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1、拉格朗日插值法及中值定理的应用摘要 本文运用拉格朗日插值和中值定理这两个原理，分别研究了数学计算中根号运算的算法，和在现实生活中汽车的测速问题,通过这两个例子来体现出这两个数学原理在日常生活中的重要作用.测速应用中，一般测速距离为300米，在300米中测定其中1秒的距离，利用拉格朗日中值定理测出在一秒内的速度.计算根号的应用中，利用公式和已知可以完全开方的数字（例如根号4），用尽量多的已知条件来提高难以开根号的数字的精度，通过乘法除法等简单的数学运算来得到难以运算的根号运算的结果.由于计算量比较大，所以通过计算机软件MATLAB来实现.最后通过与现实例子的比较，得出两种模型可以实现测速和计算器
2、计算，可以比较精确的达到提高精度的目的.关键词 拉格朗日中值定理 拉格朗日插值法 瞬时变化 极限 MATLABLagrange Interpolation and Application of Mean Value TheoremAbstract This article uses the two principles of Lagrange interpolation and median theorem to study the algorithm of the root operation in mathematical calculations and the speed measur
3、ement of cars in real life. These two examples show the two mathematical principles Important role in daily life.In the application of speed measurement, the general speed measurement distance is 300 meters, and the distance of 1 second is measured in 300 meters, and the speed within one second is m
4、easured by the Lagrange median theorem. In the application of calculating the root number, use formulas and numbers that are known to be easily rooted (for example, root number 4), use as many known conditions as possible to improve the accuracy of numbers that are difficult to root, simple by multi
5、plication and division Mathematical operation to get the result of the difficult root operation. Because the calculation is relatively large, it is realized by the computer software MATLAB.Finally, through comparison with actual examples, it is concluded whether the two models are feasible.KEY WORDS
6、 Lagrange mean value theorem Lagrange interpolation method instantaneous change limit MATLAB目 录引言 11研究的目的和实现方法11.1研究的目的11.2研究的方法21.3相关原理的推导和证明32定理的运用 42.1拉格朗日中值定理在测速中的应用42.2中值定理的例题 52.3拉格朗日插值法在根式计算中的运用52.4拉格朗日插值法的例题6结论8参考文献10致谢11附录12IV引 言在物体运动过程中，我们可以直接观测到物体的物理量其实只有位移和时间，并不能直接观测物体运动的速度，所以需要通过数学计算来获得
7、速度的大小，本文将通过拉格朗日中值定理来求得速度这个极限量.我们可以求得这种连续的函数的极限值2pp33，那么在离散中该如何解决极限问题？我们通过查阅资料了解到计算机无法处理连续的数学模型7p23，因为连续的数字是无穷多的，拉格朗日插值法将数字离散化，通过尽可能的逼近得到结果，从而可以进行有限的数字的计算.在数学计算中，我们知道开根运算较为复杂，本文将运用拉格朗日插值法来剖析开根运算在计算器中的运算原理.因为在查阅的过程中9p8，发现在数学领域中，有大量的原理证明，却没有原理的应用，所以本文准备从数学原理出发，应用于生活实际，探索数学原理对物理学中的作用和在计算器的计算原理3p16.本文通过交
8、通测速仪和计算器计算开根的两个例子，并从这两个例子延展，讨论这两个原理所得到结果的精确度.预计的结果可以符合生活实际的内容，进而加深对定理的理解与应用。1研究的目的和实现方法 1.1研究的目的在许许多多的数学原理当中，查阅中国知网的论文可以发现，有很多的论文停留在理论这一方面，多数是在讲解理论和教育这一方面.然而很多数学理论在物理上也有极大的应用，也可以在一些生活实际中体现作用.于是本文选取拉格朗日中值定理和拉格朗日插值展开研究.本文研究的两种数学原理有一定的联系.我们可以比较容易地知道在数学当中有连续和离散这两种概念，这两个定理可以在这两个领域分别进行极限求值.其中中值定理可以从图一中直观的
9、看出是连续函数的相关定理.图 1拉格朗日插值法中，当它是无限接近光滑的话我们由图二来直观表达：图 2可以看出拉格朗日插值法，在无限接近光滑时，是十分类似中值定理的求的导数和极限.插值法同时也是可以运用在离散的数学环境下.当中值定理不适用的离散环境下，拉格朗日插值法是一个不错的替代方法. 1.2研究的方法生活中，经常有驾驶员超速的情况发生，通过调查发现常用的电子眼测速仪有自己测速模型.经查阅后得知其工作原理是在一秒的时间内测定速度10p22-p23.可以用 （1.1.1）这个公式来表达.通过这个公式就可以得到在某1秒的时候的瞬时速度了.在数学计算中，加减乘除的运算是十分简单的，但是根号运算却无法
10、直接得出，我们在此引用 （1.1.2） 这个公式，通过乘法和除法来对根号运算5p67.由于该运算方式存在误差，本文通过增加运算量来提高精度，来达到目的.1.3相关原理的推导和证明拉格朗日中值定理：若满足1、 在上连续；2、 在上可导，则至少存在一个点，有 . 证明 构造一个函数，使，使 其中，A和B是任意实数， 使上面两个函数相等 最终形式可以替换为. 拉格朗日插值法定义 对某个多项式函数，已知有个点：，有. 证明 1、 存在性证明，给定个点，使点的大小为，其他点大小为的多项式则.易得可以满足 它在处取值为，两两之间互不相等，所以上式不为0.将多项式除以这个取值，就可以得到 这个函数在取值为1
11、时，其他点大小为0.2、 唯一性证明，证长度不超过的拉格朗日多项式至多只有一个，取任意两个长度不超过的多项式， 在所有个点上取到的大小都为0，可知它是多项式的倍数.不等于0，所以它的长度不小于.但的长度是不超过的，矛盾.所以，得证.2定理的运用2.1拉格朗日中值定理在测速中的应用在查询资料的过程中12p33-p34，发现现存测超速的手段分为两种，分别为雷达波测速和电子眼测速.本文通过研究电子眼测速来了解测速原理.该测速原理可以大致用这个公式来表达，其中a和b表达的是时间点，表达对应时间的距离，表达的是b到a的时间中走过的路程14p13.所以由公式中得到的可以来表达在所选取的时间内的瞬时速度.在
12、查阅常用的电子眼模型中，都是选取1秒的时间，300米最大范围.本文也取1秒作为实验要求.但考虑到1秒时间可能太长，考虑将0.5秒也加入模型.2.2中值定理的例题例1 在300米的路段中，汽车在时刻为1秒时位移为1米，2秒时位移为3米， 2.25秒时刻的位移是 7.25米 ，2.5秒时刻是位移为9米， 2.75秒时刻的位移是15.5 米， 3秒时刻位移为19米. 该路段允许的最高速度为16.6m/s，该汽车的表盘在2到3秒这一时刻显示的速度为16.4m/s.求出2秒至3秒间的速度, 2秒至2.5秒间和2.5秒至3秒间和2.25秒至2.75秒的速度. 例题求解 由公式，相对应的秒数对应.相对应的位
13、移对应.所以易知当 ，把相对的物理量代入（1.1.1）公式，即2-3秒时的速度约为16m/s ，16.6-16=0.6 误差0.6m/s.当，代入（1.1.1）公式，即2-2.5秒时的速度约为12m/s，16.6-12=4.6 误差4.6m/s.当，代入（1.1.1）公式，即2.5-3秒时的速度约为20m/s ，20-16.6=3.4 误差3.4m/s.当，代入（1.1.1）公式，即2.25-2.75秒时间的速度约为16.5m/s ，16.6-16.5=0.1 误差为0.1m/s.由此可知拉格朗日中值定理，可以在一定的时间内，对相应的距离进行运算得出当时的瞬时速度，从例1中不难看出，时间间隔，
14、时间的不同，导致了速度的不同，这是因为车速还有加速度的影响，这里不展开研究.但可以确定的是时间间隔越短，测量的精度越高4p45.通过这个例子，可以得出目前主流的电子眼测速仪器的模型，都是以1秒为时间间隔的.通过拍照时测量的移动距离，就可以得出该汽车移动的速度.并且可以知道，当时间间隔越短，越精确.2.3拉格朗日插值法在根式计算中的运用在数学计算中，加减乘除这四则运算是十分简单的，但是对于非完全平方数的数字进行开根就比较复杂.本文通过利用拉格朗日插值法可以估算的特点,发现可以将其用于研究根号计算的原理.拉格朗日插值法是数值分析中的一种算法.从图像的角度上讲，它可以近似来代替一些不规则，或者不好观
15、测的曲线或者离散的曲线.从而达到得到这些曲线某些点的近似值，所以这里可以用这个方法来得到根号运算的近似值6p33，为了提高精确度的，将运用计算机软件MATLAB的方法来简化运算的过程.这款软件可用于数据可视化，数据分析11p67-p71.通过它可以简单的、直观的得到运算结果.拉格朗日插值法的运用方式是使用容易开根号的数字，例如这样的数字，可以直接开根号，将这些数字来充当参数结合公式进行计算，从而近似得到一些并不特殊的数字的开根号后的结果. 2.4插值法的例题例2 求根号下110的值.用两个参数和三个参数进行计算，与计算器得到的值10.488809进行比较.解1 易知的结果为10，11.由.可以
16、推导出 来求解，其中=10，=11，=121，=100，=110.得到10.7619.该结果与计算器的结果对比，发现误差较大.分析原因，这里用的参数太少，因此可能导致了误差，那么本文设想可以通过增加变量可以提高精确度.解2 由.可得到计算可得10.4869.将这个结果和计算器算出的结果进行比对发现精确度增加了一点.由此不难看出，当变量越多时，该模型得到的答案精确度越高，但是，对上式已经可以看出有较大的计算量了，如果想要更高的精确度，显然想通过人工计算，太难以达到了.所以不得不通过计算机辅助软件的计算.接下里，本文通过MATLAB来实现该模型的运算.例3计算当根号下12700的数值，精确度为小数
17、点后四位数 ，用MATLAB来实现.解 第一步编写MATLAB的m文件，建立一个拉格朗日函数，设定好x，y坐标，以及为插值坐标.设s为插值多项在出的插值.用for循环的方法来实现公式（1.1.2）的表达.需要注意的是这不是单纯的for循环，我们选取的是区间内的不能单纯的由1到n，需要对区间分段.写完m文件后，开始主代码的编写，由于主要的函数代码片段我们写在了m文件中，在主代码段，只要把x，y坐标上的部分值和的大小输入，就可以直接输出最后的结果.得出的答案=112.6943.编辑命令如下图.图 3这个题目的x左边设置的值比较大，12700比较难以算出，我们可以通过计算器得到的答案为112.694
18、277.比较后容易知道本文采取的方法精确度可以接受，且只要写好MATLAB中m文件，在之后编辑主代码文件即可，比较简单，只要把x，y，的值带入就可以了，又由例2可知，将x轴，y轴扩大后可以有效的提高结果的精度.如果在数字比较大，计算量比较大的情况下，可以选择MATLAB来简化计算过程15p33.结 论拉格朗日插值与拉格朗日中值定理不仅在数学领域有重大杰出的贡献，在物理，计算等方面有重大作用，仅仅通过人工计算就可以得到较为精确的值，不难想象通过一些计算机的辅助，将很容易达到我们所想要的精确度.中值定理这一数学定理的优点就是简单，很容易学习，并且非常实用.在实际的应用中，该定理所需要的仅仅是仪器要
19、有尽可能高的精确度.缺点显而易见就是太过于依赖仪器的性能，虽然现如今拍照技术可以很容易进行连续拍照，但容易失帧，所以误差就会很大，所以市面上有很多电子眼限定的时间为1秒.不过这不是原理的问题，可以等待仪器的升级换代，这个原理在未来也许会更加实用.拉格朗日插值的优点也是简单易懂，非常容易实现和学习.它的缺点与中值定理相似，就是难以实现，因为插值多项式长度在很长的情况下才可以实现高精度的目标.但在现如今这个缺点已经得以解决，可以通过MATLAB来轻松实现短时间的计算.这两种原理都具有较强的科学严谨性，和实用性，在实际应用上有较突出的表现.通过例题，中值定理可以运用在电子眼测速仪器当中，并且本文得出
20、结论，1秒的误差较大13p155，可以选择0.5秒来进行测速.市面上的测速仪大多数都停留在以前的1秒的时间差，本文通过例题1可知，完全可以用0.5秒的时间差来代替.插值法中，我们知道现在的计算器在计算大数字的时候会计较困难，然而在科研或者其他用途中对数学计算量较大，计算精度有较高的要求时，完全可以用拉格朗日插值多项式，通过MATLAB的辅助来求值，来满足那些较高要求的实验.通过上述方法，设立例题，解答问题，分析误差后得到了和预期十分接近的结果，拉格朗日中值定理可以运用在连续的数学领域来解决数学问题，其主要的方向还是极限，导数问题.在一些数学计算或者物理计算中因为简单的结构，以泛用性十分受欢迎.
21、可以用来解决物理中测速等问题.在没有有效的测量速度的仪器，我们可以选择测量时间和位移来 求每个点的导数来得到速度，通过数学方法来达到我们最终的目的.而在现实生活中，数学计算多是十分极限且难以达到的，在生活中我们可以通过函数或者几何曲线来模拟连续，但是计算机是无法处理无限的数据的，所以我们不难知道在一些根号计算中，计算器得到的答案的精度是比较有限的，我们通过拉格朗日插值法可以将来连续的函数离散化，选取个别点来得到另外一些未知点的值，也是利用类似中值定理极限的方法把离散的函数看成或者说补成一条光滑的曲线，也是类似的极限运算，在通过工具来提高精度 .最后通过一系列的运算和检验，我们得出结论，首先拉格
22、朗日中值定理在目前可以有效地运用在物理测速的模型中，有较高的精确度和可用性，拉格朗日插值法可以解决计算机无法处理的无限多的数字运算，转化为有限数字求极限，解出一些我们无法直接开根号的数字的值，由MATLAB来取得一个比较高的精确度.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(上册)M.4版.高等教育出版社，2009.2 华东师范大学数学系.数学分析(下册)M.4版.高等教育出版社，2009.3 孙志忠，袁慰平，闻震初.数值分析M.3版.东南大学出版社，2011.4 吴赣昌.微积分(上册)M.4版.北京：人民大学出版社，2011.5 徐士良.数值方法与计算机实现M.清华大学出版社，2010.6 关
23、治.数值计算方法M.清华大学出版社，2005.7 Jhon H.Mathews Kurtus D.Fink.数值方法(MATLAB版) M.电子工业出版社，2002.8 高霞.拉格朗日中值定理及其应用J.赤峰学院学报（自然科学版），2012，28(2下).9 陈少云.拉格朗日中值定理的应用实例J.河南教育学院学报(自然科学版)，2017,26.10 李延波，刁爽.拉格朗日中值定理的应用J.广西师范学院学报(自然科学版),2017,34.11 张德丰.MATLAB数值分析M.清华大学出版社，2016.12 余庆红.中值定理的应用探讨D.西安航空技术高等专科学校学报，2007.13 钱吉林.数学分
24、析题精粹M.武汉：崇文书局，2003.14 沈数民.微积分解题分析上M.南京：江苏科学技术出版社，2008.15 龚纯，王玉林. MATLAB语言常用算法程序集M.北京：电子工业出版社，2008.致 谢我的毕业论文是在徐宜会老师的精心辅导下完成的.她在数学和计算机专业的专业性给我很多帮助，帮我指出了很多论文中的不足，帮我开拓了视野，让我明白，论文并非是简简单单的文章.她以严谨，一丝不苟的教学态度，和敬业的教学精神深深感染了我，让我备受鼓舞，使得我的学习热情再此燃起.在我完善论文的过程中，徐老师耐心的指出我的不足，态度十分亲切，让我无形中减少了不少压力，徐老师的帮助让迷茫的我逐渐清晰起来，也让我
25、最后赶上了论文的进度.在此我对徐老师表达由衷的谢意.此外我也要感谢大学四年来所有的专业老师和论文评审老师，没有专业老师的教导，我无法完成本篇论文，是他们在平时的谆谆教诲让我有了完成这次论文的基础，同时是此次的论文审批老师让我的论文由青涩变为成熟，成为一篇合格的论文.在我的人生经历中留下精彩的一笔.在此对各位老师表达谢意.最后是我大学四年来陪伴我的同学，他们的影响不会像老师一样巨大，但也在细致入微地影响着我，陪伴着我，我让在困难的时候依然有动力继续努力，在完善论文的过程中，我们互相努力，互相鼓励，度过难关，有了一段美好的经历.附 录Matlab中m文件function a=Lagrane(x,y
26、,)%Lagrange.m函数为拉格朗日插值多项式%x为x坐标向量%y为y坐标向量%为插值的坐标%s为拉格朗日插值多项式在x0处的插值 syms p;n=length(x);s=0;for(k=1:n) la=y(k); for(j=1:k-1) la=la*(p-x(j)/(x(k)-x(j); end; for(j=k+1:n) la=la*(p-x(j)/(x(k)-x(j); end; s=s+la; simplify(s);end%判断语句，如果参数只有两个的话，直接给出多项式%如果有三个参数，则给出插值点的插值结果if(nargin=2) s=subs(s,p,x); s=collect(s); %展开多项式13