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1、第五章.轴对称模型（十八）将军饮马模型 模型讲解一、（河）和两旁模型1 如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得PAPB的值最小. 【作法】如图，连接 AB，与直线 l的交点即为所求点P. 模型2 如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小 【作法】如图，作点B关于直线l的对称点B，连接AB，与直线l的交点即为所求点P. 模型3 如图，点P为角内一点，在射线OA，OB上分别找点M，N，使得PMN的周长最小.【作法】如图，分别作点 P关于两射线OA，OB的对称点P和P，连接 PP ，与两射线的交点即为所求点 M，N。 模型4 如图，M，
2、N为角内的两个定点，在射线OA，OB上分别找点P，Q，使得四边形PQMN的周长最小 【作法】如图，分别作点M，N关于射线OA，OB的对称点M和N，连接 MN，与两射线的交点即为所求点P，Q . 模型5 如图，P为角内的一个定点，在射线OA，OB上分别找点M，N使得PM+MN的最小 【作法】如图，作点P关于射线OA的对称点P，过点P作PNOB，垂足为N，与两射线OA，OB的交点即为所求点M，N . 模型6如图，直线ll，A，B分别为l上方和l下方的定点（直线AB不与l垂直），在l,l上分别求点P,Q ,使得PQl，且AP+PQ+QB的值最小 【作法】如图，将点A向下平移，使AA=PQ，连接 AB
3、，交l于点 Q，过点 Q作 PQl于点 P，则点 P和点 Q 即为所求. 模型7如图， 定点A，B分布在定直线l的同侧，线段PQ=a（定长）在l上移动, 在直线l上找点P,Q ,使得AB+AP+PQ+QB的值最小 【作法】如图，作点A的对称点A，将点A平移到A ，使AA =PQ，且AA l,连接 AB，交l于点 Q，过点 Q 在l上取PQ=a（P点在 Q左侧），则点 P和点 Q 即为所求 口诀 （和两旁） 【总结】研究几何最值：两点之间，线段最短 垂线段最短 二、差同旁模型8如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得 PAPB的值最小 【作法】如图，作线段AB的垂直平分线P
4、Q，交l于点P，则点P即为所求 模型9 如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得 PAPB的值最大 【作法】如图，连接AB ，交l于点P ， 则点P即为所求 模型10 如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，,使得 PAPB的值最大 【作法】如图，作点B的对称点B，连接 AB交l于点P ，则点P即为所求 典例秒杀典例1 如图，AOB=30，OC为AOB内部的一条射线，P为射线OC上一点，OP=4，点M，N分别为OA，OB边上的动点，则PMN周长的最小值为（ ）.A.2 B.4 C.8 D.4 【答案】B【解析】如图，作点P关于OA 的对称点P，作点P关于
5、OB的对称点P，连接 PP，与OA的交点为点M，与OB的交点为点 N， 则 PM=P1M，PN=P2N.此时，PMN 的周长最小，为PMMNPN = P1M +MN+P2N=P1P2.连接OP1，OP2，则 OP1=OP2=OP=4.又 P1OP22AOB= 60，OP1P2是等边三角形，P1P2=OP1=4，PMN周长的最小值是4.故选 B.典例2 四边形 ABCD中，BAD=130，B=D=90，在 BC，CD上分别找一点M，N，使AMN的周长最小，则AMNANM的度数为（ ）. A.80 B.90 C.100 D.130 【答案】C【解析】如图，延长线段 AB到点 A使得 BA=AB，延长线段AD到点A使得DA=AD，连接 AA，与 BC，CD分别交于点 M,N,此时AMN的周长最小.ABC=ADC=90,点 A，A关于直线 BC对称，点 A，A关于直线 CD 对称.BA=BA,MBAB,.MA=MA.同理，NA=NA，A=MAB，A=NAD.AMN=A+MAB=2A,ANM=A+ NAD=2A,AMN+ANM=2(A+A).又BAD=130，A+A=180-BAD=50 AMN+ANM=100.故选C.