《云南省昆明市云南师范大学附属中学2024届高三下学期3月月考数学试卷含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《云南省昆明市云南师范大学附属中学2024届高三下学期3月月考数学试卷含答案.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学试卷数学试卷注意事项：注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分 150 分，考试用时 120 分钟一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1若复数i1 3iabz+=+为纯虚数，其中 i 为虚数单位，
2、则ba=（）A13B13-C3D3-2若命题“2x，2xa，下列说法正确的是（）A11abba+B2baab+C若0c，则bbcaac+，则acbd-10如图，角a，()0bab的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点N 为AB的中点，则下列说法中正确的是（）AN 点的坐标为cos,sin22baba-Bcos2OMba-=C1(coscos)coscos222baabab+-+=D若ab+的终边与单位圆交于点 C，分别过 A，B，C 作 x 轴的垂线，垂足为 R，S，T，则CTARBS上一点，12,F F为G的左、右焦点，延长1PF，2PF
3、交G于 A，B 两点、在12PFF中，记12PFFb=，21PF Fb=，若sinsin2sinabab+=+，则下列说法中正确的是（）A12PFF面积的最大值为2bBG的离心率为12C若12PFF与12AFF的内切圆半径之比为 3：1，则AlG的斜率为1D1212|6|PFPFF AF B+=三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 IS 分）分）12在732xx-的展开式中，常数项为_（用数字作答）13我们知道，二次函数的图象是抛物线已知函数225258yxx=-+-，则它的焦点坐标为_14如图，正五角星是一种蕴含美感的图形，在正五角星中可以
4、找到很多对线段，它们的长度关系都符合黄金分割比，我们可以把正五角星看成五个顶角为 36的等腰三角形和一个正五边形组成的图形，已知正五边形的边长2BC=，则该正五角星的边长 AB 长为_四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分 13 分）近两年来，自行车的市场占有率在不断提升，随着人们的健康意识不断增强，骑自行车不仅仅是人们出行的交通方式，也渐渐成为一种新颖的运动，越来越多的人加入了骑行一族在某地区随机调查了 100 位自行车骑行者的年龄分布情况，得到如图所示的样本数
5、据频率分布直方图（1）数据显示，该地区年龄在20,30岁内的人口占比为 12%，该地区自行车骑行率约为 13%，从该地区任选一人，已知此人年龄在20,30内，求此人是自行车骑行者的概率；（2）对这 100 位自行车骑行者进行统计，骑行频率3次/周的共有 70 人，其中年龄在 40 岁以下的占80%请完成以下2 2列联表，并根据小概率值0.05a=的独立性检验，判断骑行频率与年龄是否有关联年龄年龄骑行频率40岁40岁合计3，其中2.71828e=L为自然对数底数（1）讨论 f x的单调性；（2）已知 f x有极值，求 f x的所有极值之和的最大值18（本小题满分 17 分）平面上一动点,P x
6、y满足2222222xyxy-+-+=（1）求 P 点轨迹G的方程；（2）已知2,0A-，1,0B，延长 PA 交G于点 Q，求实数 m 使得PABm PBA=恒成立，并说明：PBQ为定值19（本小题满分 17 分）材料一：有理数都能表示成st（s，tZ，且0t，s 与 t 互质）的形式，进而有理数集可以表示为,0,ss tZtstt互质且与材料二：我们知道当0 x 时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即1xex+；为提高精确度。可以用更高次的多项式逼近指数函数 设2012xnneaa xa xa x=+LL对等式两边求导，得112102(1)xnnnneaa xna xnax-+=+LL对
7、比各项系数，可得：10naa=+，122aa=，213aa=，1nnana-=；所以10111(1)!nnaaaann nn-=-L，取0 x=，有001ae=，代回原式：211!2!xnxxxen=+LL材料三：对于公比为01qq的等比数列 na，当n +时，数列 na的前 n 项和11111nnaqaSqq-=-阅读上述材料，完成以下两个问题：（1）证明：无限循环小数 3.7 为有理数；（2）用反证法证明：e 为无理数（e2.7182为自然对数底数）数学参考答案数学参考答案一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出
8、的四个选项中，只有一项符合题目要求）分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案CDAABCDA【解析】1因为i(i)(1 3i)(3)(3)i1 3i(1 3i)(1 3i)10abababbaz+-+-=+-为纯虚数，所以30ab+=且30ba-，即13ba=-故选 C2“2x，2xa”为真命题，当2x 时，24x，点0,1A在圆 O 外，所以222012 04210mm+-+-，即2240mm+，解得2m，故选 A5因为 na为等差数列，所以0a=，当2n 时，221(3)3(1)(1)63nnnaSSntnnt nnt-=-=+-+-=-+，所以1t=-，
9、113 12aS=-=，所以64nan=-，公差为 6；132 1416aa+=+=，且2iiaa+也为等差数列，公差132()2 612iiiidaaaa+=+-+=，所以202120 19()20 161226002iiiaa+=+=+=，故选 B6如图，令aOA=uuu rr，bOB=uuu rr，cOC=uuurr，由余弦定理得，2142 1 2 cos33AB=+-=uuu r，3AB=uuu r，因为5,6ac cbCA BC-=uuu r uuu rrrr r，所以,6CA BC=uuu r uuu r，则 C 点在圆 E 的优弧 AB 上运动，其中1|32sin6ABr=uuu
10、 r，3EAB=，3sinOBrOAB=，1sin2OAB=，则6OAB=，所以AEAO，所以|cos2|cos22342 3agca ccgqq=+=+uu rrrrr故选 C7该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为 a 米，侧棱长为 h 米，则纸箱的体积20.02Va h=，表面积244Saah=+，成本为22220.020.021(44)44(0)Paahaaaaaa=+=+=+，则20.024 2Paa=-，令0P=，得30.01a=，则30.01a=当300.01a时，0P时，0P，当30.01a时，P 有最小值，所以223min30.020.0240.0140.220.560.220.0
11、1P=+（元），故选 D8Q 的轨迹所围成的几何体截面图（过平面 ABCD）如图所示，其中 ABEF，ADHG，CDIJ，BCKL 区域内的几何体为半圆柱，高为 2，底面半径为 1，体积为21 12 442=；AFG，BEL，CKJ，DHI 区域内的几何体为球的一部分，球心分别为 A，B，C，D，半径为 1，360909015030FAGJCK=-=，360909030150EBLHDI=-=，360FAGJCKEBLHDI+=，所以这四个区域的几何体组成一个完整的球，体积为43；ABCD 区域内的几何体为棱柱，高为 2，体积为12 2 sin302242 =，所以 Q 的轨迹所围成的几何体体
12、积为41644433+=+，故选 A二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）分）题号91011答案ABCBCDACD【解析】9因为 1f xxx=-在(0)+上单调递增，所以 f af b，即11abab-移项得11abba+，故 A 正确：由基本不等式，22babagababab+=取等，2baab+，故 B 正确；()()()
13、0()()bbcb aca bcc baaaca aca ac+-+-=+，则bbcaac+，则cd-不一定成立，故 D 错误，故选 ABC10N 为为 AB 的中点，则122AONBONAOBba-=，22xONbaaba-+=+=，所以 N 点的坐标为cos,sin22abab+，故 A 错误；由OMAB，可得|coscos22OMOAbaba-=，故 B 正确；coscoscos22MxOMxOMbaab-+=，又因为(cos,sin)Aaa，(cos,sin)Bbb，则coscossinsin,22Mabab+，所以1(coscos)coscoscoscos22222baabababa
14、b-+-+=，故 C 正确；有向线段sinARa=，sinBSb=，sinsincoscossinsin1 sin1s(insin)CTggababababab=+=+=+，所以CTARBS恒成立，22222APmcbyyb ma+=+，4222APby yb ma-=+，设12PFF与12AFF的内切圆半径分别为1r，2r，因为1 21112|(22)22PF FpSg cg yac gr=+，212112|(22)22AF FASg cg yac gr=+，所以123PPAAryyryy=-=，即3pAyy=-，222222ApAmcbyyyb ma+=-=+，2222Amcbyb ma=
15、-+，22223pmcbyb ma=+，所以422422222223Apbm c by yb mab ma-=-+，即2222231m cb ma=+，222222132aamcbc=-，所以1PAk=，C 正确；作椭圆的左准线，D，E，G 分别为 P，A，1F在左准线上的投影，设111PFF Al=，222PFF Bl=，11PFAFceaPDAE=，所以1PFPDe=，111AFPFAEeel=，则2111112111111PFacecPFPDGFPFaecPFF AGFEAPFaaecccelll-+=-，得1121PFaecl=-，同理可得2221PFaecl=-，所以2121222(
16、)42()2(1)2261PFPFaaeceaecaecaecell+=-=-=-，故 D 正确，故选 ACD三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）题号121314答案44851,48-51+【解析】12732xx-展开式的通项为17213 72217C()(2)()(2)(0,1,.,7)rrrrrrrrTxxCxrg-+=-=-=，令72102r-=，解得6r=，故常数项为6672448C-=132225525284yxxx=-+-=-，将函数图象向左平移54个单位，得到22yx=-的图象，即212xy=-，它表示的曲线是以
17、10,8-为焦点的抛物线，则原函数图象的焦点坐标为51,48-14如图，在等腰三角形 ABC 中，36A=，72ABCC=，取ABC的角平分线交 AC 于点 D，则36ABDCBDA=，72BDCC=，则ABCBCD，且2ADBDBC=，设CDx=，因为ABBCBCCD=，即222xx+=，解得51x=-，则51AB=+，正五角星的边长为51+四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分 13 分）解：（1）设 A“此人年龄在20,30)内”，B“此人是自行车骑行者”，
18、则()0.13 0.032 1026()()0.1275P ABP B AP A=（2）由频率分布直方图可得，这 100 位自行车骑行者中，年龄40岁的共有100 100.0080.0320.03474+=（人），其中骑行频率3次/周的有70 0.856=（人），年龄40岁的有 26 人，骑行频率3次/周的有705614-=（人），2 2列联表如下：年龄骑行频率40岁40岁合计3=，根据小概率值0.05a=的独立性检验，推断0H不成立，即认为骑行频率与年龄之间有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.0516（本小题满分 15 分）（1）证明：1122DODADC=+uuuruuu ruuurQ，
19、所以1111663OPDPDODADCDD=-=+uuu ruuu ruuuruuu ruuuruuuu r，而1111122OBOBBBDADCDD=+=+uuuruuu ruuuruuu ruuuruuuu r，所以13OBOP=uuuruuu r，即 O，P，1B三点共线（2）解：连接1OA，2ABAD=Q，3BAD=，所以2BD=，13AA=，2AB=，13BAA=，由余弦定理得1492 2 3 cos73AB=+-=，同理可得，17AD=又OQ为 BD 的中点，1AOBD，22116AOABBO=-=3AO=Q，22211AAAOAO=+，即1AOAO如图，以 O 为原点建立空间直角
20、坐标系，则10,0,6A，3,0,0A，(0,1,0)B，3,0,0C-，13,1,6B-，由（1）可得，P 为线段1OB三等分点，所以3 16,333P-，13,0,6AC=-uuur，4 3 16,333AP=-uuu r，3,1,0AB=-uuu r，设平面 PAB 的法向量为,nx y z=r，则4 316g0,333g30,AP nxyzAB nxy=-+=-+=uuu rruuu rr可取2,6,3n=r设直线1AC与平面 PAB 所成角为q，则111g4 64 102|sin|cos,|513g 17AC nAC nAC nq=uuuruuuru urrrru，直线1AC与平面
21、PAB 所成角的正弦值为4 1025117（本小题满分 15 分）解：（1）110 xxfxxeaxaxeaa=+-=+-，令 0fx=，解得1x=-或lnxa=当10,ae，时，ln1a -，f x在(),1-和(ln),a+上单调递增，在1,lna-上单调递减（2）由（1）可得，当1ae=时，f x无极值，当110,aee+U时，f x有两个极值，分别为111(1)e22eafaa-=-+=-，221(ln)lnlnlnln22afaaaaaaaa=-=-，2211(1)(ln)ln(1 ln)22e2eaaaffaaa-+=-=-，令lnta=，1t -，2e1()(1)2eg tt=-
22、，2e()(12)2g ttt=-，令()0g t=，得12t=-，g t在,12-上单减，在12,1-，1,12-+上单增，在12,-+上单减，当t -时，1()eg t -，2 1e11212 222eeg-=-，2 1maxe1()2 222eg t-=-，即为所求18（本小题满分 17 分）解：（1）由题意可得，动点 P 到定点2,0的距离比到定点2,0-的距离大 2，由双曲线的定义，P 点轨迹是以2,0，2,0-）为焦点的双曲线的左支，设2222:1(0,0)xyababG-=，则2c=，1a=，2223bca=-=，所以G的方程为22:113yxxG-=-（2）如图，不妨设点 P
23、在第二象限，当PQl的斜率不存在时，22:13yxG-=，令2x=-，解得3y=，则2,3P-，此时90PAB=，在PAB中，3APAB=，45PBA=，2m=，即；当PQl的斜率存在时，令PAl的倾斜角为a，PBl的倾斜角为b，则PABa=，PBAb=-，假设2PABPBA=成立，即22ab=-，则有22tantantan 22tan21ta()nbapbbb=-=-=-，即221PBPAPBkkk=-又2Apykx=+Q，222222g22(1)11111PBPByky xxykxyx-=-，又点 P 的坐标满足2213yx-=，即2233yx=-，22222222(1)2(1)2(1)2
24、(1)1(1)(1)332242(2)(1)2pBpBky xy xy xy xykxyxxxxxxx-=-+-+-+-+，221PBPAPBkkk=-，假设成立，当2m=时，有2PABPBA=成立此时QABa=-，由对称性可知，1222QBAQABa=-，而2PBAa=，2PBQPBAQBA=+=为定值19（本小题满分 17 分）证明：（1）23.730.70.070.00737(0.1 0.10.1)n=+=+&LLL0.1(1 0.1)7373(1 0.1)1 0.19nn-=+=+-，当n +时，7343.7399=+=&，故3.7&为有理数（2）由题可得，2e11!2!nxxxxn=+LL，取1x=，有111e11!2!n=+LL，假设 e 为有理数，不妨令1111111!2!(1)!(2)!setttt=+=+LL（,s tZ，且0t，s 与 t 互质），等式两边同乘 t!得：!(1)!1!2!(1)!(2)!tttttts tttt+=-+LL，易得，!1!2!ttttt+L为正整数，(1)s t-也为正整数，则!(1)!(2)!tttt+L亦为正整数，但!111(1)!(2)!1(1)(2)(1)(2)(3)tttttttttt+=+LL231111111111111111nttttttt-+=+-+L，不可能为正整数，矛盾，所以 e 为无理数