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1、摘 要通过利用Excel软件的矩阵运算、循环迭代计算、绘制图像等功能展开对偏微分方程的数值解的讨论，运用Excel软件操作简单、快速准确、结果直观清晰等特点以及利用差分方法在偏微分方程中的应用，推算出抛物线型方程的加权隐式差分格式和与之对应的Excel的计算格式，分别对传统意义的数学物理方程和具有实际意义的热传导方程的数值解和解析解（存在有解析解的情况下）加以对比和分析，利用Excel软件的图形绘制功能实现了“数”与“形”的完美结合，实现了Excel软件与偏微分方程的真正结合与实际意义。实验表明，利用Excel软件计算偏微分方程具有赋值准确、计算快速、方便、准确，图形绘制清晰形象等优点。关键词
2、:Excel软件 偏微分方程 数值解 AbstractThis article talks over the digital solution of partial differential equations by using the matrix operation, cyclic iterative calculation, drawing image and other functions of Excel software. Using the characteristics of Excel software, such as simple operation, fast and
3、accurate, intuitive and clear results, and the application of difference method in partial differential equations, the weighted implicit difference format of parabolic equation and the corresponding calculation of Excel are calculated The format, respectively, compares and analyzes the numerical sol
4、ution and analytical solution (in the case of analytical solution) of the traditional mathematical physical equation and the practical heat conduction equation, realizes the perfect combination of number and shape by using the graphic drawing function of Excel software, and realizes the real combina
5、tion and practical significance of Excel software and partial differential equation. The experiment shows that using Excel software to calculate partial differential equations has the advantages of accurate assignment, fast calculation, convenience and accuracy, and clear and vivid drawing.KEY WORDS
6、: Excel, partial differential equations，numerical solution目 录1绪论11.1研究背景和意义11.2国内发展与研究现状11.3本文主要工作22 Excel软件32.1 Excel的基本情况32.2 Excel的基本功能33差分在计算数学中的理论基础53.1差分法的定义53.2差分的种类54偏微分方程理论基础64.1偏微分方程的一般概念64.2(二阶)偏微分方程的基本类型64.2.1从数学上分类74.2.2 从物理实际问题上分类74.3偏微分方程的基本解法（一维非齐次波动方程的傅里叶解法）75 Excel与偏微分方程的结合与应用的具体案例
7、105.1一维波动方程105.2细杆热传导方程的第一混合问题（具有实际意义）156总结与展望196.1总结196.2展望19参考文献20致谢211.绪论1.1研究背景和意义由于中国对现代科技发展的越来越重视，数学发展的重要性也日益凸显出来了。然而在数学领域中，以往的基础数学、应用数学很难有巨大的突破并带来较大的效益，只有计算数学这一重要领域给当前现代发展提供了充足的支撑和保障。但是，学习计算数学外表看似光鲜亮丽，也见证了网络视频传播的那些大佬们，以极高的手速敲完了代码，然后很肯定的敲了个回车键，出来了一段准确无误的数据。但事实上是这计算数学的背后是学习MATLAB、Lingo等软件以及这些软件
8、背后的编程语言，而这一切的编程语言都是以很多大学生最头疼也是最害怕的编程语言C语言为基础的，这让很多人望而却步，转头学习其他的数学领域和方向。然而，当前很多人却忽略了具有强大计算能力的Excel软件。其实很多人对Excel软件有很大的误解，认为其只能做一些简单的操作比如求总和平均分之类的计算。但其实在Excel软件中，它不仅有着良好的计算能力，还可以准确无误的画出数据对应的各种图形，具有很强的视觉效果。尤其是在偏微分方程这一领域，Excel软件以自己独有的功能和特点可以准确的算出偏微分方程的解析解。更为重要的是，由于偏微分方程的形式比较复杂，在其他计算数学的软件难以像Excel软件一样可以分析
9、出数学物理方程的数值解。总之，操作简单、计算强大、制图方便的Excel软件，在一定程度上将大大降低对求解数学物理方程的难度。1.2国内发展与研究现状 1986年5月，北京大学姜礼尚、陈亚浙8撰写了数学物理方程讲义，为中国偏微分方程的发展奠定了基础。2000年6月，河海大学博士研究生劳赛夫2 利用Excel对差分方法在二阶线性偏微分方程的应用，对三个水力学实例进行论证，证明明了其方法具有计算快准确、操作方便等优点。2003年5月，解放军后勤工程学院戴卫国、张伟明4 通过推算抛物线型和椭圆型两类偏微分方程的差分数值解法在Excel软件中与之对应的计算格式，对流体力学的实例加以验证。2004年2月，
10、海州师范学院徐建良、汤炳书6发表了偏微分方程关于在热力学领域的论文。2009年2月，西安工程大学赵玉怀、赵宣铭3 通过推导Excel求解偏微分方程，给出了边值问题的一般方法，简化了计算过程，发表了有关偏微分方程在悬垂线，电位值等领域的论文。1.3本文主要工作偏微分方程是以工程技术中的具体问题为研究对象的，其明显特点如下：第一，它与热学、力学紧密相关。通过利用生活中的实际问题来引出偏微分方程的理论推导，间接推动了其他各工科领域的研究方向的发展，对自然现象的学习和研究提供了很多方法。第二，它要充分地运用数学专业各研究领域和方向的成果。偏微分方程与自然学科相互关联，相互作用，方程随着自然学科的丰富而
11、丰富。所以，方程所需要解决问题的手段和方法也是多种多样的。偏微分方程在教学改革实践、科学技术应用等方面应用十分广泛，但却在处理利用迭代求解数值解的问题上遇到阻力，难以很好的处理问题。作为计算数学方向重要的运算、分析数据的软件Excel，可大大简化偏微分方程中的分析操作，较为容易的计算出方程的数值解和解析解，并且能迅速准确的画出对应的各种图形。刚刚介绍了数学物理方程的基本内容与Excel结合的必要性，现将本文各章总体内容概括如下：第一章介绍了用Excel求解方程的原因和必要性，并且介绍了本文的大致内容。第二章阐述了Excel的发展起源和基本功能。第三章介绍了差分的定义和基本种类。第四章偏微分方程
12、理论基础，介绍了方程的定义、基本类型和常用解法。第五章主要是具体描述了Excel软件在偏微分方程的应用的详细过程，通过对不同的方程来求解它们的数值解、解析解，最终分析比较它们之间的区别以及物理意义。第六章对选取的典型方程进行求解的结果进行分析并做总结，对方程提出可能更为有利的方向，为下一步的研究或设计做好铺垫、指明方向。2Excel软件2.1 Excel的基本情况上述内容讲述了绪论的主要内容，下面将介绍Excel历史发展的大致情况：80年代初，Microsoft推出了首款电子表格软件Multiplan。1985年，第一款经过升级改造的Excel软件向世界开放；之后的两年，首款可在Windows
13、系统下运行的Excel开始向世界问世，并在1988年后逐渐成为软件王国的领先位置。Excel软件虽然为用户提供了更为良好的视觉效果，但是它仍延用了首款电子表格软件的优势或特点：由行列构成的单元格、各种公式以及必要的数据，与此同时，软件还引进了以及单元格的相对和绝对引用的相关技术。此外，Excel软件还具有强大的图形绘制功能。90年代初，由于VBA的具有丰富的功能，Excel开始利用VBA强化自己的功能，促使Excel软件拥有了独立的编程环境以及实现Excel软件的手工步骤自动化，并且可以同时获取输入的用户信息。2.2 Excel的基本功能上述内容介绍了Excel的发展历程，现将Excel的基本
14、功能展示如下：Excel软件的主要功能是对数据的整理和分析，比如通过对数据的单选、多选、分组、筛选、分层显示、引用公式等具体操作，在金融统计等众多领域中发挥了巨大的帮助。作为数据分析的重要工具Excel，将大大减少我们将繁杂数据转化为可用信息的难度。（1）数据管理专家 Excel软件可以和Access连接在一起，把其优势整合起来，普通用户不需要投入过多繁杂的时间和精力去编写代码，就可以迅速的完成日常的数据分析操作。（2）报表输出专家Excel软件利用可视化报表功能，以及专业报表功能，可以快速便捷的设计和输出各种报表，真正做到拿来就用，提高了工作效率。（3）函数求解专家Excel软件具有强大的函
15、数功能，不需要复杂的程序，只选中需要设置的函数单元格，点击公式选项卡，插入需要的数学函数，最后求解计算。 （4）图表绘制专家在Excel软件中，选中需要的数据表，就可以迅速插入需要的任何类型的图表，比如最基本的图表。相比于MATLAB而言,Excel软件画图操作简单便捷，不要过多的程序，并且图形丰富，能让观众拥有直接的视觉感受。3.差分在计算数学中的理论基础为了能够让Excel与偏微分方程有充分的结合，将用到数值分析中的加权隐式差分格式，而差分的理解则是十分重要的，现将差分法的定义和差分的种类介绍如下：3.1差分法的概念 差分法是在比较两个分数大小时，不易采取一般常规方法可在短时间内得出结果的
16、所采取的一种计算方式利用有限差分代替微分的一种求解微分方程的近似数值解法。3.2差分的种类刚刚讲述了差分法的定义，现将差分的种类描述如下：设函数在等距结点上的值为已知，这里h为常数，称为步长。（1） （2） （3） 分别称为g(x)在处以b为步长的向前、向后和中心差分。符号分别叫做向前差分，向后差分和中心差分算子。通过一阶差分的表达式可将二阶差分表达式定义为：.74.偏微分方程理论基础上文刚刚简单介绍了差分的基本概念和类型，下面将详细讨论偏微分方程的内容如下：4.1偏微分方程的一般概念在数学、物理、电气和无线电技术及其它科学领域中，由于许多问题涉及关于多元函数的求解,因此引出了偏微分方程的出现
17、。当是二元函数时，则该函数的带有一阶偏导数的微分方程式可记为称为一阶偏微分方程。关于的二阶偏微分方程可记为.类似地，可写出这个函数的n阶偏微分方程。偏微分方程的积分问题在于求出给定方程的全部解。很明显，偏微分方程的最简单形式其实是过去学习的常微分方程。同理，常微分方程由于其通解含有任意常数因而具有无穷解集。自然，在这里可假定偏微分方程也具有无穷解集。事实上，在偏微分方程的解中可含有同样变量的任意函数，它依赖于未知函数所满足的方程1。4.2(二阶)偏微分方程的基本类型 刚刚介绍了偏微分方程的一般概念，现分别将偏微分方程从数学和物理实际问题两方面上分类如下：约定用表示未知函数，并假定依赖于和（或）
18、两个变量，引入记号研究二阶偏微分方程,其中，均为已知的的函数。4.2.1从数学上分类当时，方程可化为当时，方程可化为（抛物型）当时，方程可化为（椭圆型）如果设其中是常数 ，用新的函数代替函数，那么适当选择的值，将得到下列常系数方程的标准形： 14.2.2 从物理实际问题上分类刚刚从数学的角度对方程进行分类，现将方程以物理实际问题分类如下：双曲型抛物线型椭圆型14.3偏微分方程的基本解法（傅里叶解法）虽然解偏微分方程的方法有很多，但Fourier方法却是最简单的求解方法，现将解法展示如下：来求形如（7）的解。由此可以得出，函数对任意函数都须满足边界条件，即利用已知的初始条件，可得 , .这些等式
19、是函数的傅里叶正弦级数。此时，,（8） . 设满足方程(4).因此，用对应的量代入已知方程，求得,（9） . （10） 把函数展成傅里叶正弦级数,（11） 其中 .（12） (此时把变元t看成参数)。利用表达式(9)、(10)和(11)替换方程(4)中的各项，得.由此可见，为使表达式如(7)的满足方程（4）和表达式（5），函数应满足方程（13） 及其表达式(8)。所以寻求方程(4)满足表达式(5)及（6）的解就归结为求解方程（13）。这就是一个常系数的二阶线性微分方程1。5.Excel与偏微分方程的结合与应用的具体案例 上述研究工作都为本章节的探究奠定了基础。下面将详细讨论Excel在偏微分方
20、程中的应用。5.1一维波动方程 为了更好的理解，现将理论推导求解的一般方法展示如下：利用欧拉公式表示一阶偏导的离散化公式().通过Taylor展开式对二阶偏导整理得到离散化公式如下：.分别将的Taylor展开式以及的Taylor展开式相加得：，紧接着利用向后差分和向前差分()，得,（14）.（15）为了更好的理解，将P乘以(11)并且将1-P()乘以(15),整理得以矩阵形式结果如下：.(16) 其中：，(注：.）5设定解问题5为（17） 且已知该数学物理方程的解析解为 . Excel实践方法步骤如下：循环引用。首先在桌面鼠标右击新建寻找Excel并且打开一张空表格，打开菜单栏“工具”并选择启
21、用“迭代计算”，暂定“最多迭代次数”为1，以及“最大误差”为 0.001。 设置相关参数和系数：如表5-1所示，在空表格中输入系数，定义域a、b，终止时间T，加权系数P，网格步长h，网格步长和时间步长。表5-1 相关参数和初始条件的设置abTPh1010.10.50.10.250.005计算运算总次数和迭代计算。如表5-2所示，在J中输入重新计算的次数的公式,在N中输入运算总次数的公式,在步骤n/2中输入重新计算的公式，在当前时间t中输入当前所处时间的公式。表5-2 迭代计算与运算总次数的控制JN步骤n/2当前时间t104060.03输入矩阵A和矩阵B并且计算矩阵A的逆矩阵。首先计划在A5:J
22、14区域输入矩阵A，如表5-3所示，在A5中输入公式，在B5中输入公式，在A6中输入公式，接着选择B6:C6区域输入公式并且按住，得出结果，接着，选定B7:D7区域输入公式，并且按住，再敲回车得出结果。以此类推，直到得出J14的结果并且在A5:J14区域输入命令之外的区域全部输入数据“0”（否则无法计算）才结束矩阵A的计算。接着计划在A15:K23区域输入矩阵B，如表5-4所示，在A15中输入公式，在B15中输入公式，在C15中公式，接着选择B16:D16区域输入控制命令“=A15:C15” 并且按住，得出结果，接着，选定C17:E17区域输入控制命令“=B16:D16”，并且按住，得出结果。
23、以此类推，直到得出K25的结果并且在A15:K25区域输入命令之外的区域全部输入数据“0”（否则无法计算）才结束矩阵B的计算。最后对矩阵A求解逆矩阵，计划选择在K5:S13区域去计算逆矩阵，如表5-5所示，在K5:S13区域中输入公式并且按住，得出结果，求出矩阵A的逆矩阵。表5-3 矩阵A的数据输入1.25 0.130.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.131.25 0.130.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.131.25 0.130.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
24、0.00 0.131.25 0.130.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.131.25 0.130.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.131.25 0.130.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.131.25 0.130.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.131.25 0.130.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.131.25 0.130.00 0.00 0.00 0.
25、00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.131.25 表5-4 矩阵B的数据输入0.75 0.13 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.13 0.75 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.13 0.75 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.13 0.75 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.13 0.75 0.13
26、0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.13 0.75 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.13 0.75 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.13 0.75 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.13 0.75 0.13 表5-5 矩阵A的逆运算0.81 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0
27、8 0.82 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.08 0.82 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.08 0.82 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.08 0.82 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.08 0.82 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.08 0.82 0.08 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.0
28、8 0.82 0.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.08 0.81 输入初始条件和边界条件。计划在单元格A27:E37内输入控制命令，如表5-6所示，首先，在A27单元格中输入命令“=B2”，然后利用Excel软件的绝对引用在A28单元格内输入命令“=A27+$F$2”；接着用鼠标左键点击A28，等单元格右下方出现黑色小十字的时候，向下拉动至单元格A37，实现X在0到1之间的数值连续变化。在B27单元格内输入控制命令“=sin(PI()*A27)”，然后与上述方法相似，鼠标左键点击B27单元格，等单元格右下方出现黑色小十字的时候，向下拉动至单元格B
29、37，实现了初始条件的连续数值变化；鼠标左键点击B27单元格，等单元格右下方出现黑色小十字的时候，向右拉动至单元格D27，鼠标左键点击B37单元格，等单元格右下方出现黑色小十字的时候，向右拉动至单元格D37，实现了数值的连续变化。输入重新计算的控制命令。如表5-6所示,首先在C28:C36输入控制命令“=MMULT(K5:S13),MMULT(A15:K23,B27:B37)”, 并且按住，再敲回车得出结果，得出前一时刻的数值解；然后在D28:D36区域输入控制命令“=MMULT(K5:S13),MMULT(A15:K23,C27:C37)”, 并且按住，再敲回车得出结果，得出当前时刻的数值解
30、。计算解析解。如表5-6所示,首先利用Excel软件的绝对引用在E27单元格内输入控制命令“=SIN(PI()*A27)*EXP(-PI()PI()*$N$2”，然后与步骤方法相似，鼠标左键点击E27单元格，等单元格右下方出现黑色小十字的时候，向下拉动至单元格E37，实现解析解的连续数值变化。表5-6 计算数值解与解析解X初始条件前一时刻的数值解当前时刻的数值解解析解0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.10 0.31 0.15 0.12 0.23 0.20 0.59 0.56 0.52 0.44 0.30 0.81 0.79 0.76 0.60 0.40 0.95 0.93
31、0.90 0.71 0.501.000.980.950.740.60 0.95 0.93 0.91 0.71 0.70 0.81 0.79 0.77 0.60 0.80 0.59 0.57 0.56 0.44 0.90 0.31 0.30 0.29 0.23 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 绘制数值解与解析解的图形。为了实现数值解与解析解之间有更好的直观效果，如图5-1所示，在“工具”菜单栏上单击“插入”，再单击“散点图”，寻找散点图的分类之一“带平滑和数据标志的散点图”，先设定“系列名称”为“数值解”，分别在“x轴系列值”和“y轴系列值”填写公式 和；再重新设定“系列名称”
32、为“解析解”，分别在“x轴系列值”和“y轴系列值”中填写公式和 ；最后敲回车（“Enter”键），得到期待的形象直观的结果。图5-1 数值解与解析解的变化效果图通过对5.1一维波动方程的实践，不仅让我们认识了一维波动方程的基本形式与内容，更提高了我们的动手实践能力，利用Excel软件操作简单等优势和和数值分析中的加权隐式差分格式对方程进行了矩阵运算、图像绘制，实现了通过Excel软件求解数学物理方程的基本解法，为下一阶段的求解奠定了良好的基础。5.2细杆热传导方程的第一混合问题（具有实际意义）刚刚详细讨论了方程在理论情况下的发展情况，为了更加体现理论在实际应用中的价值，现将方程在热学领域内发展
33、讨论如下：设定解问题6为（18）这是一个两端温度为0度，并且具有热源的定解问题，并且解析解如下：. Excel软件的求解步骤：循环引用。首先在桌面鼠标右击新建寻找Excel并且打开一张空表格，打开菜单栏“工具”并选择“文件”，启用“迭代计算”，并且暂定“最多迭代次数”为1，以及“最大误差”为0.001。 设置所需的参数。如表5-7所示，在空表格中设置系数a为1，系数A为1000，定义域m,l为0,1，终止时间T为1s，加权系数P=0.5，网格步长h为0.2，网格步长为0.01（将定义域分为100份）和时间步长c为0.002（将终止时间T分为500份）。表5-7相关参数和初始条件的设置amlTP
34、hcA10110.50.20.010.0021000计算运算总次数和迭代计算。如表5-8所示，在J中输入重新计算的次数的公式,在N中输入运算的总次数的公式,在步骤n/2中输入重新计算的公式，在当前时间t中输入当前所处时间的公式。表5-8迭代计算与运算总次数的控制JN步骤n/2当前时间t55001480.592输入初始条件。计划在单元格A27:C32的区域内完成输入初始条件，如表5-9所示。在A27单元格中输入命令“=B2”，然后利用Excel软件的绝对引用在A28单元格内输入命令“=A27+$F$2”；接着用鼠标左键点击A28，等单元格右下方出现黑色小十字的时候，向下拉动至单元格A32，实现X
35、在0到1之间的数值连续变化。由题目可知，在初始条件下，u(x,t)=0。所以，在B27单元格内输入0，并且用鼠标左键点击B27，等单元格右下方出现黑色小十字的时候，向下拉动至单元格B32，实现在单元格B27至B32之间全为0。表5-9 初始条件的输入Xt=0000.200.400.600.8010输入解析解的计算方法。计划在C27至C32单元格区域内利用已知的解析解等式，计算u(x,t)在t=4下的结果并输入控制命令，如表5-10所示。在单元格B27内输入控制命令“=(I2*C22/PI()*PI()*A22)*(1-EXP(-4*PI()*PI()*A22/C22)*(SIN(PI()*A2
36、7/C2)”，接着复制此命令，并且在单元格B28至单元格B32内分别粘贴此命令，然后相应地把A27改成A28至A32。表5-10 解析解的计算Xt=0t=40.000.000.000.200.00587.790.400.00951.060.600.00951.060.800.00587.791.000.000.00演示数值解和解析解的直观效果。为了得到相同t不同x的温度变化的直观效果，演示绘制效果。如图5-2所示，在“工具”菜单栏上单击“插入”，再单击“散点图”，寻找散点图的分类之一“带平滑和数据标志的散点图”，接着在已出现的图像中，先设定“系列名称”为“t=0” ，接着在“x轴”和“y轴”的
37、系列值中，分别填写相应地公式：和；再重新添加“系列名称”为“t=4”，在“x轴”和“y轴”的系列值中，分别填写公式：和；最后敲回车（“Enter”键）。得到期待的形象直观的结果。最后点击菜单栏中的“设计”“图表布局”“布局1” “图表标题”中输入“相同t不同x的温度变化曲线”，在横轴坐标轴中添加“x/m”，在纵轴坐标轴中添加“u(x,t)/k”，得到期待的形象直观的结果。图5-2 相同t不同x的温度变化曲线从图5-2中可以得出结论：在t不变的情况下，曲线的两端都趋向于0；在t0时，在热传导方程x轴中心区域的温度也高于其他任何区域的温度。在5.2实践中，利用Excel软件在热传导方程的计算，实现
38、了对具有实际意义的方程进行分析，提高了日常实践的操作速度和运行效率，实现了计算数学和热学上物理方程的真正结合。6总结与展望6.1总结总而言之，通过利用Excel软件与偏微分方程的结合在科学研究和工程实践上发挥着巨大的作用。本文主要展示了偏微分方程在热学上的应用，利用Excel软件操作简单、易于学些和掌握，反应迅速方便等特点应用于偏微分方程的实际问题中，通过数值分析中的加权隐式差分格式，实现了数学与计算机这两大领域的真正结合，在一定程度上方便了科学实践在实际操作中的发展。6.2展望总体来讲，虽然方程具有很强的实际操作性且广泛应用于日常生活和科学实践中，但是本文中仅仅考察了三大类型中的抛物型偏微分
39、方程，对双曲型和椭圆型偏微分方程的阐述较少。所以，仍有改进的方向，可以在后续的研究的领域和方向上得以拓展。不仅如此，此次研究方程的方式方法多基于加权隐式差分格式，没有采用其他计算方法，方法较为单一，有待在接下来的研究中采用新式方法，以便于提高计算效率、易于理解。参考文献：1 孙振绮, 丁效华. 数学物理方程M. 北京:机械工业出版社,2004.4.2 劳赛夫Excel软件在偏微分方程数值求解中的应用J河海大学学报，2001，29（5）.3 赵玉怀，赵宣铭Excel的“重新计算”在求边值问题数值解中的独特作用 J科学技术与工程，2009，9（10）.4 戴卫国,张伟明.Excel软件在求解偏微分方程数值解中的应用J.重庆工业高等专科学校学报，2003,18（2）.5古丽阿亚提艾热提，迪丽热巴买合苏提江.Excel在偏微分方程数值解实验和实践教学中的应用J.中国教育技术装备，2017,20（40）.6 徐建良，汤炳书.一维热传导方程的数值解J.淮阴师范学院学报，2004,3（3）.7 李庆扬，王能超，易大义.数值分析M. 北京：清华大学出版社，2001.8.8 姜礼尚，陈亚浙.数学物理方程讲义M.北京：高等教育出版社，1986.5.9 王能超.计算方法简明教程M.北京：高等教育出版社，2004.1.10 林成森.数值计算方法M.北京：科学出版社，1998.第20页