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1、 使用菲涅耳使用菲涅耳基耳霍伏衍射积分公式基耳霍伏衍射积分公式计算菲涅耳衍射场计算菲涅耳衍射场十分复杂十分复杂不易严格求解不易严格求解。在在衍衍射射屏屏具具有有对对称称性性的的一一些些简简单单情情况况下下，用用代代数数加加法法或或矢矢量量加加法法代代替替积积分分运运算算，可可以以十十分分方方便便地地对对衍衍射射现现象象作作定性或半定量定性或半定量的解释。的解释。本本节节主主要要介介绍绍使使用用菲菲涅涅耳耳半半波波带带法法和和矢矢量量叠叠加加法法处处理理菲涅耳圆孔和圆屏衍射的问题。菲涅耳圆孔和圆屏衍射的问题。光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射一、菲涅耳半波带一、菲涅耳半波
2、带令令PB0r0OSPRB0 B1 B2 B3 r0 r1=r0+/2r3=r0+3(/2)r2=r0+2(/2)rk=r0+k(/2)光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射 由任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达由任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P P点时的光点时的光程差为程差为/2/2，即它们的相位差为，即它们的相位差为，这样分成的环形带叫做，这样分成的环形带叫做菲涅耳半波带菲涅耳半波带，简称，简称半波带半波带。二、合振幅的计算二、合振幅的计算以以a a1 1、a a2 2、a a3 3、分别表分别表示各半波带发出的次波在示各半波带发出的次波在P点所产生的振幅。
3、点所产生的振幅。P点叠加的合振幅点叠加的合振幅A Ak k为：为：光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射比较比较a a1 1、a a2 2、a a3 3、的大小。的大小。按惠更斯按惠更斯菲涅耳原理，第菲涅耳原理，第k k个半波带所发次波到达个半波带所发次波到达P P点的点的振幅为：振幅为：先计算先计算O光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射对球冠的面积微分可得对球冠的面积微分可得因为因为rk，可将可将drk看作相邻半波带间看作相邻半波带间r的差值的差值/2，ds看作看作半波带的面积，于是有半波带的面积，于是有可见可见与与k 无关无关所以所以 只决定于倾斜
4、因子只决定于倾斜因子K(k)。光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射O由此可得由此可得光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射各半波带在各半波带在P点的振幅是点的振幅是缓慢缓慢的的单调下降单调下降，近似地，近似地有：有：P点处合振动的振幅为：点处合振动的振幅为：光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射对自由空间传播的球面波，波面为无限大，对自由空间传播的球面波，波面为无限大，k k，a ak k 0 0，则对于于给定定轴线上的一点上的一点P P：即球面波自由即球面波自由传播播时，球面波上各次波，球面波上各次波波源在波源在P点产生的点产生的
5、合振动等于第一个半波带在合振动等于第一个半波带在P点产生的振动点产生的振动振幅的一半振幅的一半，强度为强度为它的它的四四分之分之一一。综合有：综合有：光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射各半波带在各半波带在P点引起的振动可以点引起的振动可以用上下交替的矢量来表示。为用上下交替的矢量来表示。为清楚起见，将各矢量彼此错开，清楚起见，将各矢量彼此错开，如图如图奇数个半波带奇数个半波带偶数个半波带偶数个半波带矢量矢量a1的起点在某一水平基线的起点在某一水平基线上，其余各矢量的起点都与前上，其余各矢量的起点都与前一矢量的终点等高，一矢量的终点等高，从基线指从基线指向最末一矢量向最末
6、一矢量a ak k终点即为合振终点即为合振动动A Ak k的振动矢量。的振动矢量。三三.矢量合成法矢量合成法光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射一、菲涅耳圆孔衍射一、菲涅耳圆孔衍射 将一束光（例激光）投射在一个圆孔上，并在距孔将一束光（例激光）投射在一个圆孔上，并在距孔12m处放置一接收屏，可观察衍射图样。处放置一接收屏，可观察衍射图样。根据前面的讨论，对圆孔后光强起作用的半波带数量有根据前面的讨论，对圆孔后光强起作用的半波带数量有k个。个。O光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射想知道圆孔衍射
7、场轴线上某点是想知道圆孔衍射场轴线上某点是亮点亮点还是还是暗点，暗点，必须知道圆必须知道圆孔所包含的孔所包含的半波带数目半波带数目。如图，如图，O点为点光源，圆孔半径为点为点光源，圆孔半径为R Rh h，S为光通过圆孔时的为光通过圆孔时的波面。设圆孔包含有波面。设圆孔包含有k个整数半波带。个整数半波带。O由于由于hr0P光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射又因为又因为由（由（1）、（）、（2）、（）、（3）式可得）式可得OP 可见，圆孔包含的可见，圆孔包含的半波带的数目半波带的数目和圆孔的半径和圆孔的半径R Rh h，圆孔圆孔到到P点的距离点的距离r0，以及入射光波的波长
8、以及入射光波的波长，还有点光源到衍，还有点光源到衍射屏距离射屏距离R都有关。都有关。当当R Rh h、R R、一定时，一定时，改变改变r r0 0，我们可以看到，我们可以看到，光屏的中心点会有时明时光屏的中心点会有时明时暗的变化。暗的变化。OP光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射P点的合振幅的大小取决于点的合振幅的大小取决于露出的波带数露出的波带数,而波而波带数又取决于圆孔的位置和大小带数又取决于圆孔的位置和大小如果对于如果对于P点露出的波带数为整数，为奇数相对点露出的波带数为整数，为奇数相对应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那些点应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那
9、些点，合振幅较小，合振幅较小如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大值如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大值和最小值之间和最小值之间结论：当置于结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动处的屏沿着圆孔的对称轴线移动时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化 光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射二、菲涅耳圆屏衍射二、菲涅耳圆屏衍射O波面SRB0 r0 rk=r0+k(/2)Rh P当点光源发出的光通过当点光源发出的光通过圆屏（盘）圆屏（盘）衍射时衍射时，由于圆屏不透由于圆屏不透明，被圆屏挡住部分的波面对轴线上明，被圆屏挡住部分的波面对轴线上
10、p点的光强将没有贡点的光强将没有贡献。献。如图如图光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射 设圆屏遮蔽了开始的设圆屏遮蔽了开始的k个半波带，从第个半波带，从第k+1个半波带开个半波带开始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达P点。点。这些半波带的次波在这些半波带的次波在P点叠加点叠加后振幅为后振幅为:因因m，所以所以am0O波面SRB0 r0 rk=r0+k(/2)Rh P因此因此当当k不是很大时，有不是很大时，有即即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。应该点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。应该是一个亮点。是一个亮点。此
11、亮点称为此亮点称为泊松（泊松（Possion 17811840）亮斑亮斑。这是几何光学中光的直线传播所不能解释的。这是几何光学中光的直线传播所不能解释的。1818年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导出圆盘年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导出圆盘轴线上应是亮点。轴线上应是亮点。后来由后来由阿拉果阿拉果在实验中观察到圆屏衍射轴线上的亮点，证在实验中观察到圆屏衍射轴线上的亮点，证明了惠更斯明了惠更斯菲涅耳原理的正确性。菲涅耳原理的正确性。光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射泊松泊松（Poisson 1781Poisson 178118401840）法国数法国数学家学家
12、。1812年当选为巴黎科学院院士。年当选为巴黎科学院院士。泊松对积分理论、行星运动理论、热泊松对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他一生共论和概率论都有重要贡献。他一生共发表发表300多篇论著。多篇论著。阿拉果（阿拉果（Arago17861853）法国科学家法国科学家三、菲涅耳波带片三、菲涅耳波带片若只允许序数为奇数的半波带透光，则若只允许序数为奇数的半波带透光，则P点的合振幅为点的合振幅为:若只允许序数为偶数的半波带透光，则若只允许序数为偶数的半波带透光，则P点的合振幅为点的合振幅为:制作一种屏，只让奇数或偶数半
13、波带透光，此时制作一种屏，只让奇数或偶数半波带透光，此时P点为光强点为光强很强的亮点。把这种特殊光阑称为很强的亮点。把这种特殊光阑称为菲涅耳波带片菲涅耳波带片。1.1.波带片波带片光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射2.2.制作制作 照相照相 摄取牛顿环摄取牛顿环 镀膜光刻镀膜光刻3.3.形状形状 同心环带同心环带 长条形长条形 方形方形光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射OP若视若视o为物点，为物点，p为像点，从呈像角度看：为像点，从呈像角度看：由由得得若令若令则有则有波带片的焦距公式波带片的焦距公式4.4.焦距焦距光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳
14、半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射从焦距公式可见，波带片的焦距取决于波带片通光孔的从焦距公式可见，波带片的焦距取决于波带片通光孔的半径半径Rhk,半波带的数目半波带的数目k，和光波的波长和光波的波长。当平行光照射当平行光照射R时，有时，有波带片与薄透镜相似，但有许多虚焦点，分别在波带片与薄透镜相似，但有许多虚焦点，分别在3 3，5 5，7 7，光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射5.5.波带片的优点波带片的优点 制作省事制作省事 “.”“+”面积大、轻便、可折叠面积大、轻便、可折叠 消色差消色差四、直线传播与衍射现象的关系四、直线传播与衍射现象的关系光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射例题例题：一块波带片的孔径内有：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第个半波带，其中第1、3、5、19共共10个奇数带露出。第个奇数带露出。第2、4、6、20共共10个偶数带遮蔽，个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传播时光强的多少倍？试分析轴上场点的光强是自由传播时光强的多少倍？解：波带片在轴上场点的振幅为解：波带片在轴上场点的振幅为自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为则它们的振幅之比为则它们的振幅之比为光强之比为光强之比为光学光学2.2菲涅耳半波带菲涅耳半波带菲涅耳衍射菲涅耳衍射