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1、常州市联盟学校 20232024 学年度第二学期阶段调研 高一年级数学试卷高一年级数学试卷 2024.3 考试时间 120 分钟 满分 150 分 一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1、已知向量()1,2OA=，()1,1OB=，则向量AB的坐标为()A.()2,3B.()0,1 C.()1,2D.()2,32.若3a=，4b=，,a b的夹角为 120，则a b等于().A.6B.6C.6 2D.6 33.已知向量()1,2a=，b
2、/a，那么向量b可以是()A()1,2 B(12)，C(21)，D()2,14O 是平行四边形 ABCD 外一点，用OAOBOC，表示OD，正确的表示为()AODOAOBOC=+BODOAOBOC=+CODOAOBOC=+DODOAOBOC=5.有关平面向量的说法，下列正确的是()A若/a b，/b c，则/a c B若a与b共线且模长相等，则ab=C若ab且a与b方向相同，则abD()()()aba bba=恒成立 6tan10tan503tan10 tan50+=()A1 B3C3 D2 3 7.已知ABC 的外接圆圆心为 O，且2AOABACOAAB=+=，则向量BA在向量BC上的投影向
3、量为()A14BCB34BC C14BC D34BC8我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是 25，小正方形的面第 8 题图 江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期3月学情调研数学试卷积是 1，则AD GB=()A9 B9 C12 D12 二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，至少有两在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合
4、题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9已知()(),1,2,atbt=，则下列说法正确的是()A.|a的最小值为 1 B若ab，则0t=C.若 t=1，与a垂直的单位向量只能为22,22 D若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为()0，10.下列化简结果正确的是()A1cos22 sin52sin22 cos522=Btan24tan3631tan24 tan36+=Csin3cos21212=D62sin1054+=11在ABC中，下列说法正确的是()A若()0ABACBCABAC+=，
5、则ABC是等腰三角形 B若12AB ACAB AC=，()()0ABACABAC+=，则ABC为等边三角形 C若点M是边BC上的点，且2133AMABAC=+，则AMC的面积是ABC面积的13 D 若D分别是边BC中点，点P是线段AD上的动点，且满足BPBABC=+，则的最大值为18 三三填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.若13ACCB=，设ABCA=，则的值为_.13.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若AB2=，则A
6、B AO=.14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点()11,A x y，()22,B xy，O 为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作()cos,A B，余弦距离为()1 cos,A B.已知()cos,sinP，第 13 题图()cos,sinQ，()cos,sinR，若 P，Q 的余弦距离为13，Q，R 的余弦距离为12，且20，则cos2=.四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明
7、过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）已知12,e e是平面上两个不共线的向量且1212124,2ABkee CDeke BDee=+=+(1)若,AB CD方向相反，求 k 的值；(2)若,A C D三点共线，求 k 的值.16.（本小题满分 15 分）已知|1a=，|3b=，(1,3)ab+=，求：(1)|ab；(2)ab+与ab的夹角 17.（本小题满分 15 分）(1)已知5sin5=，10cos10=，且02及02，求+的值；(2)若2sinsin2+=，1coscos2=，求()cos+的值。18.（本小题满分 17 分）在平面直角坐标系中，已知向量()3,1m=，()co
8、ssinn=，.(1)若mn，tan()2 3+=，求tan的值；(2)若m与n的夹角为23且()0 ，求的值.19.（本小题满分 17 分）在直角梯形ABCD中，已知2ABDC=，ADAB，1ADCD=，动点E、F分别在线段DC和BC上，且BFBC=，()1DEDC=(1)当23=时，求AC EF的值；(2)求向量AEEF，的夹角；(3)求12AEAF+的取值范围 第 19 题图 常州市联盟学校 2023-2024 学年度第二学期阶段调研 高一年级数学答案 2024.3 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只
9、有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的 1D 2A 3A 4.C 5.D 6.B 7.A 8B 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分(如果选项有如果选项有 2 个，则每个选项个，则每个选项 3 分，即选对一分，即选对一个得个得 3 分，全部选对得分，全部选对得 6 分；如果选项有分；如果选项有 3 个，则每个选项个，
10、则每个选项 2 分，即选对一个得分，即选对一个得 2 分，选对两个得分，选对两个得 4 分，分，全部选对得全部选对得 6 分分.)9AB 10.BCD 11ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 122 132 14.6152+四、四、解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分 13 分）解：(1)由题意知，/ABCD，则存在 R，使得 ABCD=，即()12124keeeke=+，.3 分 从而 4=kk，得 2
11、=k，或 2=k，.6 分 又,AB CD 方向相反，则 2,2;k=.7 分(2)由题意知，()1212ADABBDkee=+=+，由,A C D 三点共线得，存在 R，使得 ADCD=，即()()121212keeeke+=+，.10 分 从而 12+=kk，得 12=k 或 21=k，所以 1k=或 2k=.13 分 16.（本小题满分 15 分）解：（1）由已知(1,3)ab+=，所以222()|24ababa b+=+=，所以0a b=，.4 分 所以222|24ababa b=+=，所以|2ab=；.8 分（2）ab+与ab的夹角的余弦值为22()()1312242|abababa
12、bab+=+，所以ab+与ab的夹角为120 .15 分 17.（本小题满分 15 分）【解】（1）已知5sin5=，10cos10=，且02及02，所以22 5cos1 sin5=，23 10sin1 cos10=，.4 分 所以()5102 53 102sinsincoscossin()5105102+=+=+=.6 分 又02及02，所以,2 2+，故4+=；.8 分（2）【详解】由2sinsin2+=，1coscos2=，得()2221sinsinsinsin2sinsin2+=+=，.10 分()2221coscoscoscos2coscos4=+=，.12 分 相加得22223si
13、nsin2sinsincoscos2coscos4+=，()()322 coscossinsin22cos4=+=，所以()5cos8+=.15 分 18.（本小题满分 17 分）解：（1）因为()3,1m=，()cossinn=，且mn，所以3cossin0=，0cos所以tan3=.4 分 tan()tan2 333tantan()1tan()tan712 33+=+=+；.8 分（2）解：因为()3,1m=，()cossinn=，所以()()22312m=+=，22cossin1n=+=，3cossinm n=因为m与n的夹角为23，所以21cos32m nmn=，即3cossin122
14、=，所以1cos62+=，.14 分 因为()0 ，所以5,666+，所以263+=，所以56=.17 分 19.（本小题满分 17 分）；(1)当23=时，依题意，23BFBC=，13DEDC=，12DCAB=，12ACADDCADAB=+=+，12CBABACABAD=，13DEDC=，则EFAFAE=，2212()()3323AFABBFABBCABADABADAB=+=+=+=+1136AEADDEADDCADAB=+=+=+1132EFAFAEADAB=+因此22111)13411()(23212AAADABADBADAFBABCADE+=+，又222ABADCD=，90DAB=，所
15、以23AC EF=.6 分(2)证明：(1)(1)2AEADDEADDCADAB=+=+=+1()(1)22AFABBFABBCABADABADAB=+=+=+=+1(1)2EFAFAEADAB=+22212(1)1 1042AE EFADABAD AB+=+=+=向量AE EF，的夹角为 900.12 分(3)(1)(1)2AEADDEADDCADAB=+=+=+1()(1)22AFABBFABBCABADABADAB=+=+=+=+1311224AEAFADAB+=+22222221331|1|14 1224|4|2AFAEADAB+=+=+2255555(1)222=+=+由题意知，0,1，12AEAF+的取值范围是10,52.17 分