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1、2023年辽宁省丹东市中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）6的相反数是（）A6B6CD2（3分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是（）ABCD3（3分）下列运算正确的是（）A（3xy）29x2y2B（y3）2y5Cx2x22x2Dx6x2x34（3分）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：甲乙丙丁平均数/cm169168169168方差6.017.35.019.5根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳
2、定的运动员参加比赛，最合适的人选是（）A甲B乙C丙D丁5（3分）如图所示，在ABC中，CDAB，垂足为点D，DEAC，交BC于点E若A50，则CDE的度数是（）A25B40C45D506（3分）如图，直线yax+b（a0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b0的解集是（）Ax4Bx4Cx3Dx37（3分）在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（）A1B3C6D98（3分）如图，在四边形ABCD中，ABCD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长
3、为半径作弧，两弧在ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H若ABAG4，GD5，则CH的长为（）A6B8C9D109（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ABD60，AEBD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若，则矩形ABCD的周长是（）ABCD10（3分）抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：abc0；E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线yax2+bx（a0）上的两个点，若x1x2，且x1+x22，则y1y2；在x轴上有
4、一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；若关于x的方程ax2+b（x2）+c4（a0）无实数根，则b的取值范围是b1其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11（3分）地球上的海洋面积约为361000000km2，将数据361000000用科学记数法表示为 12（3分）因式分解：y316y 13（3分）某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：年龄/岁1819202122人数35211则这12名队员年龄的中位数是 岁14（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 15（3分）不等式组的解集是 16（3分）如图，在正
5、方形ABCD中，AB12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BECF5，则BG的长为 17（3分）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作ACx轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若ABD的面积是6，则k 18（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tanABC2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为 ；点D的坐标为 三、解答题（第19题8分，第20题14分，共22分）19（8分）先化简，再求值：，其中20（14分）为提高学生的安全意
6、识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的m ；（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率四、解答题
7、（第21题12分，第22题12分，共24分）21（12分）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了50%，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？22（12分）如图，已知AB是O的直径，BD是O的弦，点P是O外的一点，PCAB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接PD，且PDPE，延长PD交BA的延长线于点F（1）求证：PD是O的切线；（2）若DF4，PE，cosPFC，求BE的长五、解答题（本题12分）23（12分）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测
8、得灯塔B在它北偏东31方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60，sin610.87，cos610.48，tan611.80）六、解答题（本题12分）24（12分）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y
9、（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？七、解答题（本题12分）25（12分）在ABC中，BAC90，ABC30，AB6，点D是BC的中点四边形DEFG是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），EDG60，且DE2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图，请直接写出AG与CE的数量关系及的值；（2）当菱形DEFG
10、绕点D旋转到如图所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出APC的面积八、解答题（本题14分）26（14分）抛物线yax2+bx4与x轴交于点A（4，0），B（2，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是m（4m2），过点D作直线DEx轴，垂足为点E，交直线AC于点F当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF的长；（3）若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合）
11、，点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形CMPN是矩形邻边之比为1：2时，请直接写出点P的横坐标2023年辽宁省丹东市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）6的相反数是（）A6B6CD【分析】求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，据此解答即可【解答】解：根据相反数的含义，可得6的相反数是：6故选：B【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”2（
12、3分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是（）ABCD【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可【解答】解：它的主视图是：故选：C【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图3（3分）下列运算正确的是（）A（3xy）29x2y2B（y3）2y5Cx2x22x2Dx6x2x3【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案【解答】解：A（3xy）29x2y2，故此选项符合题意；B（y3）2y6，故此选项不合题意；Cx2x2x4，故此选项不合题意；Dx6x2x4，故此选项不合题意故选：A【点评】此题主要
13、考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键4（3分）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：甲乙丙丁平均数/cm169168169168方差6.017.35.019.5根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（）A甲B乙C丙D丁【分析】先比较平均数得到甲和丙成绩较好，然后比较方差得到丙的状态稳定，于是可决定选丙运动员去参赛【解答】解：甲、丙的平均数比乙、丁大，应从甲和丙中选，甲的方差比丙的大，丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙；故选：C【点
14、评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好5（3分）如图所示，在ABC中，CDAB，垂足为点D，DEAC，交BC于点E若A50，则CDE的度数是（）A25B40C45D50【分析】首先根据平行线的性质得BDEA50，再根据垂直的定义得CDB90，进而根据CDECDBBDE即可得出答案【解答】解：DEAC，A50，BDEA50，CDAB，CDB90，CDECDBBDE905040故选：B【点评】此题主要考查了平行线的性质，
15、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质，垂直的定义是解答此题的关键6（3分）如图，直线yax+b（a0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b0的解集是（）Ax4Bx4Cx3Dx3【分析】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：直线yax+b（a0）过点A（0，3），B（4，0），当x4时，y0，不等式ax+b0的解集为x4故选：B【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数ykx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线ykx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合7（3分）在一个不透明
16、的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（）A1B3C6D9【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式33，然后计算即可【解答】解：由题意可得，黑球的个数为：333431239，故选：D【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率8（3分）如图，在四边形ABCD中，ABCD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H若ABAG4，GD5，则CH的长为（）A6B8C9D1
17、0【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，推出BCAD9，再证明CHCB，可得结论【解答】解：由作图可知BH平分ABC，ABHCBH，ABAG4，ABGAGB，AGBCBH，ADCB，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，BCADAG+DG4+59，ABCH，ABGCHB，CBHCHB，CHCB9故选：C【点评】本题考查作图基本作图，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的平判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题9（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ABD60，AEBD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若，则矩形ABCD的周长是（）ABCD【
18、分析】由矩形的性质得ABC90，OAOB，而ABD60，则AOB是等边三角形，所以ABOAOCAC，因为AEBD于点E，所以E为OB的中点，而F是OC的中点，则BC2EF4，则勾股定理得BCAB，则AB4，AB4，即可求得矩形ABCD的周长是8+8，于是得到问题的答案【解答】解：四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，ABC90，OAOCAC，OBODBD，且ACBD，OAOB，ABD60，AOB是等边三角形，ABOAOCAC，AC2AB，AEBD于点E，E为OB的中点，F是OC的中点，EF2，BC2EF224，ADBC4，BCAB，AB4，ABCD4，AD+BC+AB+CD4+4+
19、4+48+8，矩形ABCD的周长是8+8，故选：D【点评】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明AOB是等边三角形是解题的关键10（3分）抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：abc0；E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线yax2+bx（a0）上的两个点，若x1x2，且x1+x22，则y1y2；在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；若关于x的方程ax2+b（x2）+c4（a0）无实数根，则b的取值范围是b1其中正确的结论有
20、（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题【解答】解：根据所给函数图象可知，a0，b0，c0，所以abc0，故错误因为抛物线yax2+bx的图象可由抛物线yax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到，所以抛物线yax2+bx的增减性与抛物线yax2+bx+c的增减性一致则当x1时，y随x的增大而减小，又x1x2，且x1+x22，若x21，则E，F两点都在对称轴的左侧，此时y1y2故错误作点C关于x轴的对称点C，连接CD与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小将A（3，0）代入二次函数解析式得，9a3
21、b+c0，又，即b2a，所以9a6a+c0，则c3a又抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），则点C坐标为（0，3a），所以点C坐标为（0，3a）又当x1时，y4a，即D（1，4a）设直线CD的函数表达式为ykx+3a，将点D坐标代入得，k+3a4a，则k7a，所以直线CD的函数表达式为y7ax+3a将y0代入得，x所以点P的坐标为（，0）故正确将方程ax2+b（x2）+c4整理得，ax2+bx+c2b4，因为方程没有实数根，所以抛物线yax2+bx+c与直线y2b4没有公共点，所以2b44a，则2b42b，解得b1，又b0，所以0b1故正确所以正确的有故选：B【点评】本题考查二次函数图象与系数
22、的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据所给函数图象得出a，b，c的正负及巧妙利用抛物线的对称性和增减性是解题的关键二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11（3分）地球上的海洋面积约为361000000km2，将数据361000000用科学记数法表示为 3.61108【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：361000000用科学记数法可以表示为3.61108，故答案为：3.61108【点评】
23、此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值12（3分）因式分解：y316yy（y+4）（y4）【分析】原式提取y，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式y（y+4）（y4），故答案为：y（y+4）（y4）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键13（3分）某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：年龄/岁1819202122人数35211则这12名队员年龄的中位数是 19岁【分析】根据中位数的定义求解【解答】解：观察统计表可知：共12名队员，中位数是第6，7个
24、人平均年龄，因而中位数是19岁故答案为：19【点评】本题考查了中位数中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数14（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x2，且x1【分析】要使代数式有意义，则根式里面需要大于等于0，且分母不能为0【解答】解：由题可知，x+20，即x2，又知分母不能等于0，即x10，则x1故答案为：x2，且x1【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键15（3分）不等式组的解集是 x6【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集【解答】解：，解不等
25、式，得：x3，解不等式，得：x6，该不等式组的解集是x6，故答案为：x6【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法16（3分）如图，在正方形ABCD中，AB12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BECF5，则BG的长为 【分析】根据题意证明ABEBCF（SAS），EBGFBC，利用勾股定理即可求解【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABEC90，ABBC，BECF，ABEBCF（SAS），BAECBF，CBF+ABG90，BAE+ABG90，BGE90，BGEC，又EBGFBC，EBGFBC，BCAB12，CFBE5，BF，故答案为：【点
26、评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键17（3分）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作ACx轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若ABD的面积是6，则k4【分析】过点D作DE交AB的延长线于E，设点A的坐标为（m，n），则kmn，OCm，ACn，AB3n，证四边形ODEC为矩形得DEOCm，然后根据ABD的面积是6可得mn4，由此可得k的值【解答】解：过点D作DE交AB的延长线于E，如图： 设点A的坐标为（m，n），x0，点A在第一象限，m0，n0，kmn，ACx轴于点C，OC
27、m，ACn，BC2AC2n，ABBC+AC3n，ACx轴，DEAB，DOC90，四边形ODEC为矩形，DEOCm，ABD的面积是6，SABDABDE6，即：3nm6，mn4，kmn4故答案为：4【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的解析式，满足反比例函数解析式的点都在函数的图象上是解答此题的关键18（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tanABC2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为 （2，0）；点D的坐标
28、为 （12，2+）或（1+2，2）【分析】过点C作CEAB于E，先求处AB5，再设BEt，由tanABC2得CE2t，进而得BC，由三角形的面积公式得SABCACOBABCE，即52t4（3+OC），则OC3，然后在RtBOC中由勾股定理得，由此解出t12，t210（不合题意，舍去），此时OC32，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC220，BD2（m0）2+（n4）2，CD2（m+2）2+（n0）2，由BCD为等边三角形得，整理：，整理得m32n，将m32n代入整理得n24n+10，解得n，进而再求出m即可得点D的坐标【解答】解：过点C作CEAB于E，如图
29、：点A（3，0），B（0，4），由两点间的距离公式得：AB5，设BEt，tanABC2，在RtBCE中，tanABC，2，CE2t，由勾股定理得：BCt，CEAB，OBAC，ACOC+OA3+OC，SABCACOBABCE，即：52t4（3+OC），OC3，在RtBOC中，由勾股定理得：BC2OB2OC2，即，整理得：t212t+200，解得：t12，t210（不合题意，舍去），t2，此时OC32，点C的坐标为（2，0），设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2（20）2+（04）220，BD2（m0）2+（n4）2，CD2（m+2）2+（n0）2，BCD为等边三角形，BDCDB
30、C，整理得：，得：4m+8n12，m32n，将m32n代入得：（32n）2+n28n4，整理得：n24n+10，解得：n，当n时，m32n，当n时，m32n，点D的坐标为或故答案为：（2，0）；或【点评】此题主要考查了点的坐标，锐角三角函数，等边三角形的性质，三角形的面积公式，理解题意，熟练掌握正切函数的定义，灵活运用勾股定理及两点间的距离公式构造方程组是解答此题的关键三、解答题（第19题8分，第20题14分，共22分）19（8分）先化简，再求值：，其中【分析】先算括号内的，把除化为乘，化简后将x的值代入计算即可【解答】解：原式（）；x（）1+（3）02+13，原式1【点评】本题考查分式的化简
31、求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，能进行分式的通分和约分20（14分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取 50人，条形统计图中的m7；（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学
32、生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算m的值即可；（2）根据（1）中的结果和A等级所占的百分比，可以计算出A等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整，再计算出C等所在扇形圆心角的度数即可；（3）根据扇形统计图中的数据，可以计算出该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；（4）根据题意，可以画出相应的树状图，然后计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率即可【解答】解：（1）由统计图可得，这次抽样调查共抽取：1632%50（人），m5014%7，故答案为：50，7；（2）由
33、（1）知，m7，等级为A的有：501615712（人），补充完整的条形统计图如图所示，C等所在扇形圆心角的度数为：360108；（3）1200（24%+32%）120056%672（人），即估计该校学生答题成绩为A等和B等共有672人；（4）树状图如下所示：由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21（12分）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升
34、改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了50%，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？【分析】设施工队原计划每天改造x米，根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务得：+2，解方程并检验可得答案【解答】解：设施工队原计划每天改造x米，根据题意得：+2，解得x6，经检验，x6是原方程的解，答：施工队原计划每天改造6米【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出分式方程22（12分）如图，已知AB是O的直径，BD是O的弦，点P是O外的一点，PCAB，垂足为点C，PC与BD相交
35、于点E，连接PD，且PDPE，延长PD交BA的延长线于点F（1）求证：PD是O的切线；（2）若DF4，PE，cosPFC，求BE的长【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到ODBOBD，PDEPED，根据切线的判定定理即可得到PD是O的切线；（2）连接AD，解直角三角形即可得到结论【解答】（1）证明：连接OD，ODOB，ODBOBD，PDPE，PDEPED，PCAB，BCE90，OBC+BEC90，PEDBEC，BECPDE，PDE+BCO90，PDO90，OD是O的半径，PD是O的切线；（2）解：PDPE，PFPD+FD，在RtPFC中，cosPFC，CF6，在RtODF中，cosP
36、FC，OF5，OCCFOF1，OD，OBOD3，BCOBOC2，PC，CEPCPE1，BE【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键五、解答题（本题12分）23（12分）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60，sin610.87，cos610.48，tan611.80）【分析】过B作BDAC于D
37、，则ADCADB90，设BDxnmile，解直角三角形即可得到结论【解答】解：过B作BDAC于D，则ADCADB90，ABD31，CBD61，设BDxnmile，ADBDtan31，CDBDtan61，AC10nmile，xtan31+xtan61x（0.60+1.80）10，xBD4.2nmile，答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为4.2nmile【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，能通过解直角三角形求出BDAD和ACAD是解此题的关键六、解答题（本题12分）24（12分）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且
38、不超过每千克7元的价格销售当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据题意设ykx+b，当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则，求得k、b即可；（2）定价为x元，每千克利润（x4）元，销售量为ykg，则（x4）y1
39、800即（x4）（50x+1200）1800，解方程即可；（3）设利润为W，根据题意可得W（x4）（50x+1200）50x2+1400x4800化为顶点式即可求出合适的值【解答】解：（1）根据题意设ykx+b，当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则，解得：，则y与x的函数关系式；y50x+1200（4x7），（2）定价为x元，每千克利润（x4）元，由（1）知销售量为y50x+1200（4x7），则（x4）（50x+1200）1800，解得：x122（舍去），x26，超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
40、（3）设利润为W元，根据题意可得：W（x4）（50x+1200），即W50x2+1400x480050（x14）2+5000，a500，对称轴为x14，当x14时，W随x的增大而增大，又4x7，x7时，W最大值50（714）2+50002550（元），当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元【点评】本题考查二次函数的应用以及一元二次方程的解法，属于综合题，关键是理解题意，搞清楚数量关系七、解答题（本题12分）25（12分）在ABC中，BAC90，ABC30，AB6，点D是BC的中点四边形DEFG是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），EDG60，且DE2，菱形DEFG可以绕
41、点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图，请直接写出AG与CE的数量关系及的值；（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出APC的面积【分析】（1）由AGADGD22，CECDDE2AG，即可求解；（2）证明ADGCDE（SAS），进而求解；（3）证明BDE、DGC均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由（1）、（2）知，MPC60，则PM1，在等边三角形ACD中，AC2，则AMACsin603，则APAM+MP