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1、2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册4.3等比数列小专题突破一、单选题1已知，若a，b，c三个数成等比数列，则（）A5B1CD或12在等比数列中，则（）A-4B8C-16D163已知等比数列的各项均为正数，若，则（）A1B2CD4某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N，1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算，记表示第n天生命体M的个数，表示第n天生命体N的个数，则，则下列结论中正确的是（）AB数列为递增数列CD若为等比数列，则5已知等比数列的前n项和为，公比，若，则
2、的值是（）ABCD6设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（）A2024B2023C2022D20217已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（）（参考数据：取）A第6天B第7天C第8天D第9天8已知数列的前项和为，则下列结论不正确的是（）A是递增数列B是递增数列CD二、多选题9斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理化学等领域都有应用斐波那契数列满足，则（）AB，使得成等比数列C，对成等差数列D10若数列的前项和，数列的通项，则（）AB数列的前项和C若，则数列的前
3、项和D若，数列的前项和为，则不存在正整数，使得11已知分别是数列的前项和，则（）ABCD三、填空题12已知等比数列的各项均为正数，且，则 .13在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，3为数列1，3的第n次扩展数列，令，则数列的通项公式为 .14高斯函数是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中表示不超过的最大整数，如.已知满足，设的前项和为，的前项和为.则（1） ；（2）满足的最小正整数为 试卷第3页，共3页学科网（北京）股份有限公司参考答案：1D【分析】根据三个数成
4、等比数列，列式计算，即可得答案.【详解】由题意知，a，b，c三个数成等比数列，则，故，故选：D2C【分析】设出公比，结合两等式左边两项的内在联系,直接求得公比，再结合所求式分子分母项的内在联系,化简成公比的乘方式，直接代入即得.【详解】设等比数列的公比为，则，即，.故选:C.3A【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式列方程求解.【详解】设等比数列的公比为，则，解得，所以.故选：A.4B【分析】根据给定条件，求出递推公式，进而求出数列的通项公式，再逐项分析判断即得.【详解】依题意，则，而，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，又，因此，于是，对于A，A错误；对于B，显然数列是递减数
5、列，因此为递增数列，B正确；对于C，C错误；对于D，由为等比数列，得，解得或，当时，显然数列是等比数列，当时，显然数列是等比数列，因此当数列是等比数列时，或，D错误.故选：B【点睛】思路点睛：涉及求数列单调性问题，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答，也可以借助函数单调性进行判断.5D【分析】直接利用等比数列求和公式求解即可.【详解】由等比数列求和公式得.故选：D.6B【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值.【详解】，又，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，故，令由且，则，由，则，则，所以，故，则正整数的值为2023.故选：B7C【分析】设甲植物
6、每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、，依题意得到、的通项公式，即可求出、，再由得到，最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得.【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度），则，所以，由，可得，即，即，解得或（舍去），由则，因为，即，又，所以的最小值为.故选：C【点睛】关键点睛：本题关键是利用等比数列求出公式求出天后树的总长度，从而得到不等式，再结合指数函数的性质解得.8C【分析】利用数列的递推式与放缩法，结合基本不等式，等比数列的求和公式与错位相减法，逐一分析判断各选项即可
7、得解.【详解】对于A，由题意易得，由，得，故A正确；对于C，由选项A得，所以，则，故C错误；对于B，由，得也是递增数列，所以，即，故B正确；对于D，由选项AC得，累加得，令，则，两式相减，得，则，所以，故D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握数列的放缩法与错位相减法，从而得解.9ACD【分析】根据运算即可判断A；由递推公式中奇、偶数的个数即可判断B；由递推公式和等差中项的应用即可判断C；由，结合递推公式运算即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，由递推公式可知中有两个奇数，一个偶数，不可能成等比数列，故B错误；对于C，所以，故成等差数列，所以存在，使得
8、成等差数列，故C正确；对于D，由，得，所以，故D正确故选：ACD10ACD【分析】利用来判断A；利用等比数列求和公式判断B；利用裂项相消法判断CD.【详解】对于A：数列的前项和，当时，又时，符合，所以，A正确；对于B：，B错误；对于C：，所以，C正确；对于D：因为，所以，令，可得，令，则，故数列为递减数列，又，所以无正整数解，D正确.故选：ACD.11BCD【分析】选项A，根据条件得到时，再检验是否满足，即可判断出选项A的正误；选项B，根据条件可直接求出，即可判断出结果；选项C，通过放缩，即可得出结果；选项D，根据条件，利用裂项相消法即可求出结果.【详解】对于选项A，因为，所以，可得，即，又，
9、所以，所以当时，又，不满足，故，所以选项A错误；对于选项B，令，得，故，故选项B正确；对于选项C，因为，由于恒成立，故，所以选项C正确；对于选项D，因为所以，所以选项D正确故选：BCD12【分析】根据给定条件，求出数列的公比及首项即得.【详解】设等比数列的公比为，由，知，依题意，解得，所以.故答案为：13【分析】根据数列的定义找到与的关系，然后利用构造法结合等比数列的定义求解即可.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：14 1 91【分析】利用构造法可得数列的通项公式为，则由题意可得， ，利用放缩法可得所以，所以，可解问题.【详解】由题可知：，则，且，即为首项为2，公比为2的等比数列，所以，则，所以所以设，则所以所以且k为正整数，所以所以，所以，所以满足的最小正整数为91故答案为：1；91【点睛】思路点睛：利用放缩法求出，从而由题意得，即可解决问题.答案第7页，共8页学科网（北京）股份有限公司