《2021年中考数学复习讲义：第五章轴对称模型（十九）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年中考数学复习讲义：第五章轴对称模型（十九）.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第五章.轴对称模 型（十九）一一海盗埋宝模型【结论】如 图，a A D C 和a BEC 是等腰直角三角形，A,B 为直角顶点，F 为 D E的中点，连接F A,F B,则4 F A B是等腰直角三角形.【特征】两等腰直角三角形一组底角共顶点另一组底角顶点相连取中点【证明】（方法一：倍长中线法）如图，延 长 A F 至点P 使 得 F P=A F,连 接 PE,PB,延 长 PE交 A C 于点Q.在4 D A F 和A EPF 中，D F=EF,ZD F A=ZEF P,A F=PF,.,.D A F A EPF(SA S),.*.D A=EP,ZD A F=ZEPF.D A EP.ZEQC
2、=ZD A Q=9 0 .在四边形EQC B中，ZEQC+ZEBC=9 0 0 +9 0 =1 8 0 ,A ZQEB+ZQC B=3 6 0 -1 8 0 =1 8 0 .又.NQEB+NPEB=1 8 0 ,A ZQC B=ZPEB.在A A C B 和 A PEB 中，A C=PE,ZA C B=ZPEB,BC=BE,.A C B之PEB(SA S).A B=PB,NA BC =NPBEA ZA BC+ZA BE=ZPBE+ZA BE,即 NA BP=NC BE=9 0 .A BP是等腰直角三角形.又.1 是 A P 的中点，.BF _ LA P,BF=A F.F A B是等腰直角三角形
3、，F为直角顶点.(方法二：构造手拉手模型)将A D A C 沿 A C 对称，得PA C,将A EBC 沿 B C 对称，得QBC,连接EP,D Q.易证4 PC E丝ZX D C Q（手拉手模型），.PE=D Q,PE_ LD Q（手拉手模型的结论）.A F 是A D P E 的中位线，BF 是D QE的中位线，.*.A F=i pE,A F PE,B F=D Q.BF D Q,2 2.A F=BF,A F BF,.F A B是等腰直角三角形，F为直角顶点典例1 在任意三角形A BC 中，分别以A B 和A C 为斜边向4 A BC 的外侧作等腰直角三角形，如图所示，M 是 BC 的中点，连
4、 接 MD 和 ME,则 MD 与M E 具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由【解析】MD=ME,MD,ME.理由如下：如图，分别取A B,A C 的中点F,G,连接D F,F M,MG,EG,设A B与 D M交于点HV A A D B 和A A EC 都是等腰直角三角形，.,.ZD F A=ZEG A =9 0 ,D F=A F=1 A B,EG=A G=-A C,2 2:M是 B C 的中点，.F M和MG 都是 A BC 的中位线，.A F MG,A F=D F=M G,四边形A F MG 是平行四边形，.F M=A G=G E,NA F M=NA G M,A ZD F M=ZMG
5、 E.在D F M 和A MG E 中，F M=G E,ZD F M=ZMG E,D F=MG,.,.D F MA MG E(SA S),.MD=ME,ZF D M=ZG ME,.ZBHM=9 0o+ZF D M=9 0 +ZG ME.又 A F MG,A ZBHM=ZHMG=ZD ME+ZG ME,.,.ZD ME=9 0 ,即 MD ME.典例2 在 R tZkA BC 中，ZA C B=9 0 ,ta n NBA C=，点 D 在边 A C 上(不与 A,C 重合)，2连 接 BD,F为BD 的中点.若过点D 作 D EA B于点E,连接C F,EF,C E,如图1,设 C F=kEF,
6、则k=.将4 A D E绕点A 旋转，使 得 D,E,B 三点共线，点F 仍为BD 的中点，如图2所示，求证：BED E=2C F.若BC=6,点D在边A C的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD的中点，求线段C F长度的最大值.【解析】.F为BD的中点,DEAB,ZACB=90,.,.CF=1BD,EF=1BD,，CF=EF,.k=l.2 2如图，过点C作C E的垂线交BD于点G,设BD与A C的交点为Q.VD,E,B 三点共 线,/.AE1DB.ZBQC=ZAQD,ZACB=ZAEQ=90,ZQBC=ZEAQ.V Z E C A+Z A C G =90,ZBCG+ZA CG=9
7、0.*.ZECA=ZB CG./.BCGAACE,=1,.GB=DE.AE AC 2.F是BD的中点，是EG的中点.在 RtZiECG 中,CF=-EG,2 BEDE=BEGB=EG=2CF.如图，当 AD.AC时,取 A B的中点M，连 接 MF,C M.V ZA C B=9 0 ,ta n ZBA C =-,且 BC=6,2.,.A C=1 2,A B=6 氐TM 为 A B 的中点，.,.CM=AB=3后.2VA D=-A C,，A D=4.3,.,M为 A B 的中点，F 为 B D 的中点，.,.FM=AD=2.2当且仅当M,F,C 三点共线且F 在线段C M的延长线上时，C F 最
8、大.止 匕 时 C F=C M+F M=2+3 V5.如图，当 A D=2A C 时 一，取 A B的中点M,连 接 MF,C M,3同可知，C F 的最大值为4 +3 技综上，线 段 C F 的长度的最大值为4+3 6.1.()已知两个等腰R ta A BC,R ta C EF 有公共顶点C,ZA BC=ZC EF=9 0 ,连 接 A F,M 是 A F 的中点，连 接 MB,ME.如图1,当 C B 与 C E 在同一直线上时，求证：MBC F.如图1,若 C B=a,C E=2a,求 BM,M E 的长.如图2,当NBC E=4 5 时，求证：BM=ME.图 1图22.()如图 1,在
9、A A BC 中，ZA C B=9 0 ，BC=A C,点 D 在边 A B 上,D E_ LA B交 BC 于E,F是A E的中点.写出线段F D 与线段F C 的关系并证明.如图2,将A BD E绕 点 B 逆时针旋转a (0 a *CG=CF=2 V2 3 9 CA =CD=V2 3,*A G=DF=V2 3.,B M=ME=-X V2 a=a.2 2方法二：如图，延 长 B M交EF于点D.C.CB=a,CE=2 a,.B E=CECB=2 a a=a.V A A B MA FDM,A B M=DM.又B ED是等腰直角三角形，A B E M 是等腰直角三角形,后 后.B M=ME=B
10、 E=a2 2(3)方法一：如图，延 长 A B 交 CE于点D,连 接 DF.A B C与A B CD为等腰直角三角形，.*.A B=B C=B D,A C=CD,.点B 为A D的中点.又点M 为 AF 的中点，.BMULDF.2分别延长FE与 C B 交于点G,连 接 A G,则4 CEF与4 CEG均为等腰直角三角 形.,-.CE=EF=EG,CF=CG,.点E 为 F G 的中点.又点M 为A F的中点，.,.ME=-A G.2在4 A CG 与4 DCF 中，A C=CD,Z A CG=Z DCF=4 5,CG=CF,A A A CGA DCF(S A S),，DF=A G.B M
11、=ME.方法二：如图，延 长 B M交 C F 于点D,连 接 B E,DE.VZ B CE=4 5,.Z A CD=4 5O X 2+4 5=1 3 5,r.Z B A C+Z A CF=4 5+1 3 5=1 80 ,.,.A B/CF,.N B A M=N D F M.是 A F 的中点，.A M=FM.在A A B M 和FDM 中，Z B A M=Z DFM,A M=FM,Z A MB=Z FMD,.,.A B MA FDM(A S A),.,.A B=DF,B M=DM,.,.B C=DF,在A B CE 和 A DFE 中，B C=DF,Z B CE=N DFE=4 5,CE=F
12、E,.,.B CEA DFE(S A S),A B E=DE,Z B EC=Z DEF.二.Z B ED=Z B EC+N CED=N DEF+Z CED=Z CEF=90,.,.B DE是等腰直角三角形.又B MuDM,.B M=ME=，B D,即 B M=ME.22.解 析 (1)结论：FD=FC,CFDF.理由：DEA B,A Z A DE=90,是 A E 的中点,/.A F=FE,又N A CB=90,.,.DF=A F=EF=CF,A Z FA D=Z FDA,Z FA C=Z FCA,.,.Z DFE=Z FDA+Z FA D=2 Z FA D,Z EFC=Z FA C+Z FC
13、A=2 Z FA C.VCA=CB,.,.B A C=4 5,A Z DFC=Z EFD+Z EFC=2 (Z FA D+Z FA C)=90,A DFIFC.(2)结论不变.理由如下：方法一：如图，延 长 A C到点M,使 得 CM=CA,延 长 E D 到点N,使 得 DN=DE,连 接 B N,B M,EM,A N,延 长 M E 交 A N 于 点 H,交 A B 于0.VB CA M,A C=CM,，B A=B M.同理 B E=B N.易知N A B M=N EB N=90,A Z N B A=Z EB M,A A A B N A MB E,.A N=EM,N B A N=N B
14、ME.VA F=FE,A C=CM,.,.CF=1EM,FCEM.2同理，F D=LAN,FDA N,，FD=FC.2Z B ME+Z B 0M=90,Z B OM=Z A OH,.Z B A N+Z A 0H=90,.,.Z A H0=90,A A N MH,.FDFC.方法二：如图，延 长 CF到点M,使 得 FM=CF,连 接 EM,CD,CE,DM,A M,为 A E 的中点，.,.A F=EF,又 FM=CF,四边形MECA 是平行四边形，.ME=A C.又 A C=B C,.,.ME=B C.VZ DB C=4 5+a,Z B EH=90-a,.Z DEM=1 80o-Z DEB-
15、Z B EH=1 80 -4 5-(90-a)=4 5 +a,.,.Z DB C=Z DEM.在4 B DC 和 4 EDM 中，B D=ED,Z DB C=Z DEM,B C=EM,.,.B DCA EDM(S A S).A DM=DC,Z B DC=Z EDM,Z MDC=Z MDE+Z EDC=Z B DC+Z EDC=Z B DE=90,.,.CDM是等腰直角三角形，.,.FD=FC,FDFC.(3)如图，当点E 落在边A B 上时，B F的长最大，最大值为3 V2.如图，当点E 落在A B 的延长线上时，B F的长最小，最小值为四.综上所述，忘 W B F W 3 上。直击中考1.解
16、 析 (1)点P 和点Q 分别为CB,B 0的中点,A PQ 为A B OC 的中位线，.PQ=1 CO,PQ CO.2四边形A B CD是正方形，A CO=B O,CO1 B O.,.PQ=-B O,PQ 1 B O.2(2)Z X PQ B 是等腰直角三角形,理由如下：如图，连 接 OP并延长交B C于点F.由正方形的性质及旋转可得A B=B C,Z A B C=90,/X A CT E是等腰直角三角形，.,.OEB C,OE=OA,工 N O EP=N FCP,N PO E=Z PFC.又.点 P 是 C E 的中点，.J CP=EP,.,.OPEA FPC(A A S),.OE=FC=OA,OP=FP.B O=B F,B F 是等腰直角三角形.B P_ LOF,OP=B P,.B PO也是等腰直角三角形.又 点 Q 为 OB 的中点，.PQ LOB,且 PQ=B Q,A A P Q B 是等腰直角三角形.