3.湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷.docx

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1、雅礼中学2024届高三一模数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,集合,则( )A. B. C. D.2.设复数满足,则( )A. B. C.1 D.3.已知表示两条不同直线,表示平面,则( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则4.

2、已知向量,若,则( )A. B. C. D.5.函数的数据如下表,则该函数的解析式可能形如( )-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A. B.C. D.6.甲箱中有2个白球和4个黑球,乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,以分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球;再从乙箱中随机取出一球,以表示从乙箱中取出的是白球,则下列结论错误的是( )A.互斥 B.C. D.7.已知等差数列(公差不为0)和等差数列的前项和分别为,如果关于的实系数方程有实数解,那么以下1003个方程中,有实数解的方程至少有( )个A.499 B.500 C.501 D.5028.

3、双曲线的左右焦点分别是,离心率为,点是的右支上异于顶点的一点,过作的平分线的垂线,垂足是,若上一点满足,则到的两条渐近线距离之和为( )A. B. C. D.二多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知一组数据:,若去掉12和45,则剩下的数据与原数据相比,下列结论正确的是( )A.中位数不变 B.平均数不变C.方差不变 D.第40百分位数不变10.已知函数满足:,则( )A.曲线关于直线对称B.函数是奇函数C.函数在单调递减D.函数的值域为11.如图所示,有一个棱长为4的正四面体容器,是

4、的中点,是上的动点,则下列说法正确的是( )A.直线与所成的角为B.的周长最小值为C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入),则小球半径的最大值为D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入),则小球半径的最大值为三填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.在二项式的展开式中,常数项为_.13.已知圆锥的母线长为2,则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时_,圆锥的体积最大,最大值为_.14.对于任意两个正实数,定义,其中常数.若,且与都是集合的元素,则_.四解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.)15.(13分)已知函数.(1)若是函数的极值

5、点,求在处的切线方程.(2)若,求在区间上最大值.16.(15分)如图,在平行六面体中,点为中点.(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值.17.(15分)一个袋子中有10个大小相同的球,其中红球7个,黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率;(2)设第次都摸到红球的概率为;第1次摸到红球的概率为;在第1次摸到红球的条件下,第2次摸到红球的概率为;在第1,2次都摸到红球的条件下,第3次摸到红球的概率为.求;(3)对于事件,当时,写出的等量关系式,并加以证明.18.(17分)己知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,若一条斜率

6、不为0的直线过点与椭圆交于两点,椭圆的左右顶点分别为,直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值.19.(17分)约数,又称因数.它的定义如下:若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数,我们就称为的倍数,称为的约数.设正整数共有个正约数,即为.(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;(2)当时,若构成等比数列,求正整数;(3)记,求证:.雅礼中学2024届高三一模数学参考答案1.A 【解析】由题知.2.C 【解析】由解得.3.B 【解析】若,则相交或平行或异面,故错误;若,则,故正确;若,则或,故错误;若,则或或或与相交,故错误.故选:.4.C 【解析】因为,所以,即,所以

7、,所以.故选C.5.A 【解析】由函数的数据可知,函数,偶函数满足此性质,可排除;当时,由函数的数据可知,函数增长越来越快,可排除C.故选:A.6.C 【解析】因为每次只取一球,故是互斥的事件,故A正确;由题意得,故B,D均正确;因为,故C错误.故选C.7.D 【解析】由题意得:,其中,代入上式得:,要方程无实数解,则,显然第502个方程有解.设方程与方程的判别式分别为,则等号成立的条件是,所以至多一个成立,同理可证:至多一个成立,至多一个成立,且,综上,在所给的1003个方程中,无实数根的方程最多501个,故有实数解的方程至少有502个.故选:D.8.A 【解析】设半焦距为,延长交于点,由于

8、是的平分线,所以是等腰三角形,所以,且是的中点.根据双曲线的定义可知,即,由于是的中点,所以是的中位线,所以,又双曲线的离心率为,所以,所以双曲线的方程为.所以,双曲线的渐近线方程为,设到两渐近线的距离之和为,则,由,得,又在上,则,即,解得,所以,故,即距离之和为.故选.9.AD 【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为12,16,22,24,25,31,33,35,45,其中位数为25,平均数是,方差是,由,得原数据的第40百分位数是第4个数24.将原数据去掉12和45,得,其中位数为25,平均数是,方差是,由,得新数据的第40百分位数是第3个数24,故中位数和第40百分位数不变,平均数与方

9、差改变,故正确,错误.故选:AD.10.ABD 【解析】,所以函数的值域为,故正确;因为,所以,所以,因为,所以,所以,所以,即,所以,因为,所以曲线关于直线对称,故A正确;因为即,所以函数是奇函数,故B正确;取,则最小正周期,故C错误.故选:ABD11.ACD 【解析】选项,连接,由于为的中点,所以,又平面,所以直线平面,又平面,所以,故正确;选项,把沿着展开与平面在同一个平面内,连接交于点,则的最小值即为的长,由于,所以,故的周长最小值为错误;选项,要使小球半径最大,则小球与四个面相切,是正四面体的内切球,设球心为,取的中点,连接,过点作垂直于于点,则为的中心,点在上,过点作于点,因为,所

10、以,同理,则,故,设,故,因为,所以,即,解得正确;选项,4个小球分两层(1个,3个)放进去,要使小球半径要最大,则4个小球外切,且小球与三个平面相切,设小球半径为,四个小球球心连线是棱长为的正四面体,由选项可知,其高为,由选项可知,是正四面体的高,过点且与平面交于,与平面交于,则,由选项可知,正四面体内切球的半径是高的,如图正四面体中,正四面体高为,解得正确.故选:ACD.12.-160 【解析】,因为的通项公式为,所以在中,当时,不满足;在中,当时,则常数项为,故答案为-160.13.;【解析】设圆锥的底面半径,母线为,高为,设母线与底面所成的角为,则,则,则,则圆锥的体积为,令,则,令,

11、求导得,令,则或(舍去),所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以当时,取得极大值,也是最大值.此时最大,即圆锥的母线与底面所成的角的余弦值时,圆锥的体积最大,最大值为.故答案为:.14.【解析】解:由与都是集合的元素,不妨设因为,所以,由已知,所以,则,又,所以,即,所以,所以,则,即,因为,所以,则,即.四解答题(本题共6小题,共70分)15.解:(1),又是函数的极值点,即在处的切线方程为,即,所以在处的切线方程是(2),令,得,在单调递减,在单调递增而当,即时,当,即时,综上,当时,;当时,16.解:(1)因为,所以,因为,所以,以为原点建立如图所示的坐标系,所以,所以,设面的法向量为

12、,所以,令,所以,因为不在面内,所以平面;(2),所以,设面的法向量,因为,所以,令,则,设面的法向量,因为,所以,令,所以,所以,所以二面角的正弦值为.17.(1)记事件“第次摸到红球”为,则第2次摸到红球的事件为,于是由全概率公式,得.(2)由已知得,.(3)(2)可得,即,可猜想:,证明如下:由条件概率及,得,所以.18.(1)解:由椭圆的离心率为,且点在椭圆上,可得,所以,又点在该椭圆上,所以,所以,所以椭圆的标准方程为.(2)证明:设,由于该直线斜率不为0,可设,联立方程和,得,恒成立,根据韦达定理可知,19.解:(1)当时正整数的4个正约数构成等比数列,比如为8的所有正约数,即.(2)由题意可知,因为,依题意可知,所以,化简可得,所以,因为,所以,因此可知是完全平方数.由于是整数的最小非1因子,是的因子,且,所以,所以为,所以.(3)证明:由题意知,所以,因为,所以,因为,所以,所以,即.

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