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1、-拉格朗日插值及中值定理的应用毕业论文-第 17 页湘潭大学毕业论文题 目：拉格朗日插值及中值定理的应用学 院：数学与计算科学学院 专 业：信息与计算科学 学 号：2011750224 姓 名：周 维 指导教师：戴 永 泉 完成日期： 2015年5月20日 湘 潭 大 学毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目： 拉格朗日插值及中值定理的应用 学号： 2011750224 姓名： 周维 专业： 信息与计算科学 指导教师： 系主任： 一、主要内容及基本要求主要内容： 充分了解拉格朗日公式起源以及背景, 研究拉格朗日插值在函数逼近中问题的适定性,数值的近似计算算法,以及拉格朗日插值在实际生活中的应用
2、.利用拉格朗日中值定理证明不等式;求函数极限,以及研究函数在区间上性质的应用, 基本要求： 1、理解拉格朗日插值公式和中值定理的证明 2、熟练运用线性插值公式和抛物线插值公式 3、熟练运用拉格朗日中值定理解决函数极限与不等式证明问题 4、用拉格朗日中值定理研究函数在区间上的性质 二、重点研究的问题 1、拉格朗日插值在实际生活中的应用 2、拉格朗日的数值计算算法编程 三、进度安排序号各阶段完成的内容完成时间1 选题12月25日2收集并阅读资料、文献1月15号3月6号3分析讨论题目，拟好提纲3月7号3月25号4编写算法，写出初稿3月26号4月15号5修改初稿，写出修改稿4月15号4月30号6写出定
3、稿5月4号5月7号7准备答辩5月18日5月23日8答辩5月24号四、应收集的资料及主要参考文献 1黄云清，舒适，陈燕萍，金继承，文立平编著的数值计算方法 2由高等教育出版社发行，由陈纪修，於崇华，金路编著的数学分析第二版上册 3由 李庆扬，王能超，易大义编写的数值分析第四版版. 武汉：华中科技大学出版社,2006 年 4 由李培明编写的.拉格朗日插值公式的一个应用高等函授报（自然科学版）.1999年第3期. 5 由潘铁编写的中等数学报.2010年第10期. 6 由张可村，赵英良编写的数值计算算法与分析M科学出版社2003年 湘 潭 大 学毕业论文（设计）评阅表学号 2011750224 姓名
4、周维 专业 信息与计算科学 毕业论文（设计）题目：拉格朗日插值及中值定理的应用 评价项目评 价 内 容选题1.是否符合培养目标，体现学科、专业特点和教学计划的基本要求，达到综合训练的目的；2.难度、份量是否适当；3.是否与生产、科研、社会等实际相结合。能力1.是否有查阅文献、综合归纳资料的能力；2.是否有综合运用知识的能力；3.是否具备研究方案的设计能力、研究方法和手段的运用能力；4.是否具备一定的外文与计算机应用能力；5.工科是否有经济分析能力。论文（设计）质量1.立论是否正确，论述是否充分，结构是否严谨合理；实验是否正确，设计、计算、分析处理是否科学；技术用语是否准确，符号是否统一，图表图
5、纸是否完备、整洁、正确，引文是否规范；2.文字是否通顺，有无观点提炼，综合概括能力如何；3.有无理论价值或实际应用价值，有无创新之处。综合评 价文章篇幅完全符合学院规定，内容完整，层次结构安排科学，主要观点突出，逻辑关系清楚，有一定的个人见解。 文题完全相符，论点突出，论述紧扣主题。 语言表达流畅，格式完全符合规范要求；参考了丰富的文献资料，其时效性较强；没有抄袭现象。在研究拉格朗日插值问题和中值定理问题时，给出的具体例证比较完全，相应算法比较简洁明了。评阅人： 年 月 日湘 潭 大 学 毕业论文（设计）鉴定意见学号： 2011750224 姓名： 周 维 专业：信息与计算科学 毕业论文（设计
6、说明书） 19 页 图 表 14 张论文（设计）题目： 拉格朗日插值及中值定理的应用 内容提要： 论文引言简单介绍了拉格朗日插值与中值定理的起源以及背景。 在论文的第一部分简单的介绍了拉格朗日插值公式的适定性,并详细的介绍了两种简单的插值公式:线性插值和抛物线插值。通过数值的近似计算算法去实现简单的插值运算，以及拉格朗日插值在资产评估中的实际应用。分析了插值公式在运算中的优缺点，以及如何改进。 在论文的第二个部分，讲述了拉格朗日中值定理在数学领域中的一些运算应用，如何证明不等式，求函数的极限问题 ，需要证明其是否满足中值定理的条件，提出假设的函数，证明原不等式的问题。在最后部分通过拉格朗日中值
7、定理研究函数区间上性质的问题。例如一阶导数与函数单调性关系，二阶导数与函数凸性的关系。 最后在附录部分结合具体算法和流程图比较全面的展示了拉格朗日插值公式的运算过程。指导教师评语该生毕业论文主要针对拉格朗日插值公式和拉格朗日中值定理展开研究，具体分析了插值公式的适定性以及中值定理在数学领域中的应用，能够熟练的运用数值算法进行简单的插值逼近的运算，用C语言实现了该插值逼近的算法，程序简单明了，理论与实际结合紧密。程序算法流程清晰，文章组织基本合理，图表齐全。在毕业设计及论文撰写过程中，该同学态度端正，学习新知识能力较强，能按时完成预定的各项任务。同意该生参加毕业论文答辩。建议成绩为指导教师： 2
8、015年 5 月 22 日答辩简要情况及评语根据答辩情况，答辩小组同意其成绩评定为 答辩小组组长： 2015年 5 月 24 日答辩委员会意见经答辩委员会讨论，同意该毕业论文成绩评定为 答辩委员会主任： 2015年 5 月 27 日目录摘要2Abstract2第一章:引 言31.1 插值逼近Lagrange插值31.2 中值定理Lagrange中值定理3第二章: Lagrange插值52.1 Lagrange插值的适定性52.2 线性插值和抛物线插值62.2.1 线性插值多项式的定义62.2.2 抛物线插值多项式的定义62.3 拉格朗日的数值算法计算（见附录1）72.4 拉格朗日插值在实际生活
9、中的应用82.4.1 资产的评估公式:82.4.2 理论与实际生活中的联系82.4.3 计算机运行方法分析92.4.4 结论92.4.5 评价与总结9第三章：Lagrange中值定理113.1 Lagrange中值定理证明不等式113.2 Lagrange中值定理求极限123.3 Lagrange中值定理研究函数在区间上的性质133.3.1 一阶导数与单调性的关系133.3.2 二阶导数和函数凸性的关系14结束语16参考文献17附录18拉格朗日插值及中值定理的应用摘要：本文在引言部分介绍了拉格朗日插值公式和中值定理的起源与背景,并给出其证明过程。在正文的第一部分介绍了拉格朗日插值在函数逼近中问
10、题的适定性,以及几种简单插值的定义，通过拉格朗日插值数值计算的相关算法研究其在函数逼近中的应用；第二部分则关键研究拉格朗日中值定理在数学计算过程中的相关应用,例如如何用拉格朗日中值定理去求函数极限，证明不等式，以及研究函数在区间上的性质等。关键词: 拉格朗日插值公式 拉格朗日中值定理 函数逼近 数值算法 区间性质Lagrange interpolation and the application of the mean value theoremAbstract: This article in the introduction part introduces the Lagrange int
11、erpolation formula and the origin of the mean value theorem and the background, and gave the proof process. In the first part of the text introduces the Lagrange interpolation of problem in the approximation of function, and the definition of several simple interpolation, numerical calculation by La
12、grange interpolation algorithms research its application in the approximation of function; Lagrange mean value theorem in the second part is the key research in the process of mathematical calculations related applications, such as how to use Lagrange theorem to function limit, proving inequalities,
13、 and study the properties of the function on the interval.Keyword： Lagrange interpolation formula Lagrange mean value theorem Function Approximation Numerical Algorithm Interval Properties第一章:引 言1.1 插值逼近Lagrange插值函数的逼近在数学领域中是最基本的问题之一，生活中一些复杂的函数，我们很难去求得它的计算公式,我们即必须得用简单的函数去近似替代，这种类似的替换方法叫做：函数的逼近。而函数逼近
14、又分为局部逼近和整体逼近，接下来我们研究的便是函数逼近中最常用的插值逼近。插值方法的目的是为了寻找一个简单连续函数，使得它在n+1个点处取得定值。除开上述点以外，简单连续函数可以近似地表示出函数。用数学的语言表述则是：设是实变量的单数值函数，并且已知在给出的n+1个互异点处对应的数值为，即。 函数插值的基本性质是找到一个多项式，使得。设它是一个次的多项式，其中（）。利用范德蒙行列式可求解上述问题，然后得到满足符合条件的多项式函数就是插值多项式。它的表述形式为： （1.1.1） （1.1.2） （1.1.3）1.2 中值定理Lagrange中值定理微分中值定理是一系列中值定理的一个通用术语，是微
15、分学中最基本的定理，也是应用数学中研究函数在区间上整体性的强有力的工具，而这里向大家介绍的中值定理则是微分中值定理的核心部分。可以说，其他中值定理则是中值定理由一般到特殊的推广，而中值定理本身在理论和实践上都具有很高的研究价值，本文主要探讨了拉格朗日定理的应用，并通过具体实例来证明不等式和研究函数在区间上的性质。（中值定理）设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么至少有一点，使得首先我们来简单证明一下中值定理：作一个辅助函数： （1.2.1）由于函数在闭区间上连续,在开区间上可导，所以函数也在闭区间上连续，在开区间上可导，并且有：于是运用定理，则知道至少存在一个点，使得。对的表达式求导，并使
16、对（1.2.1）求导可得：当，时可得出 。 证明完毕中值定理的条件的任何一个都不满足时，这个定理是不成立的，见例题1例1：令 ，在上不连续，在上可导 但不存在使得 即 中值定理的结论不成立。在第三章中，将会陆续的介绍中值定理在证明不等式，求函数极限，以及研究函数在区间上性质中的应用。 第二章: Lagrange插值2.1 Lagrange插值的适定性在引言部分，我们已经给出了公式的具体表达式，接下来将证明插值问题的解存在且唯一。首先来证明插值解的存在性。：为此我们需要构造一个特殊的插值多项式，满足条件： ， (2.1.1)其中，我们称为（克罗内克）符号。由(2.1.1)可知是次代数多项式的个零
17、点。所以也可以表达成： 其中为待定常数。 （2.1.2）我们先令=，容易求出： （2.1.3）于是将（2.1.3）代入到（2.1.2）中可得到 （2.1.4）利用上述函数，容易验证出： （2.1.5）从而满足插值条件： ， 存在性得证 其次证明唯一性：设次多项式和插值问题的解，则有表达式：由该等式，可记，则有，并且，即有个零点，由高等代数上的基本知识点可知，如果一个次代数多项式至少存在有个根，则它的表达式一定恒为零，因此，即 唯一性得证2.2 线性插值和抛物线插值2.2.1 线性插值多项式的定义假定已知区间的端点处的函数值为，并要求线性插值多项式使它满足以下两个条件：，的几何意义是：通过两个点
18、和的直线，如图1所示的表达式可由几何意义直接给出： （点斜式） （两点式） 由两点式方程可以看出： 由两个线性函数，的线性组合得到， （图1）其中系数分别为，。显然和是插值多项式。在节点和满足以下条件：， 称函数和为一次插值基函数或线性插值。图像如下： 2.2.2 抛物线插值多项式的定义当时，假设节点插值为，二次的插值多项式为，以使其满足条件：（），其的几何意义是：通过三点，的抛物线。例如，因为它有两个零点，故可以将它表示成。由，得 。所以： 。同理： ， 函数称为二次插值基函数或抛物插值基函数。在区间上的图像为： （图2） 基于抛物线插值函数可以立即得到抛物线插值多项式： 显然它满足条件（）
19、即：2.3 拉格朗日的数值算法计算（见附录1）下面将用具体的实例,来演示插值公式的算法,给出一个简单求函数逼近的例子：已知，试分别用线性插值和抛物线插值公式求出的近似值。由于在上面章节中介绍了线性插值公式和抛物线插值公式，只需要套入公式即可求出的近似计算值，接下来我们用算法，同样也能求出其近似值。第一步：首先我们输入节点个数2第二步：我们通过算法输入插值节点数（121，11）、（144，12）第三步：我们输入需要求出的节点125第四步：运算求出结果（结果如下所示）通过上述方法，我们同样可以求出当节点数为三个的时候，的近似值，其计算结果如下图所示。通过查表和计算器计算可得的近似值为，经过比较上述
20、结果可知，插值节点个数越多，求得的结果越靠近其实际值，但插值公式也存在明显的不足，如果增点一个新的节点，那因子也必须重新计算，影响了实际的工作效率，在实际中输入的插值节点个数越多，虽然求得的数越精确，但是也会变得相当繁琐。2.4 拉格朗日插值在实际生活中的应用2.4.1 资产的评估公式: 资产=重置所有价格大幅贬值-功能性贬值-经济性贬值的价值它的意义在于,资产评估在利用现时的条件下,被评估的资产在全新状态下的重置资本减去各种陈旧贬值后的差额作为被评估资产的现时价值。 （引用于百度百科）2.4.2 理论与实际生活中的联系假设某类电子设备的的功能参数和价格，及已知晓该电子设备的功能参数：，其对应
21、的价格参数为：。由图标关系看出功能参数与及格的函数关系为：假设在参数区间内存在一条代数多项式的函数曲线，在函数曲线上所有的数值都满足一一对应关系，用函数曲线作为的模拟曲线，这就是我们用到的插值法。利用这条曲线，输入新的插值点，即可重置成本的参考价格。 如右图所示：而拉格朗日插值多项式为：令时可分别得到线性插值和抛物线插值。如下图所示：2.4.3 计算机运行方法分析根据上述分析，如若电气设备的信息点越多，曲线的拟合度就变得越加复杂，而评估的准确率就会更高，计算公式就会变得相当复杂，这时我们需要借助计算机。把表达式化成:由上述公式和2.3中的数值算法可以画出一个程序框图,见附录22.4.4 结论由
22、以上程序框图分析可知,采用插值法计算设备的功能重置成本,计算精度较高,方法快捷。但是,由于上述方法只能针对可比性较强的标准设备,方法本身也只考虑单一功能参数,因此,它的应用范围受到一定的限制。作为一种探索,可将此算法以及其他算法集成与计算机评估分析系统中,作为传统评估分析方法的辅助参考工具,以提高资产价值鉴定的科学性和准确性。2.4.5 评价与总结插值方法是最基本的插值方法，拉格朗日插值公式是对称的，容易记忆，理解，在了解，证明，应用插值公式的过程中，不仅要注重理论知识，更加要应用到实际生活中去，不仅只有大学才能用公式来解决各种问题，高中的部分问题用插值公式来解决会更加方便快捷，尤其是线性函数
23、和二次函数方面。对于高阶函数来说，我们并不了解它的特性，而插值公式却能轻易解决这个问题。第三章：Lagrange中值定理3.1 Lagrange中值定理证明不等式中值定理的表达式为。它在几何上的意义表示，在曲线上，点处切线的斜率。由于是区间上的一点，设。使得 。（其意义为可以表示区间任意一点）证明不等式得遵循以下四个步骤：第一：观察不等式是否能转化成公式的形式第二：在满足条件可以变形之后，需要根据已知的题目设出合理的第三：验证所设是否满足中值定理第四：利用满足的不等式来证明原题中的不等式下面列举两个简单的例题，用中值定理证明不等式。例题1：求证成立。证：首先令，则利用中值定理 就可将上述式子变
24、成 对上式左右两边取绝对值 即 同时由于 所以原不等式成立例题2：已知，求证证：首先令，则由于在闭区间上连续，在开区间上可导，所以满足中值定理的条件。根据中值定理公式有：因为 所以在上述不等式的三项同时乘以一个 由此原不等式得证3.2 Lagrange中值定理求极限由于用中值定理求极限与3.1中证明不等式的步骤略有相同，在下面将介绍几个常见的求极限的例子。例题1：证：首先令，当时，在区间满足中值定理的条件。例题2：设函数是连续的，有公式：，当，试求的极限。由于函数的二阶导数在区间或上是连续的，所以在区间或也是连续的，所以满足中值定理的条件。对用中值定理：将上式代入题目中的式子 （1）将用公式展
25、开： （2）利用（1），（2）两个式子：则有： 3.3 Lagrange中值定理研究函数在区间上的性质3.3.1 一阶导数与单调性的关系函数在区间上单调增加的充分必要条件为：对于任意的，都有。（特别的，对于，都有，我们称其为严格单调递增）由中值定理：设为区间上任意两点，且，则有由于，和是同符号的，所以当或时，同样存在或。又因为是上任意的两个点。则可知道，是单调递增或者是严格单调递增的。 充分性得证设为区间上任意的一个点，函数在区间上单调增加的。所以对于任意的一个（）， 有：由保序性，当时， 有 必要性得证例题1：证明不等式令,且在上连续且可导,则用中值定理有:再令 对求导: 故是上是严格单调递
26、增的。又因为： 故： 即： 3.3.2 二阶导数和函数凸性的关系首先在这里给出一个定义：设函数在区间上有定义，在任取两个点和任意的都有以下关系式：则说明是一个下凸的函数，如果等号不成立，则是一个严格的下凸函数。接下来我们研究二阶导数与凸性之间究竟存在着什么样的关系。 我们令在区间上是二阶可导函数。则在区间上是下凸函数的充分必要条件是：对于任意一个，都有恒成立。首先证必要性： 因为是一个上凸函数，根据定义，对于任意一个和，如果和都属于区间，则有：我们令，则上式可以推成：所以有 由特殊到一般，对于任意的两个为区间上的两个点，且满足，令。反复使用上式结果，则可以推导出：由于 所以式子可以化成在点处是
27、可导的。对两边式子求极限：就有：，便有即的一阶导在区间上是单调递增的。因此的二阶导数在区间上是非负数的。 即 ， 。然后证明充分性：如果，则的一阶导数在上是单调递增的。对于区间上的任意两个点，有一个。使得，这个式子的意义是能表示区间的任意一个点。且，在区间和用中值定理有，利用上述两个式子可以得到：又因为的一阶导数是单调递增的，所以存在下列不等式：又因为 所以： （1）同理可推出： （2）用（1）乘上加上（2）乘上，则可以得到：而 所以：由定义知道在区间上是一个下凸函数。结束语在数学领域中,插值公式与中值定理扮演着一个重要的角色，在经过了近一两个月的探索中,我已经熟练的掌握了插值公式与中值定理，
28、并结合其去解决生活中的一些数学问题。而在更深层次的领域中，例如水流路径的算法研究，力学平衡方面的应用等一些生活问题，都能见识到公式的身影。这也需要我们更多的去学习以及挖掘出公式的实际应用。参考文献1黄云清，舒适，陈燕萍，金继承，文立平.数值计算方法M.第一版.北京：科学出版社，2012.6 2陈纪修，於崇华，金路.数学分析M.第二版.北京：高等教育出版社，2011.9 3李庆扬，王能超，易大义.数值分析M.第四版.武汉：华中科技大学出版社,2006 年 4李培明.拉格朗日插值公式的一个应用M.高等函授报（自然科学版）.1999年第3期. 5潘铁编.浅谈应用多项式的拉格朗日插值公式解题中等数学报
29、M.2010年第10期. 6张可村，赵英良.数值计算算法与分析M.科学出版社2003年 附录附录1：/* 计算方法拉格朗日插值公式 */#include Stdio.h#include Conio.hint main(void) float X20,Y20,x; int n; void input(float *,float *,float *,int *); float F(float *,float *,float,int); input(X,Y,&x,&n); printf(F(%f)=%f,x,F(X,Y,x,n); getch(); return 0;void input(float
30、 *X,float *Y,float *x,int *n) int i; printf(请输入插值节点的个数:); scanf(%d,n); printf(n请输入各个插值点的坐标:n); for(i=0;i*n;i+) scanf(%f%f,X+i,Y+i); printf(n请输入插值点X=); scanf(%f,x);float F(float *X,float *Y,float x,int n) int i,j; float Lx,Fx=0; for(i=0;in;i+) Lx=1; for(j=0;jn;j+) if(j!=i) Lx=Lx*(x-*(X+j)/(*(X+i)-*(X+j); Fx=Fx+Lx*(*(Y+i); return Fx;附录2：jnj=j+1ji?j=0L=1i=0,F=0输入x,y,n,i,j,F,L开 始 Y NYi=i+1Yin?N输出F 结 束