是双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 PA、PB 分别交直线2()axmam=于 M、N，则有如下定值关系 EM FNEN FM、()()222222amambm+FM FN()()222222amambm+EM EN()()2222222ambamm+BM FN()()22222amaam bm+AM FN()()22222amaam bm+AM BN()()22222amabm+MNyy()2222

24、bmam APBPAMBNANBMkkkkkk 21e ANAMkk ()21ameam+BNBMkk()21ameam+FNEMENFMkkkk 222bam+结论结论 87：A，B 是椭圆22221(0)xyabab+=的任一直径（中心弦），点 P 是椭圆上任一点（不与 A，B 重合），则PAPBkk=21e.结论结论 88：A，B 是椭圆22221(0)xyabab+=的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），点 M是弦 AB 的中点，若,OMABkk均存在，则OMABkk=21e.结论结论 89：A，B 是椭圆22221(0)xyabab+=的任一弦（不与对称轴平行），若平行于 AB 的弦

25、的中点的轨迹为直线 PQ，则有PQABkk=21e.结论结论 90：过椭圆22221(0)xyabab+=上任意一点 P（不是其顶点）作椭圆的切线 PA，则有PAOPkk=21e.结论结论 91：椭圆22221(0)xyabab+=及定点()(,0)F mama，过 F 的弦的端点为 A，B，过点 A，B 分别作直线2axm=的垂线，垂足分别为 D，C，直线2axm=与 x 轴相交于E，则直线 AC 与 BD 恒过 EF 的中点，且有0AEBEkk+=.结论结论 92：椭圆22221(0)xyabab+=及定点()(,0)F mmc=，过 F 的弦的端点为 A、B，E 为椭圆上任意一点，连接

26、AE，BE，且分别与准线2axm=相交于 P，Q，则有1FQFPkk=.结论结论 93：椭圆22221(0)xyabab+=及定点()(,0),0F mama m，过 F 的弦的端点为 A、B，E 为椭圆上任意一点，连接 AE，BE，且分别与直线2axm=相交于 P，Q，则有222FQFPbkk=m a.；结论结论 94：A，B 是双曲线22221(0,0)=xyabab的任一直径（中心弦），点 P 是双曲线上任一点（不与 A，B 重合），则PAPBkk=21e.结论结论 95：A，B 是双曲线22221(0,0)=xyabab的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），点 M 是弦 AB 的中点，

27、若,OMABkk均存在，则OMABkk=22ba.结论结论 96：A，B 是双曲线22221(0,0)=xyabab的任一弦（不与对称轴平行），若平行于 AB的弦的中点的轨迹为直线 PQ，则有PQABkk=21e.结论结论97：过双曲线22221(0,0)=xyabab上任意一点P（不是其顶点）作双曲线的切线PA，则有PAOPkk=21e.结论结论 98：双曲线22221(0,0)=xyabab及定点()(,0)F mmama，过 F 的弦的端点为 A，B，过点 A，B 分别作直线2axm=的垂线，垂足分别为 D，C，直线2axm=与 x 轴相交于 E，则直线 AC 与 BD 恒过 EF 的中

28、点，且有0AEBEkk+=.结论结论 99：双曲线22221(0,0)=xyabab及定点()(,0)F mmc=，过 F 的弦的端点为 A、B，E 为双曲线上任意一点，连接 AE，BE，且分别与准线2axm=相交于 P，Q，则有1FQFPkk=.结论结论 100：双曲线22221(0,0)=xyabab及定点()(,0)F mmama，过 F 的弦的端点为 A、B，E 为双曲线上任意一点，连接 AE，BE，且分别与直线2axm=相交于 P，Q，则有222FQFPbkkam=.结论结论 101：抛物线22(0)ypx p=及定点(,0)(0)F mm，过 F 的弦的端点为 A，B，过A，B 分

29、别作直线xm=的垂线，垂足分别为 D，C，直线xm=与 x 轴相交于 E，则直线 AC 与 BD 恒过 EF 的中点，且有0AEBEkk+=.结论结论 102：抛物线22(0)ypx p=及定点(,0)2pF mm=，过 F 的弦的端点为 A、B，E 为抛物线上任意一点，连接 AE，BE，分别与准线xm=相交于 P，Q，则有1FPFQkk=.结论结论 103：抛物线22(0)ypx p=及定点()(,0)0F mm，过 F 的弦的端点为 A、B，E为抛物线上任意一点，连接 AE，BE，分别与直线xm=相交于 P，Q，则有2FPFQpkkm=.结论结论 104：抛物线22(0)ypx p=的焦点

30、弦与抛物线相交于 A，B，过 B 作直线 BC 与 x轴平行，交准线于 C，则直线 AC 必过原点（及其准线与 x 轴交点 E 与焦点 F 的线段的中点）.结论结论 105：AB 为过椭圆22221(0)xyabab+=的焦点 F 的弦，其相应的准线与 x 轴交点为E，过 A，B 作 x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于 M，N，则直线 AN，BM 均过线段EF 的中点.结论结论 106：AB 为过双曲线22221(0,0)=xyabab的焦点 F 的弦，其相应的准线与 x 轴交点为 E，过 A，B 作 x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于 M，N，则直线 AN，BM 均过线段 EF 的中

31、点.结论结论 107：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.结论结论 108：AB 为垂直于椭圆22221(0)xyabab+=长轴的动弦，其准线与 x 轴交点为 Q，则直线 AF 与 BQ（或直线 BF 与 AQ）的交点 M 必在该椭圆上.结论结论 109：AB 为垂直于双曲线2222(0)=xyab实轴的动弦，其准线与 x 轴交点为 Q，则直线 AF 与 BQ（或直线 BF 与 AQ）的交点 M 必在该双曲线上.结论结论 110：AB 为垂直于抛物线()()220=或ytxxtyt对称轴的动弦，其准

32、线与 x 轴交点为 Q，则直线 AF 与 BQ（或直线 BF 与 AQ）的交点 M 必在该抛物线上.结论结论 111：已知圆锥曲线的焦点弦 AM（不为通径，若为双曲线则为单支弦），则在 x 轴上有且只有一点 Q 使AQFMQF=.结论结论 112：过 F 作圆锥曲线的一条弦 AB（若为双曲线则为单支弦），分别过 A，B 作准线 l的垂线（Q 是其相应准线与 x 轴的交点），垂足为 A1，B1，则直线 AB1与直线 A1B 都经过QF 的中点 K，即 A、K、B1及 B、K、A1三点共线.结论结论 113：A，B 分别为椭圆22221(0)xyabab+=的右顶点和左顶点，P 为椭圆上任一点（非

33、长轴顶点），若直线 AP，BP 分别交直线2axm=于 M，N，则以线段 MN 为直径的圆必经 过 两 个 定 点，且 椭 圆 外 定 点 为222,0ab amQm+，椭 圆 内 定 点 为222,0ab amRm.结论结论 114：A，B 分别为双曲线22221(0,0)=xyabab的右顶点和左顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 AP，BP 分别交直线2axm=(ma)于 M，N，则以线段 MN 为直径的圆必经过两个定点，且椭圆外定点为222,0ab maQm+，椭圆内定点为222,0ab maRm.结论结论 115：过直线()0 xm m=但在椭圆22221(0)xyab

34、ab+=外一点 M 向椭圆引两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过定点()222222,0ABMNab mNkkmaam=，且有.结论结论 116：过直线()0 xm m=但在双曲线22221(0,0)=xyabab外（即双曲线中心所在区域）一点 M 向双曲线引两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过定点()222222,0ABMNab mNkkmama=，且有.结论结论 117：过直线()0 xm m=但在抛物线22(0)=ypx p外（即抛物线准线所在区域）一 点 M 向 抛 物 线 引 两 条 切 线，切 点 分 别 为 A，B，则 直 线 AB 必 过 定 点(),0

35、2ABMNpNmkkm=，且有.结论结论 118：设点 M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点 M 向圆锥曲线引两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过准线对应的焦点 F，且 FMAB.结论结论119：过直线1mxny+=但在椭圆22221(0)xyabab+=外一点M向椭圆引两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过定点()22,N ma nb.结论结论 120：过直线1mxny+=但在双曲线22221(0,0)=xyabab外（即双曲线中心所在区域）一点 M 向双曲线引两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过定点()22,N ma nb.结论结论 1

36、21：过直线()10mxnym+=但在抛物线22(0)=ypx p外（即抛物线准线所在区域）一点 M 向抛物线引两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过定点1,pnNmm.结论结论 122：A，B 是椭圆22221(0)xyabab+=的左右顶点，点 P 是直线()|,0 xtta t=上的一个动点（P 不在椭圆上），直线 PA 及 PB 分别与椭圆相交于 M，N，则直线 MN 必与x 轴相交于定点2,0aQt.结论结论 123：A，B 是双曲线22221(0,0)=xyabab的顶点，点 P 是直线()|,0 xtta t=上的一个动点（P 不在双曲线上），直线 PA 及 PB 分别

37、与双曲线相交于 M，N，则直线 MN必与 x 轴相交于定点2,0aQt.结论结论 124：A，B 是抛物线22(0)=ypx p上异于顶点 O 的两个动点，若直线 AB 过定点N(2p,0)OAOB A，B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值 若 OAOB 直线 AB 过定点N(2p,0)A，B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值()2min4AOBSp=若 OAOB 过 O 作 OMAB 动点 M 的轨迹方程为()22200 xypxx+=结论结论 125：过抛物线22(0)=ypx p上任意一点 M()00,xy作两条弦 MA，MB，则 MAMB的充要条件是直线 AB 过定点 N()002,x

38、py+.结论结论 126：过抛物线22(0)=ypx p上任意一点 M()00,xy作两条弦 MA，MB，则()0MAMBkk=的充要条件是直线 AB 过定点 N002,pxy.结论结论 127：过椭圆22221(0)xyabab+=上任意一点 M()00,xy作两条弦 MA，MB，则 MAMB 的充要条件是直线 AB 过定点 N2222002222,abbaxyabba+.特别地，（1）当 M 为左、右顶点时，即00,0 xa y=时，MAMB 的充要条件是直线 AB 过定点 N()22222,0aabab+（2）当 M 为上、下顶点时，即000,xyb=时，MAMB 的充要条件是直线 AB

39、 过定点 N()222220,bbaab+结论结论 128：过双曲线22221(0,0)=xyabab上任意一点 M()00,xy作两条弦 MA，MB，则MAMB 的充要条件是直线 AB 过定点 N2222002222,abbaxyabba+.特别地，当 M 为左、右顶点时，即00,0 xa y=时，MAMB 的充要条件是直线 AB过定点 N()22222,0aabab+结论结论 129：过二次曲线()22,0+=+AxByCxDyE A B C D EAB上任意一点 M()00,xy作两条弦 MA，MB，若 MAMB，则直线 AB 过定点 N000022,AxCByDxyABAB+.结论结论

40、 130：A，B 是椭圆22221(0)xyabab+=上不同的两个动点，若 OAOB，则22222211|abOAOBa b+=，()22minmax21111|ababOAOBabOAOBab+=+=，.结论 131：A，B 是双曲线22221(0)=xybaab上不同的两个动点（在同一支上），若 OAOB，则22222211|baOAOBa b+=.结论结论 132：抛物线 22(0)=ypxp 对称轴 存在定点(),0Mp 使得过该点的任意弦 AB 恒有 222111|MAMBp+=椭圆 22221(0)+=xyabab 长轴 2222,0abMaab+2222411|abMAMBb+

41、=双曲线 22221(0)=xyabab 实轴 结论结论 133：过圆锥曲线()2210,0 xymnm+n=的焦点 F 作一条直线与圆锥曲线相交于M，N，与 y 轴相交于 P，若,PMMF PNNF=，则2mn+=.结论结论 134：过抛物线()220ypx p=的焦点 F 作一条直线与抛物线相交于 M，N，与 y 轴相交于 P，若,PMMF PNNF=，则1+=.结论结论 135：过圆锥曲线的焦点 F 作一条直线与圆锥曲线相交于 M，N，与相应的准线相交于 P，若,PMMF PNNF=，则0+=.结论结论 136：MN 是垂直椭圆22221(0)+=xyabab长轴的动弦，P 是椭圆上异于

42、顶点的动点，直线 MP，NP 分别交 x 轴于 E、F，若,PEEM PFFN=，则0+=.结论结论 137：MN 是垂直双曲线22221(0,0)=xyabab实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线 MP，NP 分别交 x 轴于 E、F，若,PEEM PFFN=，则0+=.结论结论 138：MN 是垂直抛物线()220ypx p=对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线 MP，NP 分别交 x 轴于 E、F，若,PEEM PFFN=，则0+=.结论结论 139：MN 是垂直椭圆22221(0)+=xyabab长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线 MP，NP 分别交 x

43、 轴于 E、F，A 为长轴顶点，若,OEEA OFFA=，则1+=.结论结论 140：MN 是垂直双曲线22221(0,0)=xyabab实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线 MP，NP 分别交 x 轴于 E、F，A 为实轴顶点，若,OEEA OFFA=，则1+=.结论结论 141：MN 是垂直抛物线()220ypx p=对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线 MP，NP 分别交 x 轴于 E、F，A 为抛物线焦点，若,OEEA OFFA=，则112+=.结论结论 142：P 是圆锥曲线221(0,0)xystst+=上任意一点，弦 PA，PB 分别过定点()(,0),(,

44、0)0MmN mms，若,=PMMA PNNB，则()222+=smsm.结论结论 143：M，P 是圆 C：222(0)xyrr+=上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 PM，PN 分别与 x 轴相交于点 A(m,0)、B(n,0)，则 mn=r2.结论结论 144：M，P 是圆锥曲线221(0,0)xystst+=上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 PM，PN 分别与 x 轴相交于点 A(m,0)、B(n,0)，则 mn=s.结论结论 145：A，B 是圆锥曲线 C：221(0,0)xystst+=上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，点 P(m,0)是 x 轴上的定点，直线 PB 交 C 于另一点 E，则直线 AE 恒过 x 轴上的定点 Q,0sm.结论结论 146：A，B 是抛物线 C：2(0)ypx p=上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，点 P(m,0)是 x 轴上的定点，直线 PB 交 C 于另一点 E，则直线 AE 恒过 x 轴上的定点 Q(),0m.