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1、高考解答题专项四立体几何中的综合问题1.（2021安徽十校联盟摸底考试）已知多面体如图所示淇中四边形A3CD为菱 形,Ab平面CO,且AQ,石尸四点共面.求证:平面A5/平面CDE;(2)若 ZABC=90AD=5.DE=6AF=2,EF=V41:AD CE.2.（2021浙江杭州模拟）如图，在三棱锥P-A3C中,A3=AC=BC=遍平面PAC,E,F 分别为ACP3的中点.(1)求证:ACJ_/;（2）求PB与平面ABC所成角的正弦值.3.（2021河北唐山模拟）如图，在三棱柱A8CA而G中，平面ACG4 _L平面A8C,NACB=90 AC=BC=CCi=2.（1）证明若AB与平面ABC所
2、成角的正弦值为日,求四面体AC8A1的体积.4.（2021贵州凯里模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形A4CQ是菱形,ND48=30 ,PDL平面点为A5上一点，且空二网点F为PD中点.p若根,，证明:直线Ab平面PEC; 2（2）是否存在一个常数也使得平面平面PAB?若存在，求出m的值;若不存在，说明 理由.5.（2021宁夏中卫三模）如图,四边形BCCiBi是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线 的截面），线段441是该半圆柱的一条母线，点。为线段的中点.证明若AB=AC=1,且点Bi到平面BCiD的距离为1,求线段BB的长.6.（2021河北正定中学高三月考）如图，在四棱锥A-
3、BCQE中，四边形BCDE为菱形,48=4。=3,8。=274=4。,点6是棱48上靠近点3的三等分点,点方是AC的中点.证明:平面CEG;（2）点”为线段BD上一点，设前二丽，若A”J_平面CEG,试确定t的值.7.（2021宁夏银川模拟）如图,在矩形ABCD中,AB=2,8C=1,E为CD的中点，把ADE沿 AE翻折，翻折后点D的对应点是点“，使得平面4”，平面ABCE.H(1)求证 (2)在C上确定一点使A平面BEF;(3)求四棱锥F-ABCE的体积.8.(2021广西钦州模拟)如图,已知等腰梯形A8CO满足AD BC,2AD=BC=DCB=l， kJ沿对角线3。将“3。折起,翻折后，点
4、A的对应点是点“，使得平面平面BCD.若点E是棱HQ上的一个动点，证明：5EJ_CD;(2)若点RN分别是棱的中点,K是棱BD上的一个动点，试判断三棱锥K-HNP的 体积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，试说明理由.答案：1.证明(I)：四边形ABCD是菱形，：.AB/CD.ABU平面 CQECDu平面 CDE,A3平面 CDE.又 AF/ 平面 CD及AFCA8=A,，平面A8/平面CDE.(2) YA/平面 CD,ARz平面平面 ADE/Tl平面 CDE=DE,：.AF/DE.在线段ED上取一点G,使得EG=4,则DG=2=AF,又DG/AF.，四边形ADGF是平行四边形,，FG=A
5、D=5.FG/AD./ EF=V41,，EF2=EG1+FG1, ：.EGLFG,：.ADED. N A3C=90 ,四边形 A5C。是菱形，J AO J_ OC 又 DCCDE=DQCQEu平面 CZ)E，AZ)J_平面 CDE.TCEu平面 CDE,：.ADCE.2.(1)证明连接 PE,BE：AB=AC=BC,：.ACA.BE,p平面 PAC,-e-PBPA.PBPC,在 RtAABP和 RtACBP 中,AB=BC,PB=PB,.RtAABPRtACBP,：.PA=PC,：.ACPE.门3二/石均在平面PEB中，ACJL平面PEB,Fu平面 PEBS.ACLEF,(2)解由(1)知AC
6、_L平面P氏又ACu平面ABC,平面PE5,平面ABC,平面P防n平面ABC=BE.过点P作PO_L3及垂足为点D, 平面ABC, NPBE就是PB与平面ABC所成的角,不妨设PA=1,在等腰三角形PAC中,P4=PC=1,AC=百，则AE= RthPAE中，由勾股定理计算得PE=3等边三角形22府中，*1，在RtABPE中,sin/P8E=:即PB与平面ABC所成角的正弦值为士 BE 333.(1)证明平面 ACGAi，平面 ABC,平面 ACG4A平面 A8C=AC,BCu平面 ABC.ZACB=90 ,平面ACG4.又 4Cu平面 ACCiAi,：.BCLAC.9：BC/BCS.BCLA
7、C.9：AC=CCi=2,：.四边形 ACCiAi 是菱形,.ACiXAiC.又 BiCiAACi=Ci,BiCi 和 AG 均在平面 ABiCi 中，平面 ABiCi.又 ABC平面 ABiC.AiC.LABi.(2)解设 ACiAAC=。,连接 BiD.由(1)可知ACJL平面ABiCi,：.BiD为AiBi在平面ABiCi上的射影，则ZAiBiD即为AiBi与平面ABiCi所成的角.VAiBi=2V2,sinZAiBiD=,4：.AiD=l,/.AiC=AiCi=CCi=2,Sa/11CC1 = yx22=V3,二四面体4附41 =三棱锥Bi-AC4i =孑 * SA1CC1BC = X
8、 73X2=.4 .(1)证明取PC的中点M连接如图所示.因为F,M分别为PD,PC的中点，所以FM/ CD,FM=*D.2因为啜所以E为AB的中点， Ad Z所以4。鼻三。.所以 FMAE,FM=AE.所以四边形AEA3为平行四边形，所以A尸EM.因为AbC平面PECJEMu平面PEC,所以直线AF/平面PEC.(2)解存在一个常数m，使得平面尸石。，平面PA氏理由如下:要使平面PDJ_平面PAB,只需ABLDE.因为 A5=AD=2,NZ)AB=30。，所以 AE=AQcos 300 =V3.又因为POJL平面平面ABC。,所以PDLAB.因为PDClDE=D,PD,DE均在平面PED中，
9、所以A3,平面PED.因为ABu平面PAB,所以平面平面PAB,所以旭=竺= AB 2.(1)证明由题意可知人4，平面ABCABu平面ABC,：.AAiAB.N84。所对的弦BC为半圆的直径,，ZBAC=-,.AB.LAC. 2441和AC是平面AAiCiC内两条相交直线,平面AAiCiC.AiCu平面 AACC,：.ABLAC,(2)解设 BBi=a,：AB=AC= 1,且N3AC=：，BCZAB? + 称=Vl2 + I2 = V2.2又 CG=q, BCi BC2 + y = V2 + a2.在等腰直角三角形ABC中，取5c的中点区连接AE,则AELBC,取3G的中点为P,连接DP,PE
10、,11.* PE/ CCi,P=；CC,AD CG,AO 弓CG,：.AD/PE,AD=PE,：.四边形ADPE是平行四边形. .* PE/ CCi,CCi _L 平面 ABC. PE，平面 ABC. SEu 平面 A3C,：.PEAE,：.四边形ADPE是矩形. AB=AC,：.AEBC,：.BCGS,则 PD_L平面 BCCiBi.又 PD=AE=, 2.r7_ 1 V2 1_ a金棱锥。= TT, 3.V2 = ;二点B到平面8GQ的距离是1,七棱锥吐血=9 9 72 +a2 .容1 =七棱锥吐血=9 9 72 +a2 .容1 =，2a2+412 t T/pn _ V2a2+4* /三棱
11、锥O-BBiJ 一 U三棱锥瓦-BOCi，冈6 -12q=&，即 BB -y2.6 .(1)证明取AG的中点/,记3。门=0,连接FI,DI,GO,在AACG中,FJ分别是AC,AG的中点，所以F/CG.因为G8=G/,所以同理可得OG/IDT. 又因为 FICDI=I,CGCGO=G,所以平面GCO平面IFD.又OFu平面IFD,所以。尸平面CEG.解因为底面BCDE是菱形，所以OC_LOD因为A石二AC,BC=B旦=所以ABC义ZkAB瓦贝ij易得GC=GE,又因为。是EC的中点，所以0cLLOG.因为OGnOD=O,OG。均在平面AB。中，所以。，平面AB。，又AGu平面ABD,所以 O
12、CLAG,即 0C1AB.因为 AB=AD=3,BD=2y/3,所以 cos ZABD=所以 cos ZABD=ab2+b力2a力22ABBD(26产 _ V32X3X2V3 - 3 则 OG=7BG2 + OB2-2BGOB.cos乙ABD= Jl + 3-2 x 1 x V3 x y = V2, 则 OG2+BG2=OB2,所以 8GJ_0G,即 AB .LOG.又因为OCnOG=O,OC,OG均在平面CEG中，所以A3,平面CEG.若平面C石G,则H与8重合.故t=0.7 .(1)证明平面平面A3CE平面AHEC平面ABCE=AE, 又由已知可得AE=BE他,AB=2, ：. BEAE.
13、又 BEu平面 ABCE,：.BE1 AHE.解连接AC交放于点G,则另=壬=3CrA Ad Z在线段C7/上取CH的三等分点5(靠近连接/G,则* =:，可得AH/FG. CH CA 3而平面BEF,FGu平面3石尸,则A平面BEF.(3)解取AE中点0,连接则H0J_A又平面平面A8CE,且平面AHEA平面 ABCE=AE, ：. “0_L 平面 ABCE.在RtAHE中，可得H0=.2，：F为CH的三等分点网靠近0,J尸到平面A5CE的距离为三x底=竺可得四棱锥F-ABCE的体积为工x 3263-x(l+2)xlx26-x(l+2)xlx26V2128.证明如图，在等腰梯形中，过A,。分
14、别作底边的垂线，垂足分别为M,N,在 RtADNC 中,CN=；2因为所以NNQC=：所以CQ=L 在AABD 中,A8=AO=1,NA4O二一3由余弦定理可知,80=J12 + 12-2 X 1 X 1 x cosy = V3.在MBDC 中石。=百乃。=2,。=1,满足 8。2+。2=5。2 所以 boJ_cd因为平面HBDL平面8C。,且平面平面BCD=BD,CDu平面3C。,所以平 面 HBD.又因为8Eu平面HBD,所以CDLBE.(2)解三棱锥K-HNP的体积是定值.如图，因为 CN=BN,CP=DP, 所以NPBD.所以 S/KPN-SDPN X X ； = 2228取8。的中点连接HF,因为HB=HD,所以HFLBD.因为平面平面BCD,且平面3CDC平面HBD=BD,HFu平面HBD, 所以族，平面BCD.又在AHBD 中,HB=HD=1,/BHD与，所以 HF=32所以V三棱锥K-HNP-V三梭推H-DNP=,S&DNPHF=, xx -=唾为 定值.338248