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1、因式分解【奥赛花絮】最早的数学竞赛匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家，自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中 学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。仅仅由于两次世界大战和1956年的 匈牙利时件间断过7年。2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。【奥赛赛点】将一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解是一种重要的恒等变形， 在数学中有广泛的应用.因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相 乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法，主元法，配方法，待定系数法等。【解题思路与技巧】1 .换元法。在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看
2、成一个整体，将它用一个字母来代替, 从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法.在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换（如例1,例2）,对称代换（如例3）,倒数代 换（如例4）,平均代换（如例5）等o2 .主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素，将其他字母看作 常数，然后将多项式按选定的字母降氟排列，这种方法叫做主元法。用主元法往往可以得到恰当 的分组，从而找出公因式来，如例6。3 .配方法通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧， 以便利用公式来分解因式，如例7,例8。4 .待定系数法在解决有关多项式时，可先假定问题的结
3、果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项 式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知 系数的值,从而解决问题的方法，如例9 例10。【典型示例】例1 (1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题)在有理数范围内分解因式：(1)16 (6x7) (2x1) (3x+1) (xT ) +25-o(2) (6x1) (2x1) (3x7) (x-1) +x2=o(3) (6x1) (4x7) (3x7) (x7 ) +9x4=.解(1)原式二(6x1) (4x2) (6x+2) (4x+4)+25=(24x-16x+2) (24x2-16x8) +25设 24x
4、2-16x+2=t, 原式二t(t-10)+25= (t5)2= (24x216x3) 2(2)原式二(6x7)(x1) (2x-1) (3x1) +x2- (6x2-7x+1) (6x2-5x+1) +x2设 6x2-7x+1 =t,原式二t (t-2x) +x2= (tx)2=(6x2-6x+1 )2(3)原式二(6x7) (x-1) (4x7) (3x7) +9x4= (6x2-7x+1) (12x-7x+1) + 9x4设 6x2-7x+1 =t,原式二t(6x2+t) + 9x4= (t+3x2) 2= (9x2-7x+1)2例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式
5、：(2x -3y)3+ (3x -2y)3 - 125 (x - y) 3=。解设 2x - 3y=a, 3x - 2y=b, -5x+5y=c,显然 a+b+c=0。由公式 a3+b3+c3-3abc= (a+b+c) (a2+b2+c2-bccaab)次口此时有a3+b3+c3=3abc,故有原式二3(2x - 3y) (3x - 2y) (5x+5y)=-15 (2x - 3y)(3x - 2y) (x-y)例3 (19971998年天津市初二数学竞赛决赛试题)分解因式 xy (xy+1) + (xy+3) -2 (x+y+ ) - (x+y-1)22解设 xy=a, x+y=bo原式二
6、a (a+1) + (a+3)-2b1一(b-1)2=a2+2a+1-b2= (a+1) 2-b2= (a+1 +b) (a+1-b)=(xy+1+x+y) (xy+1-x-y) = (x+1) (y+1) (x-1) (y-1)例4(1991年贵州省初中数学竞赛试题)分解因式：x4+x3_4x2+x+1解 原式二工2(工 + 工2 -4 + -!- + -L) = x2 (x + -) + (x2 +-L)-4亍殳x贝|4 + /=/一2,原式二x?仕十七224)= X2 (t+3) (t2) = x2 (x + - + 3)(% + - - 2) = (x2+3x+1) (x1) 2 XX
7、例5 (1994年石家庄市初中数学竞赛试题)分解因式(x+1)4+(x+3) 272解x+2=t, 原式二(t1) 4+ (t+1)4272=2t4+12t2270=2 (t2+15) ( t2-9)=2(x2+4x+19) (x+5) (x-1)例6 (19981999年天津市初二数学竞赛预赛试题)把 2xx2z4x2y+2xyz+2xy2-y2z 分角主因式解原式=(2x-z) y2-2 (2x-z) xy+ (2x-z) x2= (2x-z) (y-x) 2例7 (1986年扬州市数学竞赛试题)因式分解:(1 +y) 22x2(1 +y2) +x4(1-y)2解原式=(1+y)2+2x2
8、 (1-y2) +x4 (1-y) 2 一4x2= (1+y)+x2 (1 -y) 2-(2x)2= (1+y)+x2 (1-y) +2x (1+y) +x2 (1-y)-2x = (x+1) 2-y (x2-1)(x-1) 2-y (x2-1)=(x+1) (x-xy+y+1) (x-1 ) (x-xy一y-1)例8 (1986年广州,武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题)若a为正整数，则a，-3a2+9是质数还是合数？给出你的证明.解a43a2+9- a4+6a2+9-9a2=( a2+3) 2- (3a) J ( a2+3a+3) ( a2-3a+3)=(a2+3a+3) ( a1
9、) (a2)+1当a=1时，a43a2+9=7是质数；当 a=2 时，a4-3a2+9=13 是质数；当 a2 时，a2+3a+31,( a-1) (a-2) +11,故 a4-3a2+9 是合数。例9(2002年太原市初中数学竞赛试题)关于x, y的二次式x2+7xy+my2-5x+43y-24可分解为两个一欠因式的乘积，则m的值是解设 x2+7xy+my2-5x+43y-24= (x+ay+b) (x+cy+d),即 x2+7xy+my2-5x+43y-24=x2+ (a+c) xy+acy2+ (b+d) x+ (ad+bc) y+bd比较对应项的系数，得，a+c = 7(1)ac =
10、m(2)b+d =-5(3)ad+bc = 43(4)bd = -24(5)由(3) , (5)解得 b = 3, d 二一8 或 b 二一8, d 二 3当b二3, d二一8时，(4)式为-8a+3c=43(6)由(1) , (6)解得 a=-2, c=9o 故 m=ac=T8当b二-8,d=3时，可以得到同样的结果。例10 (1963年北京市中学生数学竞赛高二第二试试题)已知多项式/+bx2+cx+d的系数都是整数并且bd+cd,证明：这多项式不能分解为两个整系数多项 式的乘积.解1因为bd+cd=d (b+c)是奇数,故b+c和d都是奇数。.(A)若b是偶数，c是奇数。设x，bx2+cx
11、+d可以分解成两个整系数多项式的乘积，显然一定有一个是一次因式，因为首项系数是1,不妨设x3+bx2+cx+d = (x+p) (x2+qx+r),其中 p,q, r 都是整数。故有x3+bx2+cx+d = x3+ (p+q) x2+ (pq+r) x+d (1 )比较(1)式两边的系数，得pr = d为奇数(2)pq+r = c为奇数(3)p+q=b为偶数(4)由知p, r都是奇数，再由(3), q为偶数；这样一来，(4)式就矛盾了。(B)若b是奇数，c是偶数.可以同样地推出矛盾来。所以x3+bx2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积.解 2设 x3+bx2+cx+d = (x+p)
12、 (x2+qx+r),其中 p, q, r 都是整数取x=1,上式左边=1+b+c+d是一个奇数，而右边的因式x+p=1+p是一个偶数.矛盾。故x3+bx?+cx+d 不能分解为两个整系数多项式的乘积。【拓展练习】一.选择题1. (2002年第13届“希望杯”数学竞赛试题)下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )o(A) x39x2+27x-27 (B) x3x2+27x27 (C) x4x3+27x-27 (D) x33x2+9x272. (1985年上海市初中数学竞赛试题)x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解之后，正确的结果为().(A)(y-z) (
13、x+y) (xz)(B)(y一z) (xy) (x+z)(C)(y+z) (x-y) (x+z)(D)(x+z) (x+y)(x-z)3. (2002年北京市数学竞赛预赛试题)a4+4分解因式的结果是().(A)(a2+2a2) (a2-2a+2)(B) (a2+2a-2) (a22a2)(C)(a2+2a+2) (a2-2a-2)(D)(a2+2a+2) (a2-2a+2)4. (1997年第8届“希望杯”数学竞赛初二第二试试题)把多项式x2-y2-2x4y-3因式分解之后，正确的结果是().(A)(x+y+3)(xy-1)(B)(x+y1)(xy+3)(C)(x+y-3)(xy+1)(D)
14、(x+y+1)(x-y-3)5. (1990年“缙云杯”数学竞赛试题)在1到100之间若存在整数n,使x2+x-n能分解为两个整系数一次式之积，这样的n有()个.(A) 0(B) 1(C) 2(D) 9二填空题1. (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式：(x - 2) 3- (y - 2) 3-(x-y) 3=。2. (2002年河南省数学竞赛试题)分解因式：x4+2x3+3x2+2x+1 =.3. （1998年第9届“希望杯”数学竞赛初二第二试试题）把代数式(x+y2xy) (x+y-2)+ (xy一1尸分解成因式的乘积应当是。4. (2000年第13届“五羊杯”数学竞赛试题
15、)分解因式:(x4-4x2+1 ) (x4+3x2+1) +1 Ox4-o5. (1999年天津市数学竞赛试题)k为 时，多项式x2-2xy+ky?+3x-5y+2能分解为两个一次因式的乘积三解答题1. (1998年天津市数学竞赛试题)分解因式：(x+1) (x+2) (x+3) (x+6) +x22. (1992年沈阳市数学竞赛试题)分解因式：x4+y4 +z4-2x2y2一2y2z2-2z2x23. (1996年北京市数学竞赛试题)一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64=8z, 64就是 一个完全平方数，a=19952+19952X19962+19962
16、,求证:a是一个完全平方数。4. (1994年“祖冲之杯”数学邀请赛试题)已知乘法公式 a5+b5= (a+b) (a4a3b+a2b2-ab3+b4), a5-b5= (a-b) (a4+a3b+a2b2+ab3+b4),利用或 不利用上述公式，分解因式:x8+x6+x4+x2+1.5. .(第17届江苏省初二数学竞赛第二试试题)多项式x? - (a+5) x+5a7能分解为两个一次因式(x+b), (x+c)的乘积，则a的值应为多少？【拓展练习答案】一.选择题1. o Do 易知3x2+9x27- (x3);而其它三式中都含有二次因式。2. A.x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2
17、y-2xyz= (y-z) x2+ ( y2-2yz+z2) x一yz (y一 z)=(y-z) x2+ (y-z) x一yz二(y-z) (x+y) (x一z)3. Do a4+4= (a4+4a2+4) -4a2= ( a2+2) 2- (2a) 2= (a2+2a+2) (a2-2a+2)4. D. x2-y2-2x-4y-3= (x2-2x+1)- (y2+4y+4) = (x-1) 2- (y+2) 2= (x+y+1) (x-y-3)5. Do 设 x2+x-n= (x-a) (x+b) = x2- (a一b) x一ab,故 a-b=-1, ab=n.于是 n 为两个连续整数 之积
18、，在1 到 100 之间，有 2, 6,12, 20,30, 42, 56, 72, 90 共 9 个。二.填空题1. 3 (x-2) (y-2) (x-y)。仿例 2 的方法解。2. G+x+1) 2.仿例4的方法解。3. (xI)? (y-1)2.仿例3的方法解.4. (x+1) 2 (x2+x+1) (x2-x+1)。设 x4-4x2+1 =t, (x4-4x2+1 ) (x4+3x2+1) +10x4=t (t+7x2) + 10x4=(t+2x2)(t+5x2) = (x4+2x2+1 )(x4+x2+1) = (x2+1) 2 (x2+x+1) (x2-x+1)5. -3.因 x?
19、+3x+2 = (x+1) (x+2),故可设 x2-2xy+ky，3x-5y+2=(x+my+1) (x+ny+2), 即 x?-2xy+ky?+3x5y+2= x2+ (m+n) xy+mny2+3x+ (2m+n) y+2。比较对应项系数得： m+n=-2, 2m+n=5, mn=k.角单得 k=3O三.解答题1 .原式二(x2+5x+6) (x2+7x+6) +x2,设 x?+5x+6=y, 原式二y (y+2x) +x2= (x+y) 2= (x2+6x+6) 22 .原式二(x4-2x2y2+y4) -2z2(x2- y2) +z4-4y2z2= (x2-y2-z2) 2- (2y
20、z)2二(x2-y2-z2+2xy) ( x2-y2-z2-2xy) =x2一 (y一z) 2 x2(y+z)2=(x+y-z) (x-y+z) (x+y+z) (x-y一z)3 .设 1995r，则 a=x?+ x2 (x+1) 2+ (x+1)2= x2 (x+1) 2+2 x (x+1)+1 = x (x+1 )+1 2=(1995X1996+1) 2,故a是一个完全平方数。4 . x8+x6+x4+x2+1 o = (x10-1)4- (x2-1) = (x5+1) (x5-1) 4 (x+1) (x-1)=(x4-x3+x2-x+1) ( x4+x3+x2+x+1)5 .因 x2一(a+5) x+5a-1= (x+b) (x+c) = x2+ (b+c) x+bc故有 b+c=-a-5, bc=5a-1消去a,变形得(b+5) (c+5)=7因 b, c 是整数，故有 b=-4, c=-6 或 b=-6, c-4o于是a=5