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1、重难专攻（十一）概率与统计的综合问题成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 概率与统计的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及材料阅读和数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.统计图表与概率的综合问题【例1】某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（m100，400），得到如图所示
2、的频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如下表所示：质量指标值m150m350100m150或350m400等级A级B级（2）以样本的频率估计总体的概率，解决下列问题：从所生产的零件中随机抽取3个零件，记其中A级零件的件数为，求的分布列和数学期望；该企业采用混装的方式将所有零件按400个为一箱包装出售，已知一个A级零件的利润是12元，一个B级零件的利润是4元，估计每箱零件的利润.0123P0.0010.0270.2430.729法一：所以E（）00.00110.02720.24330.7292.7.法二：因为B（3，0.9），所以E（）30.92.7.设随机抽取一箱零件，其中A级零件有X个，
3、出售该箱零件的利润为Y元，则B级零件有（400X）个，Y12X4（400X）8X1 600，因为XB（400，0.9），所以E（X）4000.9360，所以E（Y）E（8X1 600）8E（X）1 60083601 6004 480.解题技法统计图表与概率综合问题的求解策略（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.某冰糖橙
4、是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5 kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级珍品特级优级一级箱数40301020（1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；（2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表：等级珍品特级优级一级价格/（元/kg）36302418从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层随机抽样的方法从这1
5、00箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值E（X）.X0123P1612310130回归分析与概率的综合问题（1）试判断yabx 与yabln x 哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的经验回归方程；（2）新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该药品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品的概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；若在抽查中发现不
6、合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.解题技法回归分析与概率综合问题的解题思路（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：求经验回归方程（预测）；求某随机变量的概率（范围）、均值、方差等；（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学2022年毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到下
7、表：A大学B大学C大学D大学2022年毕业生人数x/千人3456自主创业人数y/千人0.10.20.40.5（2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.若该市E大学2022年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生发放创业补贴的总金额；独立性检验与概率的综合问题（1）若本次调查得出“依据小概率值0.005的2独立性检验，认为所患疾病类型与性别有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人；解（1）设男性患者有x人，则女性患者有2x人，由题意得22列联表如下：性别所患疾病类型合计A型疾病B型疾病男性患者x女性患者2x合计3x0.100.0
8、50.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828解题技法独立性检验与概率综合问题的解题思路本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出22列联表，并按照公式求得2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.北京时间2022年9月2日，经过约6小时的出舱活动，神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲密切协同，完成出舱活动期间全部既定任务，陈冬、刘洋已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.为了了解某学校学生对此新闻事件的关注程度，从该校随机抽取了200名学生进行分析，得到如下22列联表：性别是否关注此新闻合计关注
9、不关注男9030120女305080合计12080200（1）利用以上数据，判断能否依据小概率值0.025的2独立性检验认为关注此新闻与性别有关；（2）将此样本频率视为总体的概率，从该校随机抽取4名男生，记这4人中不关注此新闻的人数为Y，求随机变量Y2时的概率和随机变量Y的数学期望E（Y）.0.100.050.025x2.7063.8415.0241.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元.根据以往资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X（单位：t，10
10、0X150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T表示为X的函数；（2）根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；解：（2）由（1）知当且仅当120X150时利润T不少于57 000元.由直方图知需求量X120，150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X100，110），则取X105，且X105的概率等于需求量落入100，110）的频率），求T
11、的均值.解：（3）依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E（T）45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.2.机动车行经人行横道时，应当减速慢行.遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的15月份驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009580（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，如下表所示：驾龄是否礼让行人合计不礼让行人礼让行人驾龄不超
12、过1年241640驾龄1年以上161430合计403070依据小概率值0.1的独立性检验，能否据此判断“礼让行人”行为与驾龄有关？3.我国机床行业核心零部件对外依存度较高，我国整机配套的中高档功能部件大量依赖进口，根据中国机床工具工业协会的数据，国内高档系统自给率不到10%，约90%依赖进口.因此，迅速提高国产数控机床功能部件的制造水平，加快国产数控机床功能部件产业化进程至关重要.通过对某机床上市公司近几年的年报公布的研发费用x（单位：亿元）与产品的直接收益y（单位：亿元）的数据进行统计，得到下表：年份2016201720182019202020212022x/亿元234681013y/亿元1
13、5222740485460（1）根据表格中的数据，分别求出模型，的决定系数R2的大小（结果保留三位小数）；（2）（）根据（1）选择拟合精度更高、更可靠的模型；（）若2023年该公司计划投入研发费用17亿元，使用（）中的模型预测可为该公司带来多少直接收益.回归模型模型模型79.1318.644.为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立了高新科技研发园区，并力邀某高校入驻该园区.为了解教职工意愿，该高校在其所属的8个学院的教职工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数/x1020304050607080愿意整体搬迁人数/y8172531
14、39475566（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴研发园区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求X的分布列及数学期望.X1234P11437371145.某病毒主要是在人与人之间进行传播，可以通过飞沫、粪便、接触等进行传染，感染人群主要是年龄在40岁以上的群体.该病毒进入人体后有潜伏期（潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时期），潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对200个病例的潜伏期Z（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期的中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06.
15、一般认为超过8天的潜伏期就属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本病例人数，如下表所示：长潜伏期非长潜伏期40岁以上3011040岁及40岁以下2040（1）依据0.05的独立性检验，能否认为“长潜伏期”与年龄有关？（2）假设潜伏期服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差.为有效防止该病毒的传播，很多省份对入境人员一律要求隔离14天，请用概率和统计的知识解释其合理性；将频率近似当作概率，设从这200个病例中另随机抽取的25个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是X，Xk（kN*，0k25）的概率记作P（Xk）（kN*，0k25），试求X的数学期望以及当P（Xk）取最大值时k的值.0
16、.10.050.01x2.7063.8416.6356.某基地蔬菜大棚采用无土栽培的方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系为如图所示的折线图.（1）依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若r0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，
17、但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X/单位：小时30X5050X70X70光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？故Y的分布列为Y2 0006 000P0.20.8所以E（Y）2 0000.26 0000.85 200（元）.故Y的分布列为Y1 0005 0009 000P0.20.70.1所以E（Y）1 0000.25 0000.79 0000.14 600（元）.综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.T TH HA AN NK K.YOU.YOU