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1、 立体几何高考对空间想象能力的考察体现在立体几何试题上，其中解答题着重考查点、线、面的位置关系的判断及空间角、空间距离等几何量的考查，以垂直和空间角居多。一、 梳理必备知识一、平行关系二、垂直关系三、线面角、面面角及空间距离 二、解答题型综合训练1.如图X11-1,在三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,E,F,G分别是AC,AD,BC的中点.求证:(1)AB平面EFG;(2)CACD;(3)平面EFG平面ABC.图X11-1证明:(1)在三棱锥A-BCD中,E,G分别是AC,BC的中点,EGAB,AB平面EFG,EG平面EFG,AB平面EFG.(2)AB平面BCD,CD平面BCD,A
2、BCD.BCCD,ABBC=B,AB,BC平面ABC,CD平面ABC.CA平面ABC,CACD.(3)E,F分别是AC,AD的中点,EFCD,EF平面ABC.EF平面EFG,平面EFG平面ABC.2.如图X7-1,在多面体ABCDEFG中,矩形ADEF,矩形CDEG所在的平面均垂直于正方形ABCD所在的平面,且AB=2,AF=3.(1)求多面体ABCDEFG的体积;(2)求平面BFG与平面ADEF夹角的余弦值.图X7-12.解:(1)平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,AFAD,AF平面ABCD,同理可得ED,GC均与平面ABCD垂直,又AF=DE=CG,可将该多面体补形
3、成如图所示的长方体ABCD-FHGE,此长方体的体积为223=12,三棱锥B-FHG的体积为1312223=2,故此多面体的体积为12-2=10. (2)以A为坐标原点,AB,AD,AF所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,0),F(0,0,3),G(2,2,3),BF=(-2,0,3),FG=(2,2,0).设平面BFG的法向量为m=(x,y,z),则mBF=0,mFG=0,即-2x+3z=0,2x+2y=0,令x=1得m=1,-1,23.易知n=(1,0,0)为平面ADEF的一个法向量,cos=11+1+491=32222,平面BFG与平面ADEF夹角的余弦
4、值为32222.3.如图J7-1,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为正方形,EFAD,平面ADEF平面ABCD,AD=2EF=4DE=4,AF=3.(1)判断平面ABF与平面CDE的交线l与AB的位置关系,并说明理由;(2)证明:平面ABF平面CDE.(本小题满分12分)图J7-1.解:(1)lAB,理由如下:由题意知ABCD,因为AB平面CDE,CD平面CDE,所以AB平面CDE.又AB平面ABF,平面ABF平面CDE=l,所以lAB.4分(2)证明:方法一:由底面ABCD为正方形,且平面ADEF平面ABCD,平面ABCD平面ADEF=AD,AB平面ABCD,可得AB平面ADEF.6分如
5、图,延长AF,DE交于点P,由EFAD,AD=2EF,DE=1,AF=3,可得DP=2,AP=23,又AD=4,所以AD2=DP2+AP2,所以APPD.9分因为AB平面ADEF,PD平面ADEF,所以ABPD,又APAB=A,所以PD平面ABF.又PD平面CDE,所以平面ABF平面CDE.12分方法二:以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.6分则A(0,0,0),B(4,0,0),F0,32,32,D(0,4,0),C(4,4,0),E0,72,32,所以AB=(4,0,0),AF=0,32,32,DC=(4,0,0),DE=0,-12,32.设平
6、面ABF的法向量为m=(x1,y1,z1),则mAB=0,mAF=0,即4x1=0,32y1+32z1=0,令z1=3,得m=(0,-1,3).8分设平面CDE的法向量为n=(x2,y2,z2),则nDC=0,nDE=0,即4x2=0,-12y2+32z2=0,令z2=3,得n=(0,3,3).10分所以cos=mn|m|n|=0,所以平面ABF平面CDE.12分 4.如图J7-1,在四棱锥P-ABCD中,CD平面PAD,ABCD,AB=1,CD=2,M为棱PC上一点.(1)若BMCD,证明:BM平面PAD;(2)若PA=PD=AD=2,且PA平面BMD,求直线PC与平面BMD所成角的正弦值.
7、(本小题满分12分)图J7-1解:(1)证明:取CD的中点N,连接MN,BN,ABCD,CD=2AB,且N为CD的中点,ABDN且AB=DN,四边形ABND为平行四边形,则BNAD.2分CD平面PAD,AD平面PAD,CDAD,又BNAD,CDBN.又CDBM,BNBM=B,CD平面BMN,则平面BMN平面PAD,BM平面BMN,BM平面PAD.5分(2)取AD的中点O,作OQAB交BC于Q,连接PO,PA=PD,POAD,CD平面PAD,PO平面PAD,CDPO,又CDAD=D,PO平面ABCD.CDAD,OQABCD,OQAD.7分如图，以O为坐标原点,以OA,OQ,OP的方向分别为x轴、
8、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D(-1,0,0),B(1,1,0),C(-1,2,0),P(0,0,3),8分PA=(1,0,-3),DB=(2,1,0),PC=(-1,2,-3).设平面BMD的法向量为n=(x,y,z),由PA平面BMD,DB平面BMD,得PAn=x-3z=0,DBn=2x+y=0,取x=3,则n=(3,-23,1).|cos|=|nPC|n|PC|=368,11分因此,直线PC与平面BMD所成角的正弦值为368.12分5.如图J3-2,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,BAD=60,M是棱PB上的点,O是AD的中点,且PO平面ABCD,
9、OP=3OA.(1)求证:BCOM;(2)若PM=23PB,求平面BOM与平面OMC的夹角的余弦值.图J3-25.解:(1)证明:如图,连接BD,在菱形ABCD中,因为BAD=60,所以ABD为等边三角形,因为O为AD的中点,所以OBAD,又ADBC,所以OBBC.因为PO平面ABCD,BC平面ABCD,所以POBC,因为POOB=O,PO平面POB,OB平面POB,所以BC平面POB,又OM平面POB,所以BCOM.(2)由(1)知,OP,AD,OB两两互相垂直,以O为坐标原点,OA,OB,OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,设OA=1,则OP=3OA=3,
10、OB=22-12=3,所以O(0,0,0),B(0,3,0),C(-2,3,0),P(0,0,3),所以OP(0,0,3),OC=(-2,3,0),PB(0,3,-3),PM=23PB=(0,233,-233),OM=OP+PM=(0,233,33).设平面OMC的法向量为m=(x,y,z),则OMm=0,OCm=0,即233y+33z=0,-2x+3y=0,令y=1,得m=(32,1,-2).易知平面BOM的一个法向量为n=(1,0,0),所以|cosm,n|=|mn|m|n|=3234+1+4=6923,即平面BOM与平面OMC的夹角的余弦值为692
11、3.6.如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面平面ABCD，G是CF的中点(1)证明：平面AEF；(2)求直线AE与平面BDEF所成角的余弦值 6.解：（1）如图，取BC中点H，取AD中点M，因为为等边三角形，所以，平面平面ABCD， 又平面，平面平面，所以平面ABCD，又底面ABCD为矩形，则.以H为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,由题意可得，已知G是CF的中点则，可知，由四边形BDEF为平行四边形，得，设平面AEF的法向量，则，取，得，则平面AEF的一个法向量故，则.且平面AEF，则平面AEF.（2），设平面的法向量，则，取，
12、得，得平面BDEF的一个法向量设直线AE与平面BDEF所成角为，则，则为锐角，故.故所求直线AE与平面BDEF所成角的余弦值为. 7.如图J3-3,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,四边形BDEF是矩形,平面BDEF平面ABCD,BF=3,G和H分别是CE和CF的中点.(1)求证:平面BDGH平面AEF;(2)求平面BDGH与平面BCD的夹角的大小.图J3-37.解:(1)证明:因为G,H分别是CE,CF的中点,所以GHEF,又因为GH平面AEF,EF平面AEF,所以GH平面AEF.如图,连接AC,设ACBD=O,连接OH,因为ABCD为菱形,所以O为AC的中
13、点,又H为CF的中点,所以OHAF,因为OH平面AEF,AF平面AEF,所以OH平面AEF.又因为OHGH=H,OH平面BDGH,GH平面BDGH,所以平面BDGH平面AEF.(2)取EF的中点N,连接ON,因为四边形BDEF是矩形,O,N分别为BD,EF的中点,所以ONED,因为平面BDEF平面ABCD,所以ED平面ABCD,所以ON平面ABCD,因为ABCD为菱形,所以ACBD,故OB,OC,ON两两互相垂直.以O为坐标原点,OB,OC,ON的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则B(1,0,0),D(-1,0,0),E(-1,0,3),H(12,32,32)
14、,所以BH=(-12,32,32),DB=(2,0,0).设平面BDGH的法向量为n=(x,y,z),则nBH=0,nDB=0,即-12x+32y+32z=0,2x=0,令z=1,得n=(0,-3,1).由ED平面ABCD,得平面BCD的一个法向量为DE=(0,0,3),则cosn,DE=nDE|n|DE|=00+(-3)0+1323=12,所以平面BDGH与平面BCD的夹角的大小为60.8.如图J3-4,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD和CDEF都是直角梯形,ABCD,CDEF,AB=EF=1,DA=DC=DE=2,ADE=ADC=EDC=2,点
15、M为棱CF上一点,平面AEM与棱BC交于点N.(1)求证:ED平面ABCD;(2)求证:AEMN;(3)若平面AEM与平面CDEF的夹角的余弦值为23,求FMFC的值.图J3-4解:(1)证明:因为ADE=ADC=EDC=2,所以EDAD,EDDC,又ADDC=D,AD平面ABCD,DC平面ABCD,所以ED平面ABCD.(2)证明:因为ABCD,CDEF,所以ABEF,又AB=EF,所以四边形ABFE是平行四边形,所以AEBF,又AE平面BCF,BF平面BCF,所以AE平面BCF,又平面AEM平面BCF=MN,所以AEMN.(3)以D为坐标原点,DA,DC,DE的方向分别为x,y,z轴的正方
16、向,建立空间直角坐标系,如图所示,设FM=FC,则EM=EF+FM=EF+FC(01).依题意有A(2,0,0),E(0,0,2),F(0,1,2),C(0,2,0),D(0,0,0),所以AE=(-2,0,2),EF=(0,1,0),FC=(0,1,-2),所以EM=(0,1+,-2).设平面AEM的法向量为n=(x,y,z),则AEn=0,EMn=0,即-2x+2z=0,(1+)y-2z=0,取x=1,得n=(1,21+,1).因为AD平面CDEF,所以平面CDEF的一个法向量为DA=(0,0,2),设平面AEM与平面CDEF的夹角为,则cos =|nDA|n|DA|=222+(21+)2
17、=23,可得=13,所以FM=13FC,故FMFC=13.9.如图X11-3,已知ABC是以AC为底边的等腰三角形,将ABC绕AB转动到PAB位置,使得平面PAB平面ABC,连接PC,E,F分别是PA,CA的中点.(1)证明:EFAB;(2)在SABC=33;点P到平面ABC的距离为3;直线PB与平面ABC所成的角为60这三个条件中选择两个作为已知条件,求平面EBF与平面BFA的夹角的余弦值.图X11-3解:(1)证明:如图,过点E作EDAB,垂足为D,连接DF,由题意知,PABCAB,易证EDAFDA,所以FDA=EDA=2,即FDAB,因为EDAB,且FD平面EFD,ED平面EFD,EDF
18、D=D,所以AB平面EFD,又EF平面EFD,所以EFAB.(2)过点P作POAB,垂足为O,连接CO,则COAB,因为平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,所以PO平面ABC.以O为坐标原点,OA,OC,OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=a,ABC=,因为ABC是以AC为底边的等腰三角形,所以BC=a.由条件得SABC=12a2sin =33,由条件得PO=asin =3,由条件得PBO=60,即=120.若选条件或条件或条件均可得a=23.则B(3,0,0),A(33,0,0),P(0,0,3),C(0,3,0),E(332,0,32
19、),F(332,32,0),所以BF=(32,32,0),BE=(32,0,32).设平面EBF的法向量为m=(x,y,z),则mBF=0,mBE=0,即32x+32y=0,32x+32z=0,令y=1,得m=(-3,1,1).易知平面BFA的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos =mn|m|n|=15=55,即平面EBF与平面BFA的夹角的余弦值为55.10.如图J7-1,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影为AC的中点D,且BA1AC1.(1)求证:AC1平面A1BC;(2)求平面B1A1B与平面A1BC的夹角的余弦值.(本小题满
20、分12分)图J7-110.解:(1)证明:A1在底面ABC上的射影为AC的中点D,平面A1ACC1平面ABC.2分BCAC,且平面A1ACC1平面ABC=AC,BC平面ABC,BC平面A1ACC1,AC1平面A1ACC1,BCAC1.又AC1BA1,且BCBA1=B,AC1平面A1BC.5分(2)取A1C1的中点D1,连接CD1.以C为坐标原点,CA,CB,CD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.7分AC1平面A1BC,A1C平面A1BC,AC1A1C,四边形A1ACC1是菱形,D是AC的中点,A1AD=60,A(2,0,0),A1(1,0,3),B(0,2,0),
21、C1(-1,0,3),B1B=A1A=(1,0,-3),A1B1=AB=(-2,2,0).设平面A1B1B的法向量为n=(x,y,z),则nB1B=x-3z=0,nA1B1=-2x+2y=0,取x=3,则n=(3,3,1).10分由(1)可知AC1平面A1BC,则平面A1BC的一个法向量为AC1=(-3,0,3),cos=AC1n|AC1|n|=-33+39+33+3+1=-77,11分平面B1A1B与平面A1BC的夹角的余弦值为77. 11.如图J8-1,已知正四面体ABCD,M,N分别在棱AD,AB上,且AM=12MD,AN=13AB,P为棱AC上任意一点(P不与A重合).(1)求证:直线
22、MN平面BDP;(2)求直线DN与平面DBC所成角的正弦值.(本小题满分12分)图J8-1解:(1)证明:AM=12MD,AM=13AD,又AN=13AB,MNBD.MN平面BDP,BD平面BDP,MN平面BDP.4分(2)取AC的中点O,连接OB,以O为原点,OC,OB所在直线分别为x,y轴,作Oz平面ABC,建立如图所示的空间直角坐标系.设正四面体ABCD的棱长为3,则该正四面体的高为6,6分B0,332,0,C32,0,0,D0,32,6,N-1,32,0,DN=(-1,0,-6),BC=32,-332,0,BD=(0,-3,6).7分设平面DBC的法向量为n=(x,y,z),则nBC=
23、0,nBD=0,即32x-332y=0,-3y+6z=0,令y=2,得n=(6,2,1).9分设直线DN与平面DBC所成的角为,则sin =|cos|=|nDN|n|DN|=-6-637=24221.11分故直线DN与平面DBC所成角的正弦值为24221.12分12.如图J7-3,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AA1=AD=2BC=2,AB=2,点E在棱A1D1上,平面BC1E与棱AA1交于点F.(1)求证:BDC1F;(2)若BE与平面ABCD所成角的正弦值为45,试确定点F的位置.(本小题满分12分)图J7-312.解:(1)证明:在直四棱柱ABCD-A1B1
24、C1D1中,AA1平面ABCD,因为BD平面ABCD,所以AA1BD.1分连接AC,因为tanADB=ABAD=22,tanCAB=CBAB=22,所以ADB=CAB,所以ACBD,2分连接A1C1,又因为AA1,AC平面ACC1A1,AA1AC=A,所以BD平面ACC1A1,4分因为C1F平面ACC1A1,所以BDC1F.5分(2)以A为坐标原点,AB,AD,AA1的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),C1(2,1,2).6分设E(0,x,2),x0,易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),BE=(-2
25、,x,2),则45=|cos|=2x2+6,可得x=12,8分则E0,12,2,BE=-2,12,2,C1E=-2,-12,0.9分设F(0,0,z),则C1F=(-2,-1,z-2),所以(-2,-1,z-2)=m-2,12,2+n-2,-12,0,所以12m-12n=-1,-2m-2n=-2,2m=z-2,解得m=-12,n=32,z=1,11分故F(0,0,1),即点F为棱AA1的中点.12分13.如图J7-2所示,设正方体ABCD-EFGH的棱长为1,J是棱EF的中点,一只蚂蚁从点A出发,沿该正方体的表面直线型爬行一圈,蚂蚁首先爬到点J,然后在上底面EFGH爬行,再在右侧面爬行到点C,
26、最后沿CA回到起点A,蚂蚁爬行一圈的封闭路径正好在平面内.(1)求证:蚂蚁在平面EFGH上爬行的路线l与AC平行;(2)求平面与平面ABCD的夹角的余弦值.(本小题满分12分) 解:(1)证明:在正方体ABCD-EFGH中,平面ABCD平面EFGH,平面平面ABCD=AC,平面平面EFGH=l,所以lAC.4分(2)以A为坐标原点,以AB,AD,AE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),E(0,0,1),J(12,0,1),所以平面ABCD的一个法向量为n=AE=(0,0,1),6分AC=(1,1,0),AJ=(12,0,1)
27、.8分设平面的法向量为m=(x,y,z),则mAC=x+y=0,mAJ=12x+z=0,令z=1,则m=(-2,2,1).10分设平面与平面ABCD的夹角为,则cos =|cosm,n|=|mn|m|n|=13,所以平面与平面ABCD的夹角的余弦值为13.12分14.如图J7-3,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1平面ABC,ACB=90,AC=BC=CC1=2.(1)证明:A1CAB1;(2)若A1B1与平面AB1C1所成角的正弦值为24,求四面体ACB1A1的体积.(本小题满分12分)图J7-3解:(1)证明:平面ACC1A1平面ABC
28、,ACB=90,BC平面ACC1A1,A1C平面ACC1A1,BCA1C,2分BCB1C1,B1C1A1C.AC=CC1=2,四边形ACC1A1是菱形,则AC1A1C,4分又B1C1AC1=C1,A1C平面AB1C1,AB1平面AB1C1,A1CAB1.6分(2)设AC1A1C=D,连接B1D,由(1)可知A1C平面AB1C1,B1D为A1B1在平面AB1C1上的射影,则A1B1D即为A1B1与平面AB1C1所成的角.8分A1B1=AB=22+22=22,由sinA1B1D=24,得A1D=1,9分A1C=A1C1=CC1=2,SA1CC1=3,故V四面体ACB1A1=V三棱锥B1-ACA1=
29、13SA1CC1B1C1=1332=233.12分15.如图J7-2,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且AA1平面ABCD,AA1=AD=2A1D1=4,O,E分别是AC与DD1的中点.(1)证明:OE平面A1BD1;(2)求CC1与平面A1BD1所成角的正弦值.(本小题满分12分)图J7-215.解:(1)连接BD,因为ABCD为正方形,所以O为BD的中点.1分在BDD1中,因为O,E分别为BD,DD1的中点,所以OEBD1,3分又OE平面A1BD1,BD1平面A1BD1,4分所以OE平面A1BD1.5分(2)因为AA1平面ABCD,AB平面ABCD,AD平面AB
30、CD,所以AA1AB,AA1AD.以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(4,0,0),A1(0,0,4),D1(0,2,4),C(4,4,0),C1(2,2,4),则A1D1=(0,2,0),A1B=(4,0,-4),CC1=(-2,-2,4).7分设平面A1BD1的法向量为n=(x,y,z),则nA1D1=2y=0,nA1B=4x-4z=0,取z=1,得n=(1,0,1).9分设CC1与平面A1BD1所成的角为,则sin =|cos|=|nCC1|n|CC1|=2226=36,11分故CC1与平面A1BD1所成角的正弦值为36.1
31、2分16.如图J7-2,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,O,M,N分别为棱BC,AA1,BB1的中点,P为线段AC1上的动点,AO=12BC,AB=3,AC=4,AA1=8.(1)求点C到平面C1MN的距离;(2)试确定动点P的位置,使直线MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大. 图J7-216.解:(1)在ABC中,O为BC的中点且AO=12BC,ABAC.平面ABC平面ACC1A1,平面ABC平面ACC1A1=AC,AB平面ACC1A1.2分连接CM,CM平面ACC1A1,ABCM.M,N分别为AA1,BB1的中点,MNAB,CMMN.在RtAMC和RtMA1C1中,AM=A1M=4,
32、AC=A1C1=4,AMCA1MC1,CM=C1M=16+16=42,CM2+C1M2=32+32=64=CC12,CMC1M.MNC1M=M,MN,C1M平面MNC1,CM平面C1MN,5分点C到平面C1MN的距离为CM=42.6分(2)由(1)知,ABAC.又AA1平面ABC,AB,AC,AA1两两垂直.以A为原点,以AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),C1(0,4,8),M(0,0,4),B1(3,0,8),7分AC1=(0,4,8),BC=(-3,4,0),BB1=(0,0,8).设平面BB1C1
33、C的法向量为n=(x1,y1,z1),则-3x1+4y1=0,8z1=0,令x1=4,则n=(4,3,0).9分设P(x0,y0,z0),AP=mAC1(0m1),则(x0,y0,z0)=m(0,4,8),P(0,4m,8m),MP=(0,4m,8m-4).10分设直线MP与平面BB1C1C所成的角为,则sin =|nMP|n|MP|=12m516m2+(8m-4)2=3m55m2-4m+1.若m=0,则sin =0,此时点P与点A重合;若m0,令t=1m(t1),则sin =355-4t+t2=35(t-2)2+135,当t=2,即m=12,即P为AC1的中点时,sin 取得最大值35.12
34、分17.如图J3-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,ADC=60,PAD为等边三角形,O为AD的中点,且平面PAD平面ABCD,M是PC上的点.(1)求证:OMBC;(2)若直线AM与平面PAB所成角的正弦值为1010,求四棱锥M-ABCD的体积. 图J3-117.解:(1)证明:因为PAD为等边三角形,O为AD的中点,所以POAD.因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD.又BC平面ABCD,所以POBC.2分在OCD中,OD=1,CD=2,ADC=60,由余弦定理可得OC=3,因为OC2+OD2=CD2,所以COAD.因为ADB
35、C,所以COBC,又COPO=O,所以BC平面POC.因为OM平面POC,所以OMBC.5分(2)由(1)得OP,OC,OD两两垂直,以O为坐标原点,OC,OD,OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),P(0,0,3),B(3,-2,0),C(3,0,0),所以AB=(3,-1,0),PC=(3,0,-3),AP=(0,1,3).7分设PM=PC(01),则AM=AP+PM=AP+PC=(3,1,3-3).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nAP=0,即3x-y=0,y+3z=0,令y=3,得n=(1,3,-1).因为
36、直线AM与平面PAB所成角的正弦值为1010,9分所以|nAM|n|AM|=1010,即23562-6+4=1010,解得=13或=-23(舍去),即PM=13PC,则M是PC上靠近P的三等分点,所以四棱锥M-ABCD的高h=23OP=233,故四棱锥M-ABCD的体积V=1321222sin 60233=43.12分18.如图J7-4,三棱锥P-ABC中,平面PAB平面ABC,PA=PB,APB=ACB=90,点E,F分别是AB,PB的中点,点G是BCE的重心.(1)求证:平面EFG平面PAC;(2)若AB=2BC,求平面BEF与平面EFG的夹角的余弦值. 图J7-418.解:(1)证明:设
37、D是BC的中点,连接GD,FD,因为G是BCE的重心,所以E,G,D三点共线,所以平面EFG即为平面EFD,因为E,F,D分别是AB,PB,BC的中点,所以EFAP,FDPC,2分又EF平面PAC,FD平面PAC,AP,PC平面PAC,所以EF平面PAC,FD平面PAC,又EFFD=F,所以平面EFD平面PAC,即平面EFG平面PAC. (2)由(1)知,平面BEF与平面EFG的夹角即为平面BEF与平面EFD的夹角.连接PE,由PA=PB,得PEAB,又平面PAB平面ABC,且平面PAB平面ABC=AB,PE平面PAB,所以PE平面ABC,6分在平面ABC上过E作EKAB交AC于K.以E为坐标
38、原点,直线EK,EB,EP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由APB=ACB=90且AB=2BC,可知PAB为等腰直角三角形,ABC为直角三角形且BAC=30.设AB=2BC=2,则E(0,0,0),F0,12,12,D34,34,0,所以EF=0,12,12,ED=34,34,0.设m=(x,y,z)是平面EFD的一个法向量,则mEF=12y+12z=0,mED=34x+34y=0,令x=3,则m=(3,-1,1),9分又n=(1,0,0)是平面EFB的一个法向量,10分所以|cos|=mn|m|n|=35=155,所以平面BEF与平面EFG的夹角的余弦值为155.1
39、9.如图J8-2,已知空间几何体ABCDE中,ABE与BCD是全等的正三角形,平面ABE平面ABC,平面BCD平面ABC.(1)求证:ACDE;(2)若ABBC,求直线BD与平面ACDE所成角的正弦值.(本小题满分12分)图J8-219.解:(1)证明:设M,N分别为棱AB,棱BC的中点,连接EM,DN,MN.ABE为等边三角形,EMAB,平面ABE平面ABC,且平面ABE平面ABC=AB,EM平面ABC,同理可证DN平面ABC,EMDN.3分ABE与BCD是全等的正三角形,EM=DN,四边形EMND为平行四边形,DEMN,MN为ABC的中位线,MNAC,ACDE.5分(2)以B为坐标原点,B
40、C的方向为x轴正方向,BA的方向为y轴正方向,ME的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.6分设AB=2,则B(0,0,0),A(0,2,0),D(1,0,3),E(0,1,3),AD=(1,-2,3),DE=(-1,1,0),BD=(1,0,3).设平面ACDE的法向量为m=(x,y,z),则mAD=0,mDE=0,即x-2y+3z=0,-x+y=0,取x=3,得m=(3,3,3).10分设直线BD与平面ACDE所成的角为,则sin =|cos|=|BDm|BD|m|=6221=217,12分故直线BD与平面ACDE所成角的正弦值为217.20.如图J1-1,四棱锥P-ABCD中,
41、ABC=BCD=90,AB=PB=2BC=2CD=22,PAD是正三角形.(1)求证:平面PAD平面ABCD;(2)点E在棱PB上,且直线CE与平面ABCD所成的角为30,求平面EAC与平面ABCD的夹角的余弦值. 图J1-120.解:(1)证明:由BCD=90,BC=CD=2,得BD=2,又AD2=BC2+(AB-CD)2=2+2=4,所以AD=2.2分因为AB=22,所以在ADB中,AD2+BD2=AB2,所以BDAD.因为PB=22,PD=BD=2,所以PD2+BD2=PB2,所以BDPD.4分因为ADPD=D,所以BD平面PAD.因为BD平面ABCD,所以平面PAD平面ABCD.5分(
42、2)以D为坐标原点,DA,DB的方向分别为x,y轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.6分则P(1,0,3),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-1,1,0).设PE=PB(01),可得E(1-,2,3(1-),于是CE=(2-,2-1,3(1-).7分易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),则|cosm,CE|=sin 30=12,即|3(1-)|(2-)2+(2-1)2+3(1-)2=12,可得=12或=2(舍去),所以CE=32,0,32.9分设平面EAC的法向量为n=(x0,y0,z0),因为AC=(-3,1,0),所
43、以由ACn=0,CEn=0,得-3x0+y0=0,32x0+32z0=0,取n=(1,3,-3),11分所以|cosm,n|=3913,故平面EAC与平面ABCD的夹角的余弦值是3913.12分21.如图，四棱锥PABCD的底面是等腰梯形，ADBC，BC=2AD， ，E是棱PB的中点，F是棱PC上的点，且A、D、E、F四点共面(1)求证：F为PC的中点；(2)若PAD为等边三角形，二面角 的大小为 ，求直线BD与平面ADFE所成角的正弦值 21解：（1）证明：四棱锥PABCD中，ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC由题意A、D、E、F四点共面，平面ADFE平面PBC=EF， ADEF，而ADBC，EFBC，E是棱PB的中点，F为PC中点（2）如图，以BC为x轴，连接BC中点O和AD中点G,以OG为y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线作为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为AB=CD，BC=2AD，设AD=a，则BC=2a， ，所以，因为