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1、重难专攻（十）概率中的综合问题成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 新高考对概率的考查由原来对生活实践情境中某一概率模型（某一知识点）的单一考查逐步演变到对生活实践情境类问题的综合考查，近几年高考真题由原来的中档解答题逐步延深到综合压轴题，所考查的知识内涵多以知识交汇为主，特别是2022年新高考卷还引入了概率统计中的证明做为创新题型呈现，这样不但打破了原来的备考思维模式，而且新的考法对数学核心素养要求更高，下面从三类热点问题引导学生探究概率中综合问题的破
2、解规律.概率与函数的交汇问题【例1】甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0p1.（1）设甲以31获胜的概率为f（p），求f（p）的最大值；（2）记（1）中f（p）取得最大值时的p为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙两人比赛的局数，求X的分布列和均值E（X）.所以X的分布列为X345P7164512827128解题技法概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点：（1）准确构造函数，利用公
3、式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.在甲答对了某道题的条件下，求该题是甲自己答对的概率；甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求X的数学期望E（X）概率与数列的交汇问题【例2】2022年2月6日，中国女足在落后两球的情况下，最终以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军.在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6比5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.所以X的分布列为X0123P1252162572572
4、1216（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p11，p20.设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小.解题技法概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为：（1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则；（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递
5、推关系，转化为数列模型问题；（3）解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式.（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；X 3 4 5 6P1272949827（2）从游客中随机抽取n（nN*）人，记这n人的合计得分恰为n1分的概率为Pn，求P1P2Pn；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.概率中的证明问题【例3】（2022新高考卷节选）一医疗团队为研究某地
6、的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090解题技法概率中的证明问题是新高考中新增题型，解决此类问题的关键是理解随机事件中互斥、对立、独立事件的概念及相互关系，理解条件概率、全概率公式的意义及性质，掌握随机变量的分布列、均值、方差的计算公式，掌握二项分布、超几何分布、正态分布概率模型的特点及求解规律.会灵活运用上述定义、性质及公式进行逻辑推理、数学运算，进而推出要证结论成立.1.设事件A，B，C相
7、互独立，证明：（1）C与AB相互独立；证明：因为A，B，C相互独立，故P（AB）P（A）P（B），P（BC）P（B）P（C），P（AC）P（C）P（A），P（ABC）P（A）P（B）P（C）.（1）P（C（AB）P（CAB）P（C）P（A）P（B）P（C）P（AB），这表示C与AB相互独立.（2）C与AB相互独立.证明：（2）P（C（AB）P（CACB）P（CA）P（CB）P（CAB）P（C）P（A）P（C）P（B）P（C）P（AB）P（C）P（AB），这表示C与AB相互独立.2.若离散型随机变量为，求证：（1）E（ab）aE（）b；证明：（1）令ab（a，b为常数），设的分布列为P（xi）p
8、i，i1，2，3，n，P（axib）P（xi），的分布列为ax1bax2baxnbPp1p2pnE（）（ax1b）p1（ax2b）p2（axnb）pna（x1p1x2p2xnpn）b（p1p2pn）aE（）b，E（ab）aE（）b.（2）D（ab）a2D（）.（a，b为常数）1.设0p1，随机变量的分布列为0p1P1p22则当p在区间（0，1）内递增时（）A.D（）减小B.D（）增大C.D（）先减小后增大D.D（）先增大后减小命题：若n2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，m，且P（Yj）pjp2m1j（j1，2，m），则H（X）H（Y）.则以下说法正确的是（）A.命题正确，命题错误B.命题
9、错误，命题正确C.两个命题都错误D.两个命题都正确3.（多选）从装有a个红球和b个蓝球的袋中（a，b均不小于2），每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为事件A1，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件A2，“第二次摸球时摸到红球”为事件B1，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件B2，则下列说法正确的是（）B.P（B1A1）P（B2A1）1C.P（B1）P（B2）1D.P（B2A1）P（B1A2）1A.P215.（多选）设随机变量的分布列如下表：1232 0232 024Pa1a2a3a2 023a2 024则下列说法正确的是（）D.当数列an满足P（k）k2ak（k1，2，2 024）时，（
10、n1）an（n1）an1（n2）6.已知随机变量X的分布列为X1234Pp1pp2p3p3p2其中 p（0，1），随机变量X的期望为E（X），则当E（X）取得最小值时，p.7.已知随机变量的分布列如下表所示：abP11则当a逐渐增大时，E（）D（）.答案：28.已知样本空间为，事件A，B，C均为内的随机事件.求证：（1）P（A）1；（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BCA）P（BA）P（CA）；9.证明：当P（AB）0时，P（ABC）P（A）P（BA）P（CAB）.据此你能发现计算P（A1A2An）的公式吗？10.袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从
11、袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n次后，袋中红球的个数记为Xn.（1）求随机变量X2的分布列及数学期望E（X2）；X2345P9643564516（2）求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式.11.根据社会人口学研究发现，若一个家庭有X个孩子，则X的概率分布列如下表所示（取一个家庭有4个及以上孩子的概率为0）.X0123P（1p）2（1p）（2）为了调控未来人口结构，需要对参数p进行宏观调控，研究表明p的值受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）.若希望P（X2）增大，如何调
12、控p的值；12.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的，且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（Xi）pi（i0，1，2，3）（pi0）.（1）已知p00.35，p10.3，p20.25，p30.1，求E（X）；解：（1）由题知E（X）0p01p12p23p31.1.（2）设p（0p1）表示该生物临近灭绝的概率，当E（X）1时，证明：p是关于x的方程p0p1xp2x2p3x3x的最小正实根.解：（2）证明：因为pp0p1pp2p2p3p3，所以p是方程p0p
13、1xp2x2p3x3x的正实根，令f（x）p0p1xp2x2p3x3x（x0），则f（x）p12p2x3p3x21，令g（x）p12p2x3p3x21，所以当x0，1时，g（x）2p26p3x0，所以f（x）在区间0，1上单调递增，又因为f（0）p110，f（1）p12p23p31E（X）1，当E（X）1时，f（1）E（X）10，所以存在（0，1），使得f（）0，当x（0，）时，f（x）0，所以f（x）在（0，）上单调递减；当x（，1）时，f（x）0，所以f（x）在（，1）上单调递增.又因为f（0）p00，f（）f（1）p0p1p2p310，所以f（x）在x（0，）上存在唯一零点xp，综上，p是关于x的方程p0p1xp2x2p3x3x的最小正实根.T TH HA AN NK K.YOU.YOU